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第 1 頁(共 16 頁) 2015年福建省三明市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(共 12 小題,每小題 3 分,滿分 36 分) 1直線 x+y+3=0 的傾角是( ) A B C D 2若 a b 0, c R,則下列不等式中正確的是( ) A B C 圓 x2+ 與圓 x+3) 2+( y+4) 2=16 的位置關(guān)系是( ) A內(nèi)切 B相交 C外切 D外離 4已知等差數(shù)列 公差是 1,且 等比數(shù)列,則 ) A 4 B 5 C 6 D 8 5已知直線 l 平面 , P ,那么過點 P 且平 行于 l 的直線( ) A只有一條,不在平面 內(nèi) B只有一條,在平面 內(nèi) C有兩條,不一定都在平面 內(nèi) D有無數(shù)條,不一定都在平面 內(nèi) 6若變量 x, y 滿足不等式組 ,則目標函數(shù) z=2x+y 的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 7在空間直角坐標系中,已知三點 A( 1, 0, 0), B( 1, 1, 1), C( 0, 1, 1),則三角形( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等邊三角形 8已知直線 x+y=1 與圓 ( x a) 2+( y b) 2=2( a 0, b 0)相切,則 取值范圍是( ) A( 0, B( 0, C( 0, 3 D( 0, 9 9已知正方體 棱長為 2,則點 D 到平面 距離為( ) A B C D 10已知數(shù)列 項公式 ) n 1( n 8)( n N+),則數(shù)列 最大項為( ) A 1在三棱錐 S ,已知 C=2, C= , B= ,則此三棱錐的外接球的 表面積為( ) A 2 B 2 C 6 D 12 12已知數(shù)列 前 n 項和為 , = ( n N+)則 ) A 4( 4 ) B 4( 4 ) C 4( 4 ) D 4( ) 第 2 頁(共 16 頁) 二、填空題(共 4 小題,每小題 3 分,滿分 12 分) 13已知直線 x ay+a=0 與直線 3x+y+2=0 垂直,則實數(shù) a 的值為 14在 ,角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a, b, c,若 a=3, b=4, ,則角 15已知關(guān)于 x 的不等式 3x+2 0 的解集為 x|x 1,或 x b,則實數(shù) b 的值為 16如圖,在矩形 , , ,動點 P, Q, R 分別在邊 ,且滿足 R=線段 最小值是 三、解答題(共 6 小題,滿分 52 分) 17已知直線 l 過點( 3, 1)且與 直線 x+y 1=0 平行 ( 1)求直線 l 的方程; ( 2)若將直線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體,求這個幾何體的體積 18已知數(shù)列 等差數(shù)列,且 , 1,數(shù)列 公比大于 1 的等比數(shù)列,且 , ( 1)求數(shù)列 通項公式; ( 2)設(shè) cn=數(shù)列 前 n 項和 19在 ,角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 A=45, a=6 ( 1)若 C=105,求 b; ( 2)求 積的最大值 20已知圓 C 經(jīng)過三點 O( 0, 0), 1, 1), 4, 2) ( 1)求圓 C 的方程; ( 2)設(shè)直線 x y+m=0 與圓 C 交于不同的兩點 A, B,且線段 中點在圓 x2+ 上,求實數(shù) m 的值 21已知函數(shù) f( x) = a+1) x+2( a R) ( I)當(dāng) a=2 時,解不等式 f( x) 1; ( )若對任意 x 1, 3,都有 f( x) 0 成立,求實數(shù) a 的取值范圍 22如圖,在四棱錐 P ,底面 正方形, D=2, , 20 ( 1)如圖 2,設(shè)點 E 為 中點,點 F 在 中點,求證: 平面 第 3 頁(共 16 頁) ( 2)已知網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為 你在網(wǎng)格紙用粗線畫圖 1 中四棱錐 P 需要標字母),并說明理由 第 4 頁(共 16 頁) 2015年福建省三明市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(共 12 小題,每小題 3 分,滿分 36 分) 1直線 x+y+3=0 的傾角是( ) A B C D 【考點】 直線的傾斜角 【分析】 把直線方程化為斜截式,求出直線的斜率,由斜率公式求出直線的傾斜角 【解答】 解:由 x+y+3=0 