16_4256780_53.以圓錐曲線的弦為直徑圓的方程求法與應用

中國 高考數學母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數學母題 (楊培明 以圓錐曲線的弦為直徑圓的方程求法與應用 構造一元二次方程 ,合成圓的方程 求以直線與二次曲線的兩個不同交點為直徑兩端的圓方程 是高考 的一個熱點問題 ,通過構造一元二次方程 ,可合成該圓的方程 ;應用它 求該圓的方程 ,思路 清晰 ,步驟 簡練 ,別具一格 . 母題結構 :設直線 l:y=kx+m(k 0)與圓錐 曲線 G:dx+ey+f=0 交 A、 B 兩 點 ,求以線段 直徑的圓的方程 . 母題 解 析 :由 y=kx+m 與 dx+ey+f=0 聯立 ,消去 y 得 :(a+2d+ek)x+em+f=0 ;消去 x 得 :(a+ dk+y+ ;由 +即 得 以線段 直徑的圓的方程 ;證明如下 :設 A(x1,B(x2,則x1, 的兩根 x1+22 ,2 ;由 y1,的兩根 y1+22 2 ,22 ; 又由 以線段 直徑的圓 :(0 (a+a+2d+ek)x+(dk+y+em+f +. 子題類型 :(2004 年湖北高考試題 )直線 l:y= 與雙曲線 C:2 的右支交于不同的兩點 A、 B. ( )求實數 k 的取值范圍 ; ( )是否存在實數 k,使得以線段 直徑的圓經過雙曲線 ？若存在 ,求出 k 的值 ;不存在 ,說明理由 . 解析 :( )設 A(x1,B(x2,將 y=代入 2得 (2;所以 ,直線 的右支交于不同的兩點 A、 B 20, =4(20,x1+220,222k0 k 的取值范圍 是 ( ); ( )將 y=代入 2消去 2,與 (2相加得 以線段 (22- k2),由右焦點 F(26,0)在圓上 5 6 k= ( ),或 k=566 ( ). 點評 :對 以圓錐曲線的弦為直徑的圓過某點的問題 ,可用母題方法寫出圓的方程 ,再把 某點 代入求解 . 子題類型 :(2010 年大綱卷 高考試題 )己知斜率為 1的直線 l 與雙曲線 C:2222=1 (a0,b0)相交于 B、 D 兩點 ,且 中點為 M(1,3).( )求 C 的離 心率 ; ( )設 C 的右頂點為 A,右焦點為 F,|17,證明 :過 A、 B、 D 三點的圓與 x 軸相切 . 解析 :( )設 B(x1,D(x2,由 l:y=x+2,代入2222=1 得 :( x1+224ab a=2 e=2; ( )不妨設 -a,a,則 |2|a(x1+a+8;由 |17 5a +8=17 a=1 A(1,0),雙曲線 C:3 將 y=x+2 代入 ,消去 y 得 : ;消去 x 得 :9=0 ;由 +得 :x2+=0,此即為 以線段 直徑的圓的方程 ;又點 A 在此圓上 過 A、 B、 D 三點的圓與 x 軸相切 于點 A. 點評 :巧用 以圓錐曲線的弦為直徑的圓 是母 題應 用 的精到之點 ,而 以圓錐曲線的弦為直徑的圓 可直接寫出 . 問題 子題類型 :(2000 年北京、安徽春招試題 )如圖 ,設點 A 和 B 為拋物線 px(p0)上原點以外 的兩個動點 ,己知 M 點 M 的軌跡方程 ,并說明它表示什么曲線 . 解析 :設直線 AB:x=ty+a(a 0),代入 去 y 得 :a+2x+ ;消去 4 ;由 +得 :x2+a+2,此即為 以線段 直徑的圓的方程 ;由 原點 0 在此圓上 a=4p 直線 (4p,0);又由 點 去掉坐標原點 ),其方程為 (+p2(x2+0). 點評 :若 A、 B 是圓錐曲線 C 上的兩點 ,對滿足 直 的問題 ,均可 用 以圓錐曲線的弦為直徑的圓 獲得巧妙解決 . 1.(2004 年同濟大學保送生考試數學試題 )設拋物線 y=x+4直線 y=x 有兩個不同的交點 ,且交點總可以被一個半徑為 1 的圓片所同時遮蓋 ,試問 :實數 k 應滿足什么條件？ 2.(2012年全國高中數學聯賽福 建 預賽試 題 )已知 雙曲線 C:22(a0,b0)的離心率 e= 3 ,其 左焦點 .( )求雙曲線 C 的方程 ; ( )若過點 D(2,0)的直線 l 交雙曲線 C 于 A、 B 兩點 ,且以 ,求直線 方程 . 3.(2011年全國高中數學聯賽貴州 預賽試 題 )如圖所示 ,過雙曲線 的中心 相垂直的射線 ,交雙曲線于 A、 試求 :( )弦 的軌跡方程 ; ( )雙曲線的中心 O 到直線 4.(2013 年全國高中數學聯賽 四川 預賽試 題 )已知點 B(0,1)Q 為橢圓42x+ 上異于點 任意兩點 ,且 )若點 B 在線段 的射影為 M,求 ( )求線段 中垂線 l在 由 y=x 與 y=x+4合 ,消去 y 得 :x+4, =(20 去 y+4 以 交點 為直徑 端點 的圓 :x2+y+8 ()2+()2=22 022 1 5k 5+k 5) (7,5+223. ( )由焦點到漸近線的距離 =b b= 2 ,又由 e= 3 a=1 雙曲線 C:; ( )設直線 l:x=,與雙曲線 C:聯立 ,并消去 (2=0,并消去 (2 以直徑的圓 :(22x+8;由該 圓過坐標原點 O 2 t= 1 直線 AB:x= y+2. 設 A(x1,B(x2,直線 AB:y=kx+t,將直線 立 ,消去 (4;消去 (4 以 直徑的圓 :(44;由 該 圓過坐標原點 O 3; ( )由圓心 P(24 244,設 點 P(x,y),則 x=24 y=244k k=t=4y (4 3(2 =4(+1 3(4=4(16x2+x 0);( )O 到直線 距離 d=1|232. 設 PQ:y=kx+m,與 聯立 ,消去 y