廣東省清遠市清新區(qū)2017屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

清新區(qū)高三第二學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué)（理）試題 第 卷 一、 選擇題：本大題共 12個小題 ,每小題 5分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1直線 2x (m 1)y 4 0與直線 3y 2 0平行，則 ) A 2 B 3C 2或 3 D 2或 3 2若 ( ) A p B p C p 是真命題 D 3從裝有除顏色外完全 相同的 2 個紅球和 2 個白球的口袋內(nèi)任取 2 個球，那么互斥而不對立的兩個事件是 ( ) A至少有 1個白球，都是白球 B至少有 1個白球，至少有 1個紅球 C恰有 1個白球，恰有 2個白球 D至少有 1個白球，都是紅球 4如左下圖，給出的是計算 12 14 16 12 016的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的是 ( ) A i 2 021? B i 2 019? C i 2 017? D i 2 015? （第 4題圖） （第 5題圖） （第 6題圖） 5對某商店一個月（ 30 天）內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是 ( ) A 46,45,56B 46,45,53 C 47,45,56D 45,47,53 6一個圓錐被過頂點的平面截去了較小的一部分，余下的幾何體的三視圖如右上圖，則該幾何體的體積為 ( ) A32B31C3243 D3143 B（ 2， p）， B（ 3， p），若5( 1) 9P ，則 P（ 2）的值為 （ ） A2027B8C727D18 某企業(yè)有 4 個分廠，現(xiàn)有新培訓(xùn)的 6名技術(shù)人員，將這 6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少 1人，則不同的分配方案種數(shù)為 （ ） A 1080 B 480C 1560 D 300 9設(shè) 別為橢圓 的左右兩個焦點，點 P 為橢圓上任意一點，則使得成立的 ） A 0 B 1 C 2 D 3 10 一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn) 1車皮甲種肥料的主要 原料是磷酸鹽 4噸，硝酸鹽 18噸；生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽 1噸，硝酸鹽 15噸現(xiàn)庫存磷酸鹽 10噸，硝酸鹽 66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料如果生產(chǎn) 1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為 12 000 元，生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為 7 000 元，那么可產(chǎn)生的最大利潤是 ( ) A 29 000元 B 31 000元 C 38 000元 D 45 000 元 11某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價 (元 ) 4 5 6 7 8 9 銷量 (件 ) 90 84 83 80 75 68 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程 4x在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為 ( ) A 16 B 13 C 12 D 23 12 已知 f（ x） =x2+ “ b0” 是 “ f（ f（ x）的最小值與 f（ x）的最小值相等 ” 的（） 第 卷 二、 填空題 ：（本大題共 4小題 ，每小題 5分，滿分 20分） 13設(shè)數(shù)列 的等差數(shù)列，前 n 項和 20S ，則公差為 14若 x ， y 滿足不等式 2, 6,2 0, 則 z x y 的取值范圍是 15設(shè)正三棱柱 B C 中， 2， 23，則該正三棱柱外接球的表面積是 16函數(shù) ()()定義域都是 D ，直線00，與 ()y f x ， ()y g x的圖象分別交于 A ， B 兩點，若 |值是不等于 0 的常數(shù)，則稱曲線 ()y f x ， ()y g x為“平行曲線”，設(shè) ( ) x e a x c （ 0a ， 0c ），且 ()y f x ， ()y g x 為區(qū)間 (0, ) 的“平行曲線”， (1)， ()區(qū)間 (2,3) 上的零點唯一，則 a 的取值范圍是 三、 解答題 （解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 23兩題是選修題。） 17已知向量 1, 向量 21,co s3 函數(shù) )( . （ I）求 調(diào)遞減區(qū)間； （ 知 , 分別為 內(nèi)角 , 的對邊， A 為銳角， 4,32 且 2,0上的最大值，求 和 的面積 S . 18 甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的 10 道題中，甲答對其中每道題的概率都是53，乙能答對其中的 5道題 0 道題中隨機抽出 3道題進行測試，答對一題加 10分，答錯一題（不答視為答錯）減 5分，至少得 15分才能入選 . （ I）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ 甲、乙兩人中至少有一人入選的概率 . 