得, y= x 3, 斜率 k= 1,則 1, 直線 x+y+3=0 的傾斜角為 , 故選: D 2若 a b 0, c R,則下列不等式中正確的是( ) A B C 考點】 不等式的基本性質(zhì) 【分析】 根據(jù)不等式的基本性質(zhì),分別判斷四個答案中的不等式是否恒成立,可得結(jié)論 【解答】 解: a b 0, 0, ,即 ,故 A 正確; a a b 0, ,故 B 錯誤, 當(dāng) c 0 時, C 錯誤, D 錯誤, 故選: A 3圓 x2+ 與圓 x+3) 2+( y+4) 2=16 的位置關(guān)系是( ) A內(nèi)切 B相交 C外切 D外離 【考點 】 圓與圓的位置關(guān)系及其判定 【分析】 根據(jù)兩圓圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系進行判斷 【解答】 解:圓 x2+ 的圓心 0, 0),半徑 r=3, 圓 x+3) 2+( y+4) 2=16,圓心 3, 4),半徑 R=4, 兩圓心之間的距離 =5 滿足 4 3 5 4+3, 兩圓相交 故選: B 4已知等差數(shù)列 公差是 1,且 等比數(shù)列,則 ) 第 5 頁(共 16 頁) A 4 B 5 C 6 D 8 【考點】 等差數(shù)列的通項公 式 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、等比中項的性質(zhì)列出方程,化簡后求出 等差數(shù)列的通項公式求出 【解答】 解: 差數(shù)列 公差是 1,且 等比數(shù)列, ,則 , 化簡得, , a5=6, 故選: C 5已知直線 l 平面 , P ,那么過點 P 且平行于 l 的直線( ) A只有一條,不在平面 內(nèi) B只有一條,在平面 內(nèi) C有兩條,不一定都在平面 內(nèi) D有無數(shù)條,不一定都在平面 內(nèi) 【考點】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 通過假設(shè)過點 P 且平行于 l 的直線有兩條 m 與 n 的出矛盾,由題意得 m l 且 n l,這與兩條直線 m 與 n 相交與點 P 相矛盾,又因為點 P 在平面內(nèi)所以點 P 且平行于 l 的直線有一條且在平面內(nèi) 【解答】 解:假設(shè)過點 P 且平行于 l 的直線有兩條 m 與 n m l 且 n l 由平行公理 4 得 m n 這與兩條直線 m 與 n 相交與點 P 相矛盾 又因為點 P 在平面內(nèi) 所以點 P 且平行于 l 的直線有一條且在平面內(nèi) 所以假設(shè)錯誤 故選 B 6若變量 x, y 滿足不等式組 ,則目標函數(shù) z=2x+y 的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 確定不等式表示的平面區(qū)域,明確目標函數(shù)的幾何意義,即可求得最大值 【解答】 解:已知不等式組表示的區(qū)域如圖,由目標函數(shù)的幾何意義得到,當(dāng)直線 z=2x+ 時,在 y 軸的截距最大,即 z 最大,又 B( 2, 1), 所以 z 是最大值為 2 2+1=5; 故選: C 第 6 頁(共 16 頁) 7在空間直角坐標系中,已知 三點 A( 1, 0, 0), B( 1, 1, 1), C( 0, 1, 1),則三角形( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等邊三角形 【考點】 空間兩點間的距離公式 【分析】 由空間兩點間距離公式分別求出三邊長,再由勾股定理能判斷三角形的形狀 【解答】 解: 三點 A( 1, 0, 0), B( 1, 1, 1), C( 0, 1, 1), | = , | = , | =1, 三角形 直角三角形 故選: A 8已知直線 x+y=1 與圓( x a) 2+( y b) 2=2( a 0, b 0)相切,則 取值范圍是( ) A( 0, B( 0, C( 0, 3 D( 0, 9 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 直線與圓相切,圓心到直線的距離 d=r,求出 a+b 的值,再利用基本不等式求出 第 7 頁(共 16 頁) 【解答】 解:直線 x+y=1 與圓( x a) 2+( y b) 2=2( a 0, b 0)相切, 則圓心 C( a, b)到直線的距離為 d=r, 即 = , |a+b 1|=2, a+b 1=2 或 a+b 1= 2, 即 a+b=3 或 a+b= 1(不合題意,舍去); 當(dāng) a+b=3 時, = ,當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時取 “=”; 又 0, 取值范圍是( 0, 故選: B 9已知正方體 棱長為 2,則點 D 到平面 距離為( ) A B C D 【考點】 點、線、面間的距離計算 【分析】 先求得 而求得 