導數2015年高考數學試題分類匯編及答案解析(專題八)

1、2015年高考數學試題分類匯編及答案解析專題八： 導數及其應用1.（2015年北京理科）已知函數（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當時，；（）設實數使得對恒成立，求的最大值【答案】（），（）證明見解析，（）的最大值為 【解析】（），曲線在點處的切線方程為；（）當時，即不等式，對于成立，設，則求得，當時，故在上為增函數，則，因此對，成立；（）使對恒成立，等價于對成立，設，則，當時，函數在上為增函數，符合題意；當時，令，極小值，不成立，綜上所述可知：的最大值為.【考點】1.導數的幾何意義；2.利用導數研究函數的單調性，證明不等式；3.含參問題討論.2.（2015年北京文科）設函數（）求的單調區(qū)

2、間和極值；（）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【答案】（）單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；極小值；（）證明詳見解析【解析】（）由，得，由， 解得，所以與在區(qū)間上的情況如下： 所以，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；在 處取得極小值； （）由（）知，在區(qū)間上的最小值為， 因為存在零點，所以，從而， 當時，在區(qū)間上單調遞減，且， 所以是在區(qū)間上的唯一零點， 當時， 在區(qū)間上單調遞減，且， 所以在區(qū)間上僅有一個零點； 綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點. 【考點】1.導數的運算，2.利用導數判斷函數的單調性，3.利用導數求函數的極值和最大、最小值，4.函數零點問題.3（2015年安

3、徽理科）設函數.（I）討論函數在內的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值；（II）記，求函數在上的最大值；（III）在（II）中，取，求滿足時的最大值.【答案】（I）極小值為；（II）； （III）【解析】（I）由，得： 而； 當時，函數在單調遞增，無極值， 當時，函數在單調遞減，無極值， 當時，函數在內存在唯一的零點， 使得，且時，函數單調遞減， 時，函數單調遞增，所以時，函數有最小值，；（II）當時，當時，取等號成立，當時，取等號成立，可知在上的最大值為；（III）當即，而，得到，這是取滿足且，由此可知，滿足條件的最大值為.【考點】1.函數的單調性、極值與最大（小）值；2.絕對值不等式的

4、應用.4.（2015年安徽文科）已知函數，（I）求的定義域，并討論的單調性；（II）若，求在內的極值.【答案】（I）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為和；（II）極大值為；無極小值 【解析】（I）由題意可知即，所以的定義域為，又，而，令，令或，所以得的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和；（II）由（I）可知在內的極大值為，在內無極小值；所以在內極大值為，無極小值.【考點】1.導數在函數單調性中的應用；2.函數的極值.5.（2015年福建理科）若定義在上的函數 滿足 ，其導函數 滿足，則下列結論中一定錯誤的是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由已知條件，必須構造函數，則， 所以在上單調遞增，而，

5、故 即，所以本題一定錯誤的是選項C，而A、B、 D選項不能確定.【考點】函數與導數6.（2015年福建理科）已知函數 (I)證明：當時，； (II)證明：當時，存在,使得對任意恒有；(III)確定的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有【答案】(I)詳見解析；(II)詳見解析；(III) 【解析】(I)令則有，當,所以在上單調遞減；故當時，即當時，；(II)令則有，當時，,所以在上單調遞增, ，即，故對任意正實數均滿足題意，當時，令，得，取，對任意，恒有,所以在上單調遞增, ,即，綜上，當時，總存在,使得對任意的恒有；(III) 法一：當時，由（I）知，對于，故，令，則有，故當時，,在上單調遞增

6、，故,即,所以滿足題意的不存在，當時，由（II）知存在,使得對任意的任意的恒有，此時,令，則有，故當時，在上單調遞增，故,即,記與中較小的為，則當時，恒有，故滿足題意的不存在，當，由（I）知，當，令則有，當時，,所以在上單調遞減，故,故當時，恒有,此時，任意實數滿足題意，綜上，只有.法二：當時，由（I）知，對于，故，令，解得，從而得到當時，對于，恒有,所以滿足題意的不存在，當時，取，由（II）知存在,使得任意恒有，此時,令解得，此時,記與中較小的為，則當時，恒有，故滿足題意的不存在，當，由（I）知，當，令，則有，當時，,所以在上單調遞減，故,故當時，恒有,此時，任意實數滿足題意，綜上，只有.【