19 一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示， 分別是 111 的中點 . （ I）求證： /,1 平面 11 （ 二面角 1 的余弦值 . 20 已知定點 0,1M 和直線 1x 上的動點 1 ，線段 垂直平分線交直線 點 R ，設(shè)點 R 的軌跡為曲線 E . （ I）求曲線 E 的方程； （ 線 )0( x 軸于點 C ，交曲線 E 于不同的兩點 ，點 B 關(guān)于 x 軸的對稱點為 P ，點 C 關(guān)于 y 軸的對稱點為 Q ，求證： , 三點共線 . 21 已知函數(shù) )0(3 . （ I）求函數(shù) 單調(diào)區(qū)間； （ 函數(shù) 的圖像在點 )2,2( f 處的切線的傾斜角為 45 ，問： m 在什么范圍取值時，對于任意的 2,1t ，函數(shù) 23在區(qū)間 3,t 上總存在極值？ （ 2a 時，設(shè)函數(shù) 32)2( x 在區(qū)間 e,1 上至少存在一個0x，使得 00 成立，試求實數(shù) p 的取值范圍 . 22 在平面直角坐標(biāo)系中，圓 C 的方程為 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 )(s o s . （ I）當(dāng) 3m 時，判斷直線 l 與 C 的關(guān)系； （ C 上有且只有一點到直線 l 的距離等于 2 時，求 C 上到直線 l 距離為 22 的點的坐標(biāo) . 23 設(shè)函數(shù) ,25. （ I）求證：當(dāng)21等式 1立； （ 于 x 的不等式 在 R 上恒成立 ，求實數(shù) a 的最大值 . 答案： 一、 1 7 、 2,2 16. 23, . 三 17.（ I） )(65,3 ；（ A ， 2b ， 23S . 【解析】 試題分析： （ I）根據(jù)已知向量 ,坐標(biāo)表示出 3( s i n 3 c o s , )2m n x x ur r ，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算可以得到 2 1s i n 1 3 s i n c o x x x x ，然后根據(jù)二倍角公式化簡整理得到正弦型函數(shù) s i n ( 2 ) 26f x x ，令 32 2 22 6 2k x k k Z ，解出 x 的范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間；（ 0, 2x 時， 52 , 6 6 6x ，所以 ，因此 s i n ( 2 ) 2 16f A A ，此時3,262 據(jù)余弦定理可以求出 b ，再根據(jù) 1 可得面積 . 試題解析：（ I） 21c 2 212s 12 2co )62 x 3分 由 )(2326222 得 )(653 所以 單調(diào)遞減區(qū)間為 )(65,3 5分 （ （ I）知 ： 2)62s 2,0 5626 262 得最大值 3. 7分 所以3,262 8分 由余弦定理， c o 得21421612 2 b 10 分 3260s 12分 18.（ 1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望 152（ 2） 103125. 【解析】 試題分析： （ I）根據(jù)題意分析可知，乙可能答對的題數(shù)為 0,1,2,3 ，則相應(yīng)得分分別為 15,0,15,30 ， 乙 的 得 分 情 況 服 從 超 幾 何 分 布 1211531035 1250 3103525 125153102515 1213031035 于是可以得到 乙 得 分 的 分 布 列 和 數(shù) 學(xué) 期 望 ；（ 甲 至 少 得 15 分 的 概 率 為23213 3 2 3 8 15 5 5 1 2 5 ，乙至少得 15 分的概率為2 12P，所以甲、乙兩人中至少有一人入選的概率為 8 1 1 1 0 31 1 11 2 5 2 1 2 5P . 試題解析： （ I ） 設(shè) 乙 答 題 所 得 分 數(shù) 為 X ，則 X 的 可 能 取 值 為,15,30 1分 12115 31035 12503103525 12515 3102515 12130 31035 4分 乙得分的分布列如下： 211512501251512130 5分 21530121151250125)15(121 6分 （ 已知甲、乙至少答對 2題才能入選，記甲入選為事件 A ，乙入選為事件 B . 則 1 2581)53()52()53( 3223 8分 21121125 10 分 故甲乙兩人至少有一人入選的概率 12510321125441)(1 12 分 19.（ I）證明見解析；（ 2 3417. 【解析】 試題分析： （ I）由直觀圖及三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，底面為直角三角形，因此 1, 兩垂直，故以 C 為原點， 1, 在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，證明1 0B 平面1面1后計算出12值，通過觀察圖形確定二面角 1 的余弦值與 12系即可 . 