而求得 面積,最后利用等體積法求得答案 【解答】 解:依題意知 平面 則 = , C= S =2 , 設(shè) D 到平面 距離為 d, 則 dS d2 =, d= 故選: B 10已知數(shù)列 項公式 ) n 1( n 8)( n N+),則數(shù)列 最大項為( ) A 考點】 數(shù)列的函數(shù)特性 【分析】 作差分類討論,利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出 第 8 頁(共 16 頁) 【解答】 解: ( ) n 1( n 8) = n 10 時, 0,即 n=10 時取等號),數(shù)列 調(diào)遞減; n 9 時, 0,即 列 調(diào)遞增 又 n 8 時, 0; n 9 時, 0 n=10 或 11 時,數(shù)列 得最大值,其最大項為 故選: C 11在三棱錐 S ,已知 C=2, C= , B= ,則此三棱錐的外接球的表面積為( ) A 2 B 2 C 6 D 12 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為 2, , ,則長方體的對角 線長等于三棱錐 S 接球的直徑,即可求出三棱錐 S 接球的表面積 【解答】 解: 三棱錐 S , C=2, C= , B= , 構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為 2, , , 則長方體的對角線長等于三棱錐 S 接球的直徑 設(shè)長方體的棱長分別為 x, y, z,則 x2+, y2+, x2+, x2+y2+ 三棱錐 S 接球的直徑為 , 三棱錐 S 接球的表面積為 =6 故選: C 12已知數(shù)列 前 n 項和為 , = ( n N+)則 ) A 4( 4 ) B 4( 4 ) C 4( 4 ) D 4( ) 【考點】 數(shù)列遞推式 【分析】 = ( n N+),可得 =n,利用 “累加求和 ”方法、等差數(shù)列的求和公式及其遞推關(guān)系即可得出 【解答】 解: = ( n N+), = =n, = + + + =( n 1) +( n 2)+1+0= , 33 =4 , 故選: D 二、填空題(共 4 小題,每小題 3 分,滿分 12 分) 第 9 頁(共 16 頁) 13已知直線 x ay+a=0 與直線 3x+y+2=0 垂直,則實數(shù) a 的值為 3 【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【分析】 利用相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系即可得出 【解答】 解: 直線 x ay+a=0 與直線 3x+y+2=0 垂直, 3 a=0, 解得 a=3 故答案 為: 3 14在 ,角 A、 B、 C 所對的邊分別為 a, b, c,若 a=3, b=4, ,則角 【考點】 正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可求 用大邊對大角可得 A 為銳角,從而可求 A 的值 【解答】 解: a=3, b=4, , 由正弦定理可得: = = , a b, A 為銳角,可得 A= 故答案為: 15已知關(guān)于 x 的不等式 3x+2 0 的解集為 x|x 1,或 x b,則實數(shù) b 的值為 2 【考點】 一元二次不等式的解法 【分析】 利用一元二次不等式的解集與對應(yīng)的一元二次方程實數(shù)根之間的關(guān)系,即可求出答案 【解答】 解:關(guān)于 x 的不等式 3x+2 0 的解集為 x|x 1,或 x b, 1, b 是一元二次方程 3x+2=0 的兩個實數(shù)根,且 a 0; a 3+2=0, 解得 a=1; 由方程 3x+2=0,解得 b=2 故答案為: 2 16如圖,在矩形 , , ,動點 P, Q, R 分別在邊 ,且滿足 R=線段 最小值是 第 10 頁(共 16 頁) 【考點】 不等式的實際應(yīng)用 【分析】 設(shè) , PQ=x,用 x, 表示出 ,使用正弦定理得出 x 關(guān)于 的函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出 x 的最小值 【解答】 解: R= 等邊三角形, 0, 矩形 , , , 0, 0, 設(shè) ( 0 90), PQ=x,則 PR=x, PB= 20 , 0+, 在 ,由正弦定理得 ,即 , 解得 x= = 當(dāng) +) =1 時, x 取得最小值 = 故答案為: 三、解答題(共 6 小題,滿分 52 分) 17已知直線 l 過點( 3, 1)且與直線 x+y 1=0 平行 ( 1)求直線 l 的方程; ( 2)若將直線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體,求這個幾何體的體積 【考點】 旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺);直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【分析】 ( 1)設(shè)直線方程為 x+y+c=0,代入( 3, 1),求出 c,即可求直線 l 的 方程; ( 2)將直線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體為圓錐,底面半徑為 4,高為 4,利用圓錐的體積公式,即可得出結(jié)論 【解答】 解:( 1)設(shè)直線方程為 x+y+c=0, 代入( 3, 1),可得 3+1+c=0, 所以 c= 4, 第 11 頁(共 16 頁) 所以直線 l 的方程為 x+y 4=0; ( 2)將直線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體為圓錐,底面半徑為 4,高為 4, 所以體積為 = 18已知數(shù)列 等差數(shù)列,且 , 1,數(shù)列 公比大于 1 的等比數(shù)列,且 , ( 1)求數(shù)列 通項公式; ( 2)設(shè) cn=數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式 【分析】 ( )利用等差數(shù)列的通項公式由已知條件求出首項和公比,由此能求出等差數(shù)列通項公式;由數(shù)列 以 為首項,公比為 3 的等比數(shù)列,能求出 通項公式 ( )由 2n 1) 3n,利用分組求和法能求出數(shù)列 前 n 項和 【解答】 解:( )設(shè)等差數(shù)列 公差為 d, , 1, 得, 解得 , d=2, +( n 1) 2=2n 1, , 即 , q 1, q=3, 即數(shù)列 以 為首項,公比為 3 的等比數(shù)列, ( ) cn= 2n 1) 3n, +3+5+7+( 2n 1) ( 3+32+33+3n) = =( 3n 1) 19在 ,角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 A=45, a=6 ( 1)若 C=105,求 b; ( 2)求 積的最大值 【考點】 余弦定理;正弦定理 【分析】 ( 1)利用和差公式與正弦定理即可得出 ( 2)由余弦定理 a2=b2+2用 基本不等式的性質(zhì)可得: 36 22,進而得出 第 12 頁(共 16 頁) 【解答】 解:( 1) 30+45) = + = 由正弦定理可得: = , c= = ( 2) a2=b2+2 36 22,解得 18( 2+ )當(dāng)且僅當(dāng) b=c=3 時取等號 S =9( 1+ ) 積的最大值是 9( 1+ ) 20已知圓 C 經(jīng)過三點 O( 0, 0), 1, 1), 4, 2) ( 1)求圓 C 的方程; ( 2)設(shè)直線 x y+m=0 與圓 C 交于不同的兩點 A, B,且線段 中點在圓 x2+ 上,求實數(shù) m 的值 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 ( 1)設(shè)出圓的一般方 程,利用待定系數(shù)法列出方程組,即可求出圓的方程; ( 2)設(shè)出點 A、 B 以及 中點 M 的坐標,由方程組 和中點坐標公式求出點 M 的坐標,代入圓的方程 x2+ 中,即可求出 m 的值 【解答】 解:( 1)設(shè)過點 O、 的方程為 x2+x+=0, 則 , 解得 D= 8, E=6, F=0; 所求圓的方程為 x2+8x+6y=0, 化為標準方程是:( x 4) 2+( y+3) 2=25; ( 2) 設(shè)點 A( B( 中點 M( 由方程組 ,消去 y 得 2( m 1) x+m=0, 所以 = , y0=x0+m= , 因為點 M 在圓上,所以 + =5, 所以 + =5, 解得 m= 3 21已知函數(shù) f( x) = a+1) x+2( a R) 第 13 頁(共 16 頁) ( I)當(dāng) a=2 時,解不等式 f( x) 1; ( )若對任意 x 1, 3,都有 f( x) 0 成立,求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 一元二次不等式的解法;二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 ( ) a=2 時,函數(shù) f( x) =23x+2,求不等式 f( x) 1 的解集即可; ( )討論 a=0 與 a 0、 a 0 時,函數(shù) f( x)在區(qū)間 1, 3上的最小值是什么, 由此建立不等式求出 a 的集合即可 【解答】 解:( ) a=2 時,函數(shù) f( x) =23x+2, 不等式 f( x) 1 化為 23x+1 0, 解得 x 或 x 1; 所以該不等式的解集為 x
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