7、考點】導數的綜合應用7.（2015年福建文科）“對任意”，是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B 【解析】當時，構造函數，則，所以在單調遞減，故得，則成立；而當時，不等式等價于，構造函數，則，所以在單調遞減，故得，得到也成立；綜上“對任意”，是“”的必要不充分條件.【考點】導數的應用8.（2015年福建文科）已知函數.(I)求函數的單調遞增區(qū)間；（II）證明：當時，；（III）確定實數的所有可能取值，使得存在，當時，恒有【答案】(I) ；（II）詳見解析；（III）【解析】(I) ， 由 故的單調遞增區(qū)間是； （II）令，

8、則有， 當時，所以在上單調遞減， 故當時，即當時，； （III）由（II）知，當時，不存在滿足題意， 當時，對于，有，則，從而不存在滿足題意，當時，令，則有，由得，解得，當時，故在內單調遞增，從而當時，即，綜上，的取值范圍是【考點】導數的綜合應用9.（2015年新課標1理科）設函數,其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】設，由題意可知存在唯一的整數，使得在直線的下方，而，所以當時，當時，所以當時， 當時，直線恒過定點，斜率為，故且，解得.【考點】導數的綜合應用10.（2015年新課標2理科）設函數是奇函數的導函數，當時，則使得成立的的取值范

9、圍是（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】構造函數，則，因為當時，故當時，所以在單調遞減；又因為函數是奇函數，故函數是偶函數，所以在單調遞減，且，當時，則；當時，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是.【考點】導數的綜合應用11.（2015年新課標2理科）設函數.（I）證明：在單調遞減，在單調遞增；（II）若對于任意，都有，求的取值范圍.【答案】（I）見解析，（II）【解析】（I）因為，所以 在時恒成立，所以在時 單調遞增，而，所以時，時， 故在單調遞減，在單調遞增；（II）由（I）知，當時， 在上的最大值為，所以有成立，當時，設關于的函數 ，所以，所以在單調遞增，而，所以時，得，時，得

10、，當時，當時，綜上所述的取值范圍是.【考點】導數的綜合應用及均值不等式12.（2015年新課標2文科）已知曲線在點 處的切線與曲線 相切,則 【答案】【解析】由可得曲線在點處的切線斜率為,故切線方程為,與 聯(lián)立得,顯然,所以由.【考點】導數的幾何意義.13.（2015年新課標2文科）已知.（I）討論的單調性；（II）當有最大值,且最大值大于時,求的取值范圍.【答案】（I）在是單調遞增；在單調遞增,在單調遞減； （II）【解析】（I）的定義域為，若，則 在單調遞增，若，則當時，當時，所以在單調遞增，在單調遞減； （II）由（I）知時在單調遞增，無最大值，當時 在取得最大值，最大值為，根據題意得，

11、設，則在上為增函數，且，于是當時，當時，所以滿足條件的的取值范圍是.【考點】導數的應用.14.（2015年陜西理科）對二次函數（為非零常數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（A）是的零點 （B）是的極值點（C）是的極值 （D）點在曲線上【答案】A【解析】若選項A錯誤時，選項B、 C、 D正確，可得，因為是的極值點，是的極值，所以，由于點在曲線上，所以，解得，所以，這是，所以不是的零點.【考點】1.函數的零點； 2.利用導數研究函數的極值15.（2015年陜西理科）設是等比數列的各項和，其中（I）證明：函數在內有且僅有一個零點（記為），且；（II）設有一個

12、與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明【答案】（I）證明見解析； （II）當時，當時，證明見解析【解析】（I），因為則， ，所以在內至少存在一個零點，又，故在內單調遞增，所以在內有且僅有一個零點，因為是的零點，所以，即；(II)解法一：由題設，設，當時, ，當時, ，若,，若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即，綜上所述，當時，當時，.解法二 由題設，當時，當時, 用數學歸納法可以證明，當時, 所以成立，假設時，不等式成立，即，那么，當時，又，令，則所以當在上遞減，當在上遞增，所以，從而故對于不等式也成立，所以，對于一切的整數，都有.【考點】1.