試題解析： （ I）證明：由三視圖可知，在這個多面體的直觀圖中， 面1 ，且43, 1 1分 因此 1, 兩垂直，故以 C 為原點， 1, 在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 2分 則由已知可得： 4,4,0,4,0,3,4,0,0,0,4,0,0,0,3,0,0,0 111 故 )4,0,23(),2,2,23( 1( 0 , 2 , 2 ) , ( 3 , 4 , 4 )M N A B u u ur u 3分 即 1 4分 即1/C, 而 平面11面11 /平面 11 6分 （ ：設(shè) ,n x y zr 是平面1 100n C r 3, 4 , 0 1 3, 0, 4 13 4 03 4 0n A B x C x z r u u u 令 4x ，可得 3 ， 4,3,3nr ， 2分 由已知可得 AC面1 3, 0 , 0 平面 1一個法向量， 10分 設(shè)二面角1A 的平面角為 ，則有： 1 2 0 0 2 3 4c o 4n A C r u u u u 所求二面角的余弦值是 2 3417. 12分 20.（ I） 2 4；（ 明見解析 . 【解析】 試題分析： （ I）根據(jù)題意分析可知，動點 R 到定點 1,0M 的距離與到定直線 1x的距離相等，因此動點 R 的軌跡是以 1,0M 為焦點，以直線 1x 為準線的拋物線，軌跡方程 2:4E y x ；（ 立直線方程與拋物線方程 2 4kx b ，消去 y 得： 2 2 22 4 0k x k b x b ，設(shè) 11,A x y ， 22,B x y ，則 12 242k ， 2122 ，點 22,P x y，由 )0( ( ,0)則 ( ,0) , 三點共線，則應(yīng)有即驗證可 . 試題解析： （ I）由題意可知： ，即點 R 到直線 1x 和點 M 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知： R 的軌跡為拋物線，其中 M 為焦點 . 3分 設(shè) R 的軌跡方程為： 2,12,22 的軌跡方程為： 2 . 5分 （ 條件可知 )0,(，則 )0,( 6分 聯(lián)立去 y 得 0)42( 222 0)1(164)42( 222 7分 設(shè) )(, 212211 ，則 22, ,2 1424,24 21221 k 424 22 k 9分 因為 1 2 1 2122( ) 2 2 ,8 1 12y k x x b b k b 10 分 1221)1(2)11(2)(01111 11分 所以 ,三點共線 . 12 分 21.（ I） 當(dāng) 0a 時，函數(shù) 單調(diào)增區(qū)間是 1,0 ，單調(diào)減區(qū)間是 ,1 ，當(dāng) 0a 時，函數(shù) 單調(diào)增區(qū)間是 ,1 ，單調(diào)減區(qū)間是 1,0 ； （ 9337 m； （ 4 ,1ep e . 【解析】 試題分析： （ I） 1( 1 )af x a ，當(dāng) 0a 時，由 0 得 01x，由 0 得 1x ，當(dāng) 0a 時，由 0 得 1x ，由 0 得 01x；（ 題 21f ，即 12a a， 2a ，此時 2 2 ， 32( 2 ) 22mg x x x x ，則 23 ( 4 ) 2g x x m x ，若在區(qū)間 3,t 上存在極值，則應(yīng)有 30g t g ，又 為開口向上的拋物線，且 00g ，所以應(yīng)有 030 ，于是可以求出 m 的取值范圍；（ 2a 時， 2 3f x x x ，令 ，則 ( ，然后分 0p ， 0p進行討論，即可以求出 p 的取值范圍 . 試題解析： （ I）由 3 x 1( 1分 當(dāng) 0a 時 ， 函 數(shù) 單 調(diào) 增 區(qū) 間 是 1,0 ， 單 調(diào) 減 區(qū) 間 是 ,1 ， 2分 當(dāng) 0a 時 ， 函 數(shù) 單 調(diào) 增 區(qū) 間 是 ,1 ， 單 調(diào) 減 區(qū) 間 是 1,0 ， 3分 （ 2122 2,32， 故 )22(2 2323 ， 2)4(3 2 5分 在區(qū)間 3,t 上總存在極值， 0 兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間 3,t 內(nèi) 又 函 數(shù) 是開口向上的二次函數(shù)，且 020 g ， 030由 023)4(273 解得337m， 6分 由 4320 2 34H t Q 在 2,1 上單調(diào)遞減，所以 91m 9m ， 7分 綜上可得， 9337 m， 所以當(dāng) m 在 )9,337( 內(nèi)取值時，對于任意的 2,1t ，函數(shù) 23在區(qū)間 3,t 上總存在極值 . （ 2 , 2 l n 2 3a f x x x Q ，令 ，則 ( ， 9分 當(dāng) 0p 時，由 1 得 0 而 0 所以，在 e,1 上不存在0 00 ； 10分 當(dāng) 0p 時， 2222 , 1 , , 2 2 0p x x p eF x x e e Q， 0,02 e,1 上恒成立， 故 e,1 上單調(diào)遞增 . 4m a x 故只要 04 得142 e 綜上所述： p 的取值范圍是 ,142 12分 22.（ I）當(dāng) 3m 時，直線 l 與 C 相交；（ 2,0 和 0,2 . 【解析】 試題分析： （ I）當(dāng) 3m 時， 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 c o s s ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得 3，圓 C 的直角坐標(biāo)方程為 221 1 2 ，圓心到直線 l 的距離 1 1 3 222 所以直線 l 與圓 C 相交；（ 析可知，若圓 C 上只有一點到直 線 l 的距離為 2 ，則直線與