16_4256762_5.橢圓共軛直徑的基本定理及應(yīng)用

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 橢圓共軛直徑的基本 定理及應(yīng)用 由橢圓共軛直徑的基本定理生成 的 高考試 題 連結(jié)橢圓上任意兩點的線段叫弦 ,過橢圓中心的弦叫直徑 ,如圖 ,平行于直徑 由 共扼直徑的 基本定理及其 兩個推論 已生成一類高考試題 . 母題結(jié)構(gòu) :(基本 定理 )己知 橢圓 G:222(ab0)的一對共扼直徑 ,其斜率分別為 22母題 解 析 :設(shè) (x1,F(x2,(x0,直線 EF:y=kx+t,其中 ,k= y=kx+圓 (b2)a2(0 1(x1+ y0=t=+t=2222 點 P 的軌跡為一條直線 (記為 y=x 2222由 基本 定理 可得如下兩個推論 : 推論 (中點性質(zhì) ):若 橢圓 G:222(ab0)的 任意一條 弦 ,P 為 中點 ,O 為 橢 圓 G 的中 心 ,則 22點 B 的 直徑 與 在 的 直徑 是 一對共扼直徑 ); 推論 (直徑 性質(zhì) ):若 橢圓 G:222(ab0)的 任意一條 直徑 ,A 為 橢圓 G 上 的 任意一 點 ,則 22點 P,則 2222 子題類型 :(2005 年上海 春招 試題 )( )求右焦點坐標是 (2,0),且經(jīng)過點 ( 2 )的橢圓的標準方程 ; ( )已知橢圓 C 的方程是222(ab0)k 的直線 l 交橢圓 C 于 A、 B 兩點 ,中點為 當(dāng)直線 動點 M 在一條過原點的定直線上 ; ( )利用 ( )所揭示的橢圓幾何性質(zhì) ,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心 ,簡要寫出作圖步驟 ,并在圖中 標出橢圓的中心 . 解析 :( )設(shè)橢圓的標準方程為222(ab0),由 a2=,24a+22b=1 , 橢圓方程 :82x+42y=1; ( )設(shè) A(x1,B(x2,M(x0,直線 l:y=kx+t, 代入222 得 :(b2)a2(0 1(x1+ y0=t=+t=2222 點 M 在過原點的定 直線 y=x 上 ; ( )如圖 ,作兩條平行直線分別交橢圓于 A、 、 D,并分別取 中點 M、 N,連接直線 又作兩條平行直線 (與前兩條直線不平行 )分別交橢圓于 1、 分別取 接直線 么直線 即為橢圓中心 . 點評 :實質(zhì)上 ,共扼直徑的定義建立在如下事實之上 :橢圓平行弦的中點軌跡是 過原點的直線 ;該 結(jié)論在雙曲線中也成立 ,所以 ,類似的可定義雙曲線 的共扼直徑 ,并可得到其共扼直徑的基本定理及其兩個推論 . 子題類型 :(2010 年上海高考試題 )已知橢圓 的方程為222(ab0),點 P 的坐標為 (-a,b). ( )若直角坐標平面上的點 M、 A(0, B(a,0)滿足 21(,求點 M 的坐標 ; ( )設(shè)直線 l1:y=p 交橢圓 于 C、 D 兩點 ,交直線 l2:y=點 E.若 22明 :D 的中點 ; ( )對于橢圓 上的點 Q(0b0)的 左、右兩個焦點 . ( )若 橢圓 C 上的點 A(1,23)到 2兩點的距 離 之和等于 4,寫出 橢圓 C 的 方程 ; ( )設(shè)點 K 是 ( )中所得橢圓上的動點 ,求線段 中點的軌跡方程 ; ( )已知橢圓具有性質(zhì) :若 M、 上關(guān)于原點對稱的兩個點 ,點 P 是橢圓上任意一點 ,當(dāng)直線 斜率都存在 ,并記為 那么 位置無關(guān)的定值 ,試對雙曲線22,寫出具有類似特性的性質(zhì) ,并加以證明 . 