3_8064927_17.不等式恒成立的絕妙技巧

2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 737 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 207 號(hào) ) 不等式恒成立的 絕妙 技巧 對(duì)“ 己知不等式恒成立 ,求參數(shù) 取值范圍 ” 的 問 題 ,不僅要掌握常見的 等價(jià)命題 和 典型方法 ,還 要掌握解決問 題 的 絕妙技巧 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(善用必要條件 )不等式 F(x,a) 0 在 x D 時(shí) 恒成立 的 必要條件 有 :在區(qū)間 D 的端點(diǎn) b 處 ,F(b,a)0;在 函數(shù) F(x,a)可疑的極值點(diǎn) F(x0,a) 0; ( )(妙用已知結(jié) 論 )對(duì)遞進(jìn)式試題 ,充分靈活的 運(yùn)用 前一問中的有關(guān)結(jié)論 是解決 此 類 試 題 的根本 策 略 ; ( )(函數(shù)上下確界 )若 f(x)存在 下 確界 m,則 不等式 f(x) 0或 f(x)0恒成立 m 0;若 f(x)存在 上 確界 M,則 不等式 f(x) 0 或 f(x)0 g(x)存在唯一零 點(diǎn) (1,a),且 e f(x)在 (0, (a,3e)上單調(diào)遞增 ,在 (x0,a)上單調(diào)遞 減 f(x)在 (0,3e上 的最大值=f(f(3e);由 g(0 20 a=2f(4以 ,對(duì)任意 的 x (0,3e,恒有 f(x) 4 f( 4 f(3e) 43 a 3e.故 a 3 e. 點(diǎn)評(píng) :尋找 函數(shù) F(x,a)的 特殊點(diǎn) 是尋找不等式 F(x,a) 0 在 x D 時(shí)恒成立的必要條件的常用方法 ,其中 ,區(qū)間 D 的端點(diǎn) 和函數(shù) F(x,a)可疑的極值點(diǎn) 是常見的 特殊點(diǎn) . 同 類 試題 : 1.(2013 年 全國(guó) (大綱 )高考試題 )已知函數(shù) f(x)=x+1. ( )當(dāng) a=- 2 時(shí) ,討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )若 x 2,+) 時(shí) ,f(x)0 ,求 a 的取值范圍 . 2.(2012 年全國(guó)高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=ax+x 0, .( )討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )設(shè) f(x) 1+ a 的取值范圍 . 子題類型 :(2010 年全國(guó) 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=1( )證明 :當(dāng) x ,f(x)1 ( )設(shè)當(dāng) x 0 時(shí) ,f(x)1 a 的取值范圍 . 解析 :( )當(dāng) x ,由 原不等式 x+1 易證 ; ( )當(dāng) x 0 時(shí) f(x)=101f(x) 0 0 a 0;所以 ,f(x)1()f(x)0;令 g(x)= ()f(x)-x,x 0,則 g (x)=af(x)+()f (x)-1(f (x)1-f(x)=af(x)x)+x);當(dāng) 0 a21時(shí) ,由 ( ) 738 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 知 ,x (x+1)f(x) g (x) af(x)x)+a(x+1)f(x)-f(x)=(2f(x) 0 g(x)在 0,+ )上單調(diào)遞 減 g(x)g(0)=0,符合題設(shè) ; 當(dāng) a21時(shí) ,由 ( )知 ,x f(x) g (x) af(x)x)+af(x)-f(x)=(2f(x) 若 x(0,2 ),則 g (x)0 g(x)在 (0,2 )上單調(diào)遞增 g(x)g(0)=0,不 合題設(shè) a 的取值范圍是 0,21. 點(diǎn)評(píng) :解決此 類試題 的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用第 ( )問 中 的 不等式 ,或利用 第 ( )問 中 的 不等式 進(jìn) 行 放縮 ,目的是研究 第 ( )問 中 函數(shù) 的導(dǎo) 函數(shù) 符號(hào) ;或利 用 第 ( )問 中 的 不等式 和不等式的傳遞性 ,確 定 參數(shù) 付 取值范圍 ,減少分類討論的情況 . 同 類 試題 : 3.(2016 年 四川 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=中 a R,e=為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) .( )討論 f(x)的單調(diào)性 ; ( )證明 :當(dāng) x1 時(shí) ,g(x)0; ( )確定 a 的所有可能取值 ,使得 f(x)g(x)在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)恒成立 . 