2015年陳文登《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》習(xí)題詳解(絕對詳細、免費)

2015 版 陳 文登復(fù)習(xí)指南 習(xí)題詳解 高等數(shù)學(xué) 習(xí) 題 一 1 填空題 設(shè)，則常數(shù) _ 解答 由題意可得 即 _ 解答 且 又 由夾逼原則可得原式 已知極限，則 解答 當(dāng) 時，由可得 原式同理可得 故原式 已知 則_ 解答 原式 已知函數(shù)則 _ 解答 又 所以 _ 解答 原式 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， ， , 若在 處連續(xù)，則常數(shù) 解答 設(shè)當(dāng) 時， =為 的 階無窮小，則 解答 由此可得 ， _ 解答 原式 已知，則 ， 解答 =若極限存在 則 得 故2選擇題 設(shè) 和 在 內(nèi)有定義， 為連續(xù)函數(shù)，且 ， 有間斷點，則 必有間斷點 必有間斷點 必有間斷點 必有間斷點 解答 若連續(xù)，則也連續(xù)，與題設(shè)矛盾，所以應(yīng)該選 . 設(shè)函數(shù) 則 是 偶函數(shù) 無界函數(shù) 周期函數(shù) 單調(diào)函數(shù) 解答 因為 ，所以 ，又 為無界函數(shù)，當(dāng)任意給定一正數(shù) ，都存在 時，使得 ，于是 ，故 為無界函數(shù)，所以應(yīng)該選 . 當(dāng) 時，函數(shù)的極限是 等于 等于 為 不存在但不為 解答 所以應(yīng)該選 . 若函數(shù)在 處連續(xù)，則 的值是 解答 ，則 ，所以應(yīng)該選 . 極限的值是 不存在 解答 原式，所以應(yīng)該選 . 設(shè)則 值是 均不對 解答 原式解得 所以應(yīng)該選 . 設(shè)則 的值為 ，均不對 解答 原式，由可得，所以應(yīng)該選 . 設(shè) 則當(dāng) 時， 是 的等價無窮小 與是 同階但非等價無窮小 是比 較低階的無窮小 是比 較高階無窮小 解答 原式，所以應(yīng)該選 . 設(shè)則 的值是 解答 若原式極限存在，當(dāng) 時，由可得 ，所以應(yīng)該選 . 設(shè)其中 則必有 解答 原式 可得 ，所以應(yīng)該選 . 3計算題 求下列極限 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 原式 又 所以原極限 求下列極限 解答 原式 解答 原式 1 解答 原式 求下列極限 解答 原式 () 解答 原式 解答 原式 解答 原式 且 又 ，故由夾逼原則知原式 解答 當(dāng) 時，原式 當(dāng) 時，原式 當(dāng) 時，原式 其中 解答 原式 () 4設(shè) 試討論 在 處的連續(xù)性和可導(dǎo)性 . 解答 由于是 在 處連續(xù) . 分別求 在 處的左、右導(dǎo)數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導(dǎo) . 5求下列函數(shù)的間斷點并判別類型 . 解答 為函數(shù) 的間斷點 又所以 為函數(shù) 第一類跳躍間斷點 . 解答 當(dāng) 時， 當(dāng) 時，當(dāng) 時，即， 所以 為函數(shù) 第一類間斷點 . 解答 當(dāng) 時， 所以 為第一類跳躍間斷點 . 當(dāng) 時， 不存在，所以 為第二類間斷點 . 當(dāng)時，所以為第一類可去間斷點 . 當(dāng)時，所以為第二類無窮間斷點 . 6試確定常數(shù) 的值，使極限存在，并求該極限值 . 解答 原式 存在 由可得 ，即 則原式 同理由可得 ，即所以原式 7設(shè)，且 是 的可去間斷點，求 的值 . 解答 存在，由可得 . 原式 存在，同理由可得. 8設(shè)求 的值 . 解答 原式 () 由可得原式 ，即 9討論函數(shù)在 處的連續(xù)性 . 解答 當(dāng) 時，所以 若 時， 在 連續(xù) . 若 時， 在 為第一類跳躍間斷點 . 當(dāng) 時， 是 的第二類間斷點 . 10 設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且求 及解答 由可得 所以 第二章 一、填空題 7設(shè)，則 _ 解答 原式 所以8已知，則_ 解答 原式 即令 ，則9設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)， ，則_ 解答 原式 10設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點 處的法線方程為 _ 解答 兩邊求導(dǎo) 將 代入可得 故所求的方程為 二選擇題 1 設(shè) 可導(dǎo)， ，則 是 在 處可導(dǎo)的 充分必要條件 充分但非必要條件 必要但非充分條件 既非充分又非必要條件 解答 若 在 處可導(dǎo) ，即 ，所以應(yīng)該選 . 2 設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，且 ，則 解答 ，所以應(yīng)該選 . 3 已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，則當(dāng) 為大于 2 的正整數(shù)時， 的 階導(dǎo)數(shù) 是 解答 ， 由數(shù)學(xué)歸納法可得 ，所以應(yīng)該選 . 4設(shè)函數(shù)對任意 均滿足 ，且 ，其中 為非零常數(shù)，則 在 處不可導(dǎo) 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 解答 ，故應(yīng)選 . 二、選擇 7設(shè)在 處可導(dǎo)，則 為任意常數(shù) 為任意常數(shù) 解答 由 在 連續(xù)可得 由 在 可導(dǎo)得 則 ，所以應(yīng)該選 . 8設(shè) ，則 在 處可導(dǎo)的充要條件為 存在 存在 存在 存在 解答 當(dāng) 時， ，則等價于，所以應(yīng)該選 . 9設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，則 當(dāng)時，必有當(dāng)時，必有當(dāng)時，必有當(dāng)時，必有解答 若設(shè) 時， 均錯誤，若設(shè) 時， 錯誤，故選 . 