求極限的方法及例題總結(jié)75782

1、最新資料推薦1定義：說明：（ 1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上lim (3x1)5面的極限嚴(yán)格定義證明，例如： ； x 2（2）在后面求極限時(shí)，（ 1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。2極限運(yùn)算法則定理 1 已知 limf (x) ， lim g( x) 都存在，極限值分別為 A ，B，則下面極限都存在，且有（1） lim f (x) g ( x) A B（ 2） limf (x) g (x) A Blimf ( x)A , (此時(shí)需 B 0成立 )（ 3）g (x)B說明：

2、極限號(hào)下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。. 利用極限的四則運(yùn)算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對(duì)函數(shù)做某些恒等變形或化簡。1最新資料推薦8.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限lim3x12x1例 1x 1lim(3x1)22 23x331)(3x1 2)lim1 2)4x1 (xx 1 ( x 1)( 3x。解：原式 =注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例 2limn (n 2n1)nlimn( n2)(n1)分子分母同除以nlim332nn2n1n2111解：原式 =nn

3、。lim (1)n3n例 3 n2n3n上下同除以 3n(1) n1lim31n ( 2 ) n 1解：原式3。3兩個(gè)重要極限sin xlim1（ 1） x0x1l i m(11 ) xelim (1x) xe（ 2） x0；xx2最新資料推薦說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身， 還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，lim sin 3x1x1lim (1 2x)2 xe lim (13 ) 3e例如： x 03x， x0， xx；等等。利用兩個(gè)重要極限求極限lim 1cos x例 5 x 03x22 sin2x2 sin 2x1lim22limx23x6x 0x 0)212 (解：原式 =2。

4、注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2lim (13sin x) x例 6x016 sin x16 sin xlim (1 3sin x) 3 sin x xlim (1 3sin x) 3sin x xe 6解：原式 = x 0x 0。n2nlim ()例 7 nn1lim (13n)解：原式 = n1n 13n3n 13 n3n 1lim (1)3 n 1e 3nn1。4等價(jià)無窮小定理 2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理 3 當(dāng) x0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是 0），且相互等價(jià)，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1x) e x1

5、。說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量 x 換成 g (x) 時(shí)（ g( x)0 ），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng) x0 時(shí)， e3x1 3x； ln(1x2 )x2。定理4 如果函數(shù)f ( x), g( x), f1 (x), g1 (x)都是xx0時(shí)的無窮小，且f ( x)f1 ( x)limf ( x)f1 ( x)g1 ( x)lim1( x)g( x)，g( x)xx0 gx x0也存 在且 等于， 則 當(dāng)存 在時(shí) ，3最新資料推薦limf1 ( x)limf ( x)f1 (x)lim(x)f ( x) x x0 g1( x)，即xx0 g (x)=x x0 g1。利用等價(jià)無窮小代換

6、（定理4）求極限limx ln(1 3x)x0arctan( x 2 )例 9解：x0時(shí)，ln(1 3x) 3x ， arctan( x2 ) x 2 ，limx 3x3x 2原式 = x0。lime xesin x例 10 x 0 x sin xlim esin x (ex sin x1)limesin x ( xsin x)1解：原式 = x0xsin xx 0xsin x。注：下面的解法是錯(cuò)誤的：lim(ex1)(esin x1)limxsin x1原式 = x 0xsin xx0xsin x。正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣：lim tan xsin xlim xx0x0x3x 0x3。tan

7、( x2 sin1)limx例 11x 0sin x當(dāng) x0 時(shí)，x2sin 1 是無窮小，tan(x 2 sin 1 )與 x2 sin 1 等價(jià)解：xxx，x2 sin 11limxxlim xsin0所以， 原式 = x0x 0x。（最后一步用到定理 2）五、利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個(gè)無窮小的和是無窮小， 有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。 用等價(jià)無窮小替換求極限常常行之有效。4最新資料推薦1x sin x1limsin sin( x 1)lim (x2)例 1.x 0e12.x 0ln x5洛比達(dá)法則定理 5假設(shè)當(dāng)自變量 x 趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)f ( x) 和 g( x)