13、零點定理；2.利用導數研究函數的單調性.16.（2015年陜西文科）函數在其極值點處的切線方程為_.【答案】【解析】，令，而， 所以函數在其極值點處的切線方程為.【考點】導數的幾何意義.17.（2015年天津理科）已知函數.(I)討論的單調性；(II)設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為,求證：對于任意的正實數，都有；(III)若關于的方程有兩個正實根，求證：. 【答案】(I) 當為奇數時，在上單調遞減，在內單調遞增；當為偶數時，在上單調遞增，在上單調遞減.(II)見解析； (III)見解析【解析】 (I)由，得分兩種情況討論：當為奇數時：令，解得或，當變化時，的變化情況如下表：所

14、以在上單調遞減，在內單調遞增，當為偶數時，當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減，所以在上單調遞增，在上單調遞減； (II)證明：設點的坐標為，則，曲線在點處的切線方程為，令，即，則，由于在上單調遞減，故在上單調遞減，又因為，所以當時，當時，所以在內單調遞增，在內單調遞減，所以對任意的正實數都有，即對任意的正實數，都有； (III)證明：不妨設，由(II)知，設方程的根為，可得，當時，在上單調遞減，又由(II)知可得，類似的，設曲線在原點處的切線方程為，可得，當，即對任意，設方程的根為，可得，因為在上單調遞增，且，因此，故得，又時，所以，所以.【考點】1.導數的運算及導數的幾何意義；2

15、.利用導數研究函數性質、證明不等式.18.（2015年天津文科）已知函數 ,其中為實數, 為的導函數,若 ,則的值為 【答案】【解析】因為 ,所以.【考點】導數的運算法則.19.（2015年山東理科）設函數，其中.（I）討論函數極值點的個數，并說明理由；（II）若成立，求的取值范圍.【答案】（I）當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點；（II）【解析】（I）因為，定義域為，所以，設，當時，函數在為增函數，無極值點；當時，若時，函數在為增函數，無極值點；若時，設的兩個不相等的實數根，且，則，所以，故得當單調遞增，當單調遞減，當單調遞增，此時函數有兩個極值點；當時，而，所以當單調遞

16、増；當單調遞減，所以只有一個極值點； 綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點；（II）由（I）可知當時在單調遞增，而， 則當時，符合題意；當時，在單調遞增，而，則當時，符合題意；當時，所以函數在單調遞減，而，則當時，不符合題意；當時，設，當時，在單調遞增，因此當時，于是，當時，此時，不符合題意；綜上所述，的取值范圍是.【考點】導數的綜合應用.20.（2015年江蘇）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距

17、離分別為千米和千米，點到的距離分別為千米和千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，假設曲線符合函數（其中為常數）模型. （I）求的值； （II）設公路與曲線相切于點，的橫坐標為， 請寫出公路長度的函數解析式，并寫出其定義域； 當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度.【答案】（I）求；（II），定義域為， 千米【解析】（I）由題意知，點的坐標分別為，代入函數式，得，解得； （II）由（I）知，則點的坐標為， 設在點處的切線交軸分別于點， 則的方程為，可得， 所以；設，則，令，解得當時減函數，當時增函數，從而得當有極小值，也是最小值，這時，答：當時，公路得長度最短，最短長度為千米.【考點】利用導數求函數最大（?。┲担瑢祹缀我饬x.21.（2015年江蘇）已知函數. （I）試討論的單調性； （II）若（實數是與無關的常數），當函數有三個不同的零點時， 的取值范圍恰好是，求的值.【答案】（I）當時，在上單調遞增；當時，在，上單調