二次函數(shù)重點難點總結(jié)

1、.初中二次函數(shù)知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念： 一般地，形如y ax2bx c，c 是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這（ a ，b里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a00 ，0

2、x0 時， y 隨 x 的增大而增大；x 0 時， y 隨向上y 軸x 的增大而減小； x0 時， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減??；x 0 時， y 隨向下y 軸x 的增大而增大； x0 時， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時， y 隨x 的增大而減??； x 0 時， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x 0 時， y 隨x 的增大而增大； x 0 時， y 有最大值 c 3. y

3、a x2的性質(zhì)：h左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0向上h ，0x=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大； x h 時， y 隨x 的增大而減??； x h 時， y 有最小值 0 a0向下h ，0x=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??； x h 時， y 隨x 的增大而增大； x h 時， y 有最大值 0 ;.4. y a x2k 的性質(zhì)：ha 的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y 隨向上x=hx 的增大而減??；x h 時， y 有最小值 k a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而減?。粁 h 時， y

4、 隨向下x=hx 的增大而增大；x h 時， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) a x h2h ，k；k ，確定其頂點坐標(biāo) 保持拋物線 y ax2 的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個單位， yax 2bxc 變成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個單位， yax 2bxc 變成

5、ya( xm)2b(xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2bxc 的比較h從解析式上看，ya xh2ax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前k 與 yb24acb2b ，k4ac b2者，即 y a x，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) y ax2bx c 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點式 y a(xh) 2k ， 確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖 . 一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點 0，c 、以及0 ，c 關(guān)于對稱軸對稱的點2h，c

6、 、與 x 軸的交點x1 ，0 ， x2，0 （若與 x 軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .;.六、二次函數(shù)y ax2bx c 的性質(zhì)1. 當(dāng) a0時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標(biāo)為b ，4ac b22a2a4a當(dāng) xb時， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時， y 有最小2a2a2a值 4ac2b4a2. 當(dāng) a0 時，拋物線開口向下， 對稱軸為 xb，頂點坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng) xb 時， y 隨2a2a4a2ab 時， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)

7、x時， y 有最大值 4ac2x 的增大而增大；當(dāng) xbb2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：yax2bx c （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；2.頂點式：ya(xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式：ya(xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 b2 4ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項系

8、數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù)y2ax bx c 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng) a0時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的右

9、側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a;.當(dāng) b 0時，b0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置ab 的符號的判定：對稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概括的說就是在 y 軸左邊則 ab2a“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項 c 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c0 時，

10、拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖

11、象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對稱y2b x 關(guān)c于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2ya xh2hk 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱y2b xcyax2bxca x；關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya x2k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 關(guān)于原點對稱y2b x關(guān)c于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2關(guān)k于原點對稱后，得到的解析式是yaxh2hk ；4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180）y2b xc2b2a xyaxbxc；關(guān)

12、于頂點對稱后，得到的解析式是2aya x2k 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yaxh2hk 5. 關(guān)于點m，n對稱;.2k 關(guān)于點22n ky a x hm，n 對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：

13、一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函數(shù) y ax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y0時的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點個數(shù)： 當(dāng)b24ac0 時，圖象與 x 軸交于兩點 a x1 ，0，b x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次24ac .方程 ax2bx c0 a 0 的兩根這兩點間的距離abx2 x1ba 當(dāng)0時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當(dāng)0時，圖象與 x 軸沒有交點 .1當(dāng) a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 ；2當(dāng) a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 2. 拋物線 yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交

14、點坐標(biāo)為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0) 本身就是所含字母x 的二次函數(shù)；下面以 a0 時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x 軸有二次三項式的值可正、一元二次方程有兩個不相等實根兩個交點可零、可負(fù)0拋物線與x 軸