8、 滿足：（ 1） f (x) 和 g(x) 的極限都是 0 或都是無窮大；（ 2） f (x) 和 g( x) 都可導(dǎo)，且 g( x) 的導(dǎo)數(shù)不為 0；limf ( x)（ 3）g (x) 存在（或是無窮大）；lim f ( x)limf (x)limf ( x)lim f (x)則極限g ( x) 也一定存在，且等于g (x) ，即g ( x) =g (x) 。說明：定理 5 稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)0證所求極限是否為“0 ”型或“”型；條件（ 2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可

9、以知道是否滿足。另外， 洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用， 但每次使用之前都需要注意條件。利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)， 也可能用到前面的重要極限、 等價(jià)無窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例 12lim 1cos x（例 4）x 03x 2lim sin x1解：原式 = x06x6 。（最后一步用到了重要極限）cosx例 13limx2x 115最新資料推薦sinxlim2122 。解：原式 = x1例 14limxsin xx 0x31cos xlimsin x1lim3x26x6解：原式 = x0= x 0。（連續(xù)用洛比達(dá)法則， 最后用重要極限）limsi

10、n xx cos xx 2 sin x例 15x 0解：原式sin xx cos xcos x(cos x x sin x)limx2xlim3x2x0x 0limx sin x13x23x0lim 11例 18 x 0 x ln(1 x)lim 11 0解：錯(cuò)誤解法：原式 = x0xx。正確解法：原式 limln(1 x)xlimln(1x)xx 0x ln(1x)x 0x x11x1lim1 xlim。x 02xx02x(1 x)2應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。limx2 sin x例 19 x3xcosx0lim12cosx解：易見：該極限是“0 ”型，但用洛比達(dá)法則后得到

11、：限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：x3 sin x，此極12sin xlimxx cos x3原式 =x（分子、分母同時(shí)除以x）6最新資料推薦1= 3 （利用定理 1 和定理 2）6連續(xù)性定理 6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f (x)的lim f ( x)f ( x0 )定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有x x 0。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限1lim x 2 e x例 4x21解：因?yàn)閤02是函數(shù)f (x)x2 ex的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，1所以原式 = 22 e24 e。7極限存在準(zhǔn)則定理 7（準(zhǔn)則 1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)

12、學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例 1.設(shè) a0 ，x1a, x2aaa x1 , , xn 1a xn (n 1,2, )lim xn。求極限 n7最新資料推薦定理 8（準(zhǔn)則 2）已知 xn , yn , zn 為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（ 1） ynxn zn, (n1,2,3,)lim yn alim zna（2） n， nlim xnlim xna則極限 n一定存在，且極限值也是a ，即 n。10. 夾逼定理利用極限存在準(zhǔn)則求極限例 20 已知 x12 , xn 12 xn , (n 1, 2, )lim xn，求 n解：易證：數(shù)列 xn 單調(diào)遞增，且有界（ 0 xn

13、），由準(zhǔn)則lim xn存1極限 n2lim xnaxn 12 xn 兩邊求極限，得：在，設(shè) n。對(duì)已知的遞推公式a 2 a ，解得： a2 或 a1（不合題意，舍去）lim xn2所以 n。8最新資料推薦lim (111)n 21n 22n2nn例 21n111n解： 易見： n 2nn 21n 22n2nn21limn1limn1n2nn21nn因?yàn)?，lim (111)1n21n22n2所以由準(zhǔn)則nn。2 得：9. 洛必達(dá)法則與等價(jià)無窮小替換結(jié)合法對(duì)于一些函數(shù)求極限問題， 洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小結(jié)合御用， 往往能化簡運(yùn)算，收到奇效。11. 泰勒展開法9最新資料推薦12. 利用定積分的定義求極

14、限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問題。8. 利用復(fù)合函數(shù)求極限10最新資料推薦十、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限unlim u n0級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：若級(jí)數(shù)n 1收斂，則 n，故對(duì)某些極限limf (n)f (n)的一般項(xiàng)，只須證明此技術(shù)收斂，便n，可將函數(shù) f (n) 作為級(jí)數(shù) n 1lim f (n)0有 n。limn!nn例n十一、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)， 求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和，此時(shí)?？梢暂o助性的構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（通常為冪級(jí)數(shù)，有時(shí)為 Fourier 級(jí)數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值。lim (11331 )例3323n求 n7 等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（ q 絕對(duì)值符號(hào)要小于1）8 各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)11最新資料推薦9 求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn 與 Xn+1 的關(guān)系，已知 Xn 的極限存在的情況下，xn 的極限與xn+1 的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化1