4.(2008 年 湖南 高考試題 )已知 f(x)=+x)2.( )求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間 ; ( )若不等式 (1+n1)n+a e 對(duì)任意的 n N*都成立 (其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ),求 a 的最大值 . 子題類型 :(2008 年 遼寧 高考試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=ln(x+1).( )求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值 ; ( )是否存在實(shí)數(shù) a,使得關(guān)于 x 的不等式 f(x) a 的解集為 (0,+ )？若存在 ,求 a 的取值范圍 ;若不存在 ,試說明理由 . 解析 :( )由 f (x)=( f(x)在 (0,1)內(nèi) 遞增 ,在 (1,+ )內(nèi) 遞減 f(x)的極大值 =f(1)=有極小值 ; ( ) 由 x0 +x)0,+x)f(x)=ln(x+1)=x 1 )10,所以 ,當(dāng) a 0 時(shí) ,關(guān)于x 的不等式 f(x) a 的解集為 (0,+ ); 由 f(1+n+ln()=ln()+,當(dāng) a0 時(shí) ,令 ln()1);由;取 nln(1),則 f(時(shí) ,關(guān)于 f(x) 為 (0,+ )存在 a,使得關(guān)于 f(x) 0,+ ),且 a 的取值范圍為 (- ,0. 點(diǎn)評(píng) :本題直接考查函數(shù)的 確界 ;證明 m 是函數(shù) f(x)的下確界的基本方法是不等式分析 ,包括兩個(gè)方面 :證 明 不等式 :f(x)m;證 明 對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,不等式 :f(x)0)的圖像在點(diǎn) (1,f(1)處的切線方程為 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范圍 . 8.(2013 年 遼寧 高考 理科 試題 )已知函數(shù) f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1時(shí) , 2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 739 ( )求證 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 9.(2013 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 黑龍江 預(yù)賽試題 )設(shè) f(x)=x x)1(x0).( )判斷 函數(shù) f(x)的 單調(diào) 性 ; ( )是否存在實(shí)數(shù) a,使得 x (0,+ )時(shí) ,均有 +x)0 時(shí) ,求證 :f(x)22x; ( )當(dāng) x x 0 時(shí) ,不等式 f(x)0時(shí) ,f(x)在 (0, 遞 減 ,在 ( )上 遞 增 ;( )g(x)0 當(dāng)x1 時(shí) ,exx+1;( )當(dāng) x1 時(shí) ,g(x)0 f(x)0 a0; 當(dāng) 011x()21x()0 h(x)在 (1,+ )上單 調(diào)遞 增 h(x)h(1)=a 的取值范圍 是 21,+ ). ( )f(x)在 ()上 遞增 ,在 (0,+ )上 遞減 ;( )由 (1+n1)n+a e (n+a)+ 1(設(shè) x=(0,1) a )1x g(x)=)1xx (0,1),則 g (x)=)1( 1 2 xx x f(x)|b|時(shí) ,f(c)-f(b)M( M22 )()( bc =cb 2;令 t=(),則cb 2=210 時(shí) ,(x+1)ln(x+1) ax 11( ;令 g(x)=x 11( (x0),h(x)=(x+1)ln(x+1), 點(diǎn) P(x,h(x),則 =x 11( =g(x),h (x)=ln(x+1)+1;作 函數(shù) h(x)=(x+1)ln(x+1)的圖像如 圖 ,由圖知 g(x)=h (0)=1;所以 ,ax 11( a g(x) a 1.故 a 的取值范圍 是 (- ,1. ( )由 f(x)的圖像在點(diǎn) (1,f(1)處的切線方程為 y=f(1)=0,f (1)=1 b=c=1( )令 g(x)=ax+1x 1,+ ),則 g(1)=0,g (x)=2xa();當(dāng) 1,即 a21時(shí) ,在 1,+ )上 ,g (x) 0 g(x)在 1,+ )上單調(diào)遞增 g(x) g(1)=0 f(x) 成立 ;當(dāng)1,即 00 f(x)在 (0,+ )上 遞增 g(x)g(0)=0 f(x)22x; ( )由 ( )知 ,當(dāng) x0 時(shí) ,f(x)22x,當(dāng) x0 時(shí) ,由 f(x)21x k21;當(dāng) x ()時(shí) , f(x)0;令 h(x)=(