4方差分析.ppt

1、第十章(續(xù)) 方差分析,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中,經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題:影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多,我們需要了解在這眾多的因素中,哪些因素對(duì)影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響.為此,要先做試驗(yàn),然后對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析.方差分析就是分析測(cè)試結(jié)果的一種方法.,在方差分析中,把在試驗(yàn)中變化的因素稱為因子,用A、B、C、.表示;因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平,因子A的r個(gè)不同水平用A1、A2、.、Ar表示.,1 單因子方差分析,1.1 基本概念,例:為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下:,我們要研究的問(wèn)題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量

2、是否有顯著差異.,試驗(yàn)的目的就是要檢驗(yàn)假設(shè) H0:1=2=3=4=5 是否成立.若是拒絕 ,那么我們就認(rèn)為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異;反之,就認(rèn)為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機(jī)因素引起的.方差分析就是檢驗(yàn)假設(shè)的一種方法.,在本例中只考慮品種這一因子對(duì)畝產(chǎn)量的影響,五個(gè)不同品種就是該因子的五個(gè)不同水平.由于同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同,我們可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn)量就是一個(gè)總體,在方差分析中總假定各總體獨(dú)立地服從同方差正態(tài)分布,即第i個(gè)品種的畝產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從分布N(i,2), i=1,2,3,4,5.,設(shè)在某試驗(yàn)中,因子A有r個(gè)不同水平A1,A2,.,Ar,在Ai水平下的試驗(yàn)

3、結(jié)果Xi服從正態(tài)分布N(i,2),i=1,2,.,r,且X1,X2,.,Xr間相互獨(dú)立.現(xiàn)在水平Ai下做了ni次試驗(yàn),獲得了ni個(gè)試驗(yàn)結(jié)果Xij,j=1,2,.,ni這可以看成是取自Xi的一個(gè)容量為ni的樣本,i=1,2,.,r.,實(shí)際上,方差分析是檢驗(yàn)同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計(jì)方法.,在實(shí)際問(wèn)題中影響總體均值的因素可能不止一個(gè).我們按試驗(yàn)中因子的個(gè)數(shù),可以有單因子方差分析,雙因子分析,多因子分析等.例中是一個(gè)單因子方差分析問(wèn)題.,由于XijN(i,2) ,故Xij與i的差可以看成一個(gè)隨機(jī)誤差ijN(0,2) .這樣一來(lái),可以假定Xij具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式:,為了今后方便起見(jiàn),把

4、參數(shù)的形式改變一下,并記,稱為一般平均,i為因子A的第i 個(gè)水平的效應(yīng).,Xij= i+ ij,i=1,2,.,r;j=1,2,.,ni 其中諸ijN(0,2),且相互獨(dú)立.要檢驗(yàn)的假設(shè)是 H0:1=2=r,在這樣的改變下,單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫(xiě)成:,所要檢驗(yàn)的假設(shè)可以寫(xiě)成:,為了導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量,下面我們分析一下什么是引起諸Xij 波動(dòng)的原因.,引起諸Xij 波動(dòng)的原因有兩個(gè):一個(gè)是假設(shè)H0為真時(shí),諸Xij的波動(dòng)純粹是隨機(jī)性引起的;另一個(gè)可能是假設(shè)H0不真而引起的.因而我們就想用一個(gè)量來(lái)刻劃諸Xij之間的波動(dòng),并把引起波動(dòng)的兩個(gè)原因用另兩個(gè)量表示出來(lái),這就是方差分析中常用

5、的平方和分解法.,1.2 平方和分解公式,其中交叉乘積項(xiàng),下面我們來(lái)看各式的意義,1.3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造,對(duì)于各組樣本有,因此,一般,當(dāng)FF0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”; 當(dāng)FF0.05時(shí),稱因子無(wú)顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無(wú)差異.,1.4 檢驗(yàn)過(guò)程,例:為尋求適應(yīng)本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種,今選了五種不同品種進(jìn)行試驗(yàn),每一品種在四塊試驗(yàn)田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下:,我們要研究的問(wèn)題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異.,解:先列表計(jì)算,例: 下面給出了隨機(jī)選取的, 用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間(以毫秒計(jì))

