1_6354547_4.拋物線上兩點(diǎn)A、B滿足OA⊥OB的性質(zhì)

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 拋物線上兩點(diǎn) A、 B 滿足 性質(zhì) 拋物線上兩點(diǎn) A、 B 滿足 母題 拋物線 C:px(p0)上兩點(diǎn) A、 B 滿足 直線 過定點(diǎn) M(2p,0),由此生成一列高考試題 ,為此 ,我們構(gòu)成母題如下 ,并著意關(guān)注由母題生成子題的方向 . 母題結(jié)構(gòu) :直線 :px(p0)相交于 A(x1, B(x2,點(diǎn) ,直線 ,則 直線 過定點(diǎn) M(2p,0); 點(diǎn) H 在圓 (+y2= 母題 解 析 : 由 0 (x1=x2=22214 )( 4 由 直線 AB:12 yy p (x- ,即 (y1+y2)以 ,直線 過定點(diǎn) M(2p,0) 由 點(diǎn) H 在圓 (+y2= |2p 直線 過定點(diǎn) M(2p,0) 子題類型 :(2000 年北京、安徽春招試題 )如圖 ,設(shè)點(diǎn) A 和 B 為拋物線 px(p0) 上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,己知 M 點(diǎn) M 的軌跡方程 ,并說明它表示什么曲線 . 分析 :本題 是母題的直接子題 . 解析 :(法一 )由 0 (x1=x2=222116)( 16 由 直線 AB:14 yy p (x- ,即 (y1+y2)(y1+y2)y+16直線 (4p,0);又由 點(diǎn) M 的軌跡 是以 直 徑的圓 (去掉坐標(biāo)原點(diǎn) ),其方 程 為 (+p2(x2+0). (法二 )設(shè)直線 OA:y=入 :(=44yA= A(24kp,由 理可得 B(44 直線 AB:y+41 設(shè) M(x,y),則 y+4yx( x2+ x2+)x+4 x2+ (+p2(x2+0),點(diǎn) M 的軌跡 是以 (2p,0)為圓 心 ,半徑 r=2去掉坐標(biāo)原點(diǎn) ). 點(diǎn)評(píng) :以功點(diǎn) A、 B 為始點(diǎn) ,可以構(gòu)成許多點(diǎn)的軌跡問題 ,如 點(diǎn)的軌跡 ;作 平分線交 T,點(diǎn) T 的軌跡 ; 的軌跡 ;滿足 點(diǎn) 中垂線交 點(diǎn) 以 直徑的兩圓交點(diǎn) 子題類型 :(2005年北京春招試題 )如圖 ,直線 l在 a和 b(a0,b 0),且交拋物線 px(p0)于 M(x1,N(x2,點(diǎn) . ( )寫出直線 l 的截距式方程 ; ( )證明 :11 21 ; ( )當(dāng) a=2p 時(shí) ,求 大小 . 分析 :由 直線 l 的截距式方程 可直接寫出 ;利用韋達(dá)定理易證第 ( )問 ;第 ( )問 母題的 逆向問題 . 解析 :( )直線 l 的截距式方程 :ax+; ( )由 點(diǎn) M(x1,N(x2, 直線 l:ax+ 上 ,1,1( y1, 的兩根 y1+2111 =21 21 = ( )當(dāng) a=2p 時(shí) ,由 24(=46121 . 點(diǎn)評(píng) :母題的逆向問題有兩 個(gè)方向 :由直線 過定點(diǎn) M(2p,0) 造逆向問題 ,本題屬于此類 ;由點(diǎn) +y2= 造逆向問題 ,此類問題尚待開發(fā) . 式 探究 子題類型 :(2006 年上海高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,直線 l 與拋物線 x 相交于 A、 B 兩點(diǎn) . ( )求證 :“直線 l 過點(diǎn) T(3,0),那么 =3”是真命題 ; ( )寫出 ( )中命題的逆命題 ,判斷它是真命題還是假命題 ,并說明理由 . 分析 :由 直線 (3,0),為避免討論 ,可設(shè) 直線 l:x=,然后 利用韋達(dá)定理證第 ( )問 ;對(duì)于 第 ( )問 ,可設(shè) 直線l:x=ty+a,只需由 =3,求 a,即可 . 解析 :( )設(shè) A(x1,B(x2,直線 l:x=,代入 6 1(=9 = “直線 l 過點(diǎn) T(3,0),那么 =3”是真命題 ; ( )逆命題是 :“ 設(shè)直線 l 交拋物線 x 于 A、 B 兩點(diǎn) ,如果 =3,那么該直線過點(diǎn) T(3,0)” ;該命題是假命題 ; 設(shè) A(x1,B(x2,直線 l:x=ty+a,代入 2a 1(=由 =3 a= 直線 l 過點(diǎn) (),或 T(3,0). 