解析 :( )由 2a=4 a=2;又由點 A 在橢圓 C 上 橢圓 C:42x+32y=1; ( )由 1,0),設(shè)線段 中點 P(x,y),則 K(2x+1,2y)4 )12( 2x+342y=1,即為所求的軌跡方程 ; ( )類似的性質(zhì)為 :若 M、 N 是雙曲線 :22 上關(guān)于原點對稱的兩個點 ,點 P 是雙曲線上任意一點 ,當(dāng)直線 斜率都存在 ,并記為 么 位置無關(guān)的定值 ;證明如下 :設(shè)點 M(m,n),點 P(x,y),則點 N(n), 其中 ,22,mx mx =2222mx ;由 222ab( 2點評 :推論 類似 于圓的直徑性質(zhì) :圓上任一點與一直徑兩端點連線斜率之積 =題指出 雙曲線中也 存在“對偶”性質(zhì) . 1.(2000 年上海高考試題 )已知橢圓 C 的焦點分別為 2 2 ,0)和 2 ,0),長軸長為 6,設(shè)直 y=x+2 交橢圓 C 于 A,求線段 中點坐標 . 2.(2001年上海 春招 試題 )已知橢圓 2y=1,點 P(a,b)的坐標滿足 2b1 的直線 、B 兩點 ,點 Q 為線段 中點 ( )點 Q 的軌跡方程 ; ( )點 Q 的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù) . 3.(2015 年課標 高考試題 )已知橢圓 C:222(ab0)的離心率為22,點 (2, 2 )在 C 上 . ( )求 C 的方程 ; ( )直線 且不平行于坐標軸 ,有兩個交點 A,B,線段 中點為 直線 斜率與直線 4.(2013年課標 高考試題 )平面直角坐標系 過橢圓 M:222(ab0)右焦點的直線 x+ =0交 ,P 為 中點 ,且 斜率為21. ( )求 M 的方程 ; ( )C,D 為 M 上兩點 ,若四邊形 對角線 四邊形 積的最大值 . 5.(1986 年 廣東 高考試題 )已知橢圓 C 的方程為42x+32y=1,試確定 使得對于直線 y=4x+m,橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 . 6.(1992 年 全國 高考試題 )已知橢圓222(ab0),A、 B 是橢圓上的兩點 ,線段 垂直平分線與 x 軸相交于點P()2 0,求證 : 設(shè)橢圓 C:222(ab0),則 a=3,=9 橢圓 C:92x+;設(shè) 線段 (t,t+2),由 22 =t=中點 P(1). ( )設(shè) Q(x,y),則 2xyax =2x2+ 點 Q 的軌跡方程 :2x2+; ( )當(dāng) y=0時 ,由 2x2+ x=0,a; 當(dāng) x=0 時 ,由 2x2+ y=0,b;當(dāng) a=b=0點 1;當(dāng) a=0,b 0,或 a 0,b=0時 ,點 2;當(dāng) 0點 3. ( )由 e=22122,24a+22b=1 , C 的方程 :82x+42y=1; ( )設(shè)直線 l:y=kx+m(0),A(x1,B(x2,將 y=kx+2y=1得 :(2) x1+1242y1+y2=k(x1+2m=1222M(2 2 21 直線 ( )由 直線 x+ =0與 2( 3 ,0) ;又 由 2221 , 62x+32y=1; ( )由 x1+34, |364;設(shè)直線 CD:y=x+n(n 3 ),C(x3,D(x4,把 y=x+2y=1得 : 3 x3+4n, 62 2n | 2 |3429 n 四邊形 面積 S=21|968 29 n 當(dāng) n=0 時 ,S 取得最大值 =368. 設(shè) A、 B 是橢圓 C 上關(guān)于直線 y=4x+m 的 對稱點 ,且直線 直線 y=4x+m 交于點 P(x0,則 P 為 中點 ,由直線y=4x+m 的斜率 =4 41;由 2203 由 x0+m m,3m P(3m);由 點 P 在 橢圓 3(+4(12 m (3132). 設(shè) 中點 Q(x1,則 1 1 1 01;由 22 111- 22 2 22 點Q(x1, 橢圓