6、.表: 電路的響應(yīng)時(shí)間,這里試驗(yàn)的指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間. 電路類型為因素. 這一因素有四個(gè)水平, 試驗(yàn)的目的是要考察各類型電路對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響.,設(shè)四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài), 且各總體方差相同, 但參數(shù)均未知. 又設(shè)各樣本相互獨(dú)立.,解,分別以m1,m2,m3,m4記類型I,II,III,IV四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值. 我們需檢驗(yàn)(a=0.05)H0:m1=m2=m3=m4,H1:m1,m2,m3,m4不全相等.現(xiàn)在n=18, s=4, n1=n2=n3=5, n4=3,ST,SA,SE的自由度依次為17,3,14,因F0.05(3, 14)=3.343.76 F0.01(3,

7、 14)=5.56, 故認(rèn)為各類型電路的響應(yīng)時(shí)間有顯著差異.,2 雙因子方差分析,SE表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差,稱為誤差平方和;SA除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子A的效應(yīng)間的差異,稱為因子A的偏差平方和; SB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子B的效應(yīng)間的差異,稱為因子B的偏差平方和.,具體計(jì)算時(shí)可用計(jì)算表和方差分析表:,一般,當(dāng)FF0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”; 當(dāng)FF0.05時(shí),稱因子無(wú)顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無(wú)差異.,例:為了考察蒸餾水的pH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中

8、白蛋白與球蛋白的影響,對(duì)蒸餾水的pH值(A)取了4個(gè)不同水平,對(duì)硫酸銅溶液濃度(B)取了3個(gè)不同水平,在不同水平組合(Ai,Bj)下各測(cè)一次白蛋白與球蛋白之比,其結(jié)果列于計(jì)算表的左上角.試檢驗(yàn)兩因子對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著差異.,解,查F-分布表得:F0.05(3,6)= 4.76, F0.05(2,6)= 5.14 , F0.01(3,6)=9.78, F0.01(2,6)=10.9, 由此可知FA F0.01(3,6); FB F0.01(2,6).所以因子A及因子B的不同水平對(duì)化驗(yàn)結(jié)果有高度顯著影響.,3 有交互作用的雙因子方差分析,3.1 模型,3 .2 平方和分解,其中n=rst,仍然用平

9、方和分解的思想來(lái)給出檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，先引入下述記號(hào)：,由此可知,總的偏差平方和可作如下的分解:,其中各偏差平方和表達(dá)式如下:,3.3 各偏差平方和的意義,SE表示試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差,稱為誤差平方和;,SA除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子A的效應(yīng)間的差異,稱為因子A的偏差平方和;,SB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了因子B的效應(yīng)間的差異,稱為因子B的偏差平方和;,SAB除了反映了試驗(yàn)的隨機(jī)波動(dòng)引起的誤差外,還反映了交互效應(yīng)的差異所引起的波動(dòng),稱為交互作用的偏差平方和.,同無(wú)交互作用的情況類似可得:,3.4 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及顯著性檢驗(yàn),這就是用來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H01,H

10、02,H03,的統(tǒng)計(jì)量.按照顯著性假設(shè)檢驗(yàn)程序,對(duì)給定的顯著性水平, 當(dāng)FAF1-(r-1,rs(t-1)時(shí)拒絕H01; 當(dāng)FBF1-(s-1,rs(t-1)時(shí)拒絕H02; 當(dāng) FABF1-(r-1)(s-1),rs(t-1)時(shí)拒絕H03.,具體的計(jì)算過(guò)程,各偏差平方和的計(jì)算也可用下面簡(jiǎn)化的表達(dá)式,且可列成一張計(jì)算表和方差分析表.,一般,當(dāng)FF0.01時(shí),稱因子的影響高度顯著,記為“*”;當(dāng)F0.01FF0.05時(shí),稱因子的影響顯著,記為“*”;當(dāng)FF0.05時(shí), 稱因子無(wú)顯著影響,即認(rèn)為因子各水平間無(wú)差異.,例:在某化工生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃度,四種不同溫度做試驗(yàn).在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗(yàn),其收率數(shù)據(jù)如下而計(jì)算表所列(數(shù)據(jù)均已減去75).試檢驗(yàn)不同濃度,不同溫度以及它們間的交互作用對(duì)收率有無(wú)顯著影響.,解:,查表知F0.05(2,12)=3.