點(diǎn)評(píng) :對(duì)于母題 :“拋物線 C:px(p0)上兩點(diǎn) A、 A 充要條件是直線 過定點(diǎn) M(2p,0)”有廣泛的推廣、變式等探究空間 ,本題是把母 題中的條件 =0,變式為 =3;又如推廣點(diǎn) 物線 C:p0)上 定 點(diǎn) M,且 =0,探究 直線 過定點(diǎn) ;探究 直線 過定點(diǎn) M(a,0)(如 M(p,0)的條件和性質(zhì)等 . 1.(2008 年武漢 大學(xué) 保送生考試 試題 )已知 點(diǎn) P(0,點(diǎn) A 在 x 軸上 ,點(diǎn) B 在 y 軸的正半軸上 ,點(diǎn) M 在直線 ,且滿足 : 0,3 ( )當(dāng)點(diǎn) A 在 x 軸上移動(dòng)時(shí) ,求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程 ; ( )設(shè) )中的曲線 直線 且與曲線 處的切線垂直 ,相交于另一點(diǎn) R,當(dāng) =0(O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )時(shí) ,求直線 2.(2005 年廣東高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,拋物線 y= 的 兩不同點(diǎn) A、 B 滿足 圖所示 ). ( )求 重心 G(即三角形三條中線的交點(diǎn) )的軌跡方程 ; ( ) 面積是否存在最小值？若存在 ,請(qǐng)求出最小值 ;若不存在 ,請(qǐng)說明理由 . 3.(2005 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東 預(yù)賽試 題 )如圖 ,過原點(diǎn) 2px(p0)的 兩條互相垂直的弦 作 平分線交 的軌跡方程 . 4.(2004 年重慶高考試題 )設(shè) p0 是一常數(shù) ,過點(diǎn) Q(2p,0)的直線與拋物線 于相異兩點(diǎn) A、 B,以線段 直徑作圓 H(H 為圓心 ),試證 :拋物線的頂點(diǎn)在圓 H 的圓周上 ;并求 圓 直線 方程 . 5.(2009年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南 初賽試題 )已知 a0,過 M(a,0)任作一條直線交拋物線 px(p0)于 P,2| 12| 1則 a= . 6.(2014年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 試題 )在平面直角坐標(biāo)系 滿足條件 :過 x 的兩條切線 ,兩切點(diǎn)連線 O 垂直 ,設(shè)直線 O,R. ( )證明 :R 是一個(gè)定點(diǎn) ; ( )求| | ( )設(shè) A(t,0),B(0,b)(b0),M(x,y),由 0 b=32(2由 3 x=y=2軌跡 C 的方程 :y(x 0); ( )設(shè) Q(2t,2則 曲線 處的切線 :2222切線 斜率 k=2t(t 0);由 0 直線 (0,2) 2 ;又由 1 2(t= 22 22 直線 l 的方程 :y= 22 x+2. ( )設(shè) G(x,y),直 線 OA:y=入 y=x2=xA=k yA=A(k,由 理可得 B(1k) x= 31(y=31(1k) 9x2=1 重心 G 的軌跡方程 :9( )由 面積 S=21|B|=21 42 42 11 =2122 12 21 22 =1 當(dāng) k= 1 時(shí) ,. 設(shè) A(2a0),B(20),由 1| |21|2222223)(|1|=|a|3,由 | | |a|3 設(shè) C(x,y),則 x=3221 )(2 a = 31 )1(2 ,y=31 )1(2 a yx=11 a=yx y1+(yx )3=2(1) 0. 設(shè) A(2a0),B(20),由 (2222 1 4p2(+4 拋物線的頂點(diǎn)在圓 H 的圓周上 ;由 |= (2+(2=4+(=4p2(又 (=a2+=1a+ 2 4 當(dāng) a=1,b= ,|得最小值 4p,此時(shí) ,圓 H 的面積最小時(shí) ,直線 AB:x=2p. 設(shè) 22 t1+22| 1| 111t+221t= 2221a+( a=p. ( )設(shè) P(a,b)(a0,b 0),A(x1,B