10設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處不可導(dǎo)的充分條件是 且 且 且 且 解答 令 ，由導(dǎo)數(shù)定義可得 若 ，由 的連續(xù)性及保號性可得 ，此時 若 ，同理可得 . 故若 不存在，則 若 ，且 ，設(shè) ，由于所以當(dāng) 時， ， 時， 則 故 不存在，所以應(yīng)該選 . 三計算題 1 ，求 . 解答 2已知 可導(dǎo)， ，求 . 解答 3已知 ，求 . 解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡可得 4設(shè) 的函數(shù)是由方程確定的，求 . 解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡得5已知，求. 解答 6設(shè) ，求. 解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 可得又所以 7設(shè)函數(shù) 二階可導(dǎo)， ，且，求. 解答 8設(shè)曲線 由方程組確定，求該曲線在 處的曲率 . 解答 ，則 四已知，其中 有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 確定 的值，使 在 點連續(xù)； 求 . 解答 即當(dāng) 時， 在 處連續(xù) . 當(dāng) 時，有 當(dāng) 時，由導(dǎo)數(shù)的定義有 五已知當(dāng) 時， 有定義且二階可導(dǎo)，問 為何值時 是二階可導(dǎo) . 解答 在 處連續(xù) 則即 在 處一階可導(dǎo)，則有 此時，在 處二階可導(dǎo)，則有六已知，求 . 解答 又 在 處的麥克勞林級數(shù)展開式為 通過比較可得，當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 七設(shè) ，求 . 解答 , 通過遞推公式可得 當(dāng) 時， 八證明 滿足方程 證明： 化簡可得 得證 . 第三章 1求下列不定積分 . 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 設(shè) 原式 2求下列不定積分 . 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ，原式 解答 設(shè) 原式 解答 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ，則原式 解答 設(shè) ，原式 3求下列不定積分 . 解答 原式 解答 設(shè) ，則原式 4求下列不定積分 . 解答 設(shè) ，原式 解答 設(shè) ，原式 5求下列不定積分 . 解答 原式 解答 所以 解答 原式 解答 原式 移項得 解答 原式 6求下列不定積分 . 解答 原式 再求設(shè) ，則 原式 = 所以 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 7設(shè)，求 解答 當(dāng) 時 當(dāng) 時 因為 在 處連續(xù)，可得 ，所以 8設(shè) ， ( 為不同時為零的常數(shù) )，求 . 解答 設(shè) ， ， 則 又 所以 即 9求下列不定積分 . 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 原式 10設(shè)當(dāng) 時， 連續(xù)，求解答 原式 11設(shè) ，求 . 解答 設(shè) ，則 所以 12 求下列不定積分 . 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 13下列不定積分 . 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ，則 原式 解答 設(shè) ， 原式 14求下列不定積分 . 解答 原式 解答 原式 解答 原式 15求下列不定積分 . 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 習(xí) 題 四（ 1） 1 若 在 上連續(xù)，證明：對于任意選定的連續(xù)函數(shù) ，均有 則在 上， 證明：假設(shè)在 上存在 使得 ，令 ，由于 在 上連續(xù)，故存在 在 上，使得 . 又令則結(jié)論與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立 . 2 設(shè) 為任意實數(shù)，證明：證明：設(shè)，則 所以 即 ，得證 . 3 已知 在 連續(xù)，對任意 都有 證明： 證 明 ： 在 連續(xù) , 則，又 所以 1 設(shè) 為大于 的正整數(shù)，證明：. 證明： = 即 若，則于是這與推論矛盾，所以若，則于是這與推論矛盾，所以綜上所述，有. 1 設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)減少， ，證明：對于滿足 的任何 ， ，有 證明：由積分中值定律有 又 ，且單調(diào)遞減，故當(dāng) 時， 所以 即 2 設(shè) 在 上二階可導(dǎo)，且 證明： 證明：由泰勒公式有 又 ，則 兩邊積分可得 7設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)不增，證明：任給 ，有 證明： ， 所以 又 ， ， 單調(diào)不增，當(dāng) 時， 所以 8設(shè) 在 上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：在 內(nèi)存在 一點 ，使 證明：由泰勒公式有 ， 其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，設(shè) 最大值為 ，最小值為 ，即 則 即 ， 由介值定理可得，至少存在一點 ，使得即，得證 . 9設(shè) 連續(xù)，證明 ：證明：設(shè) ，則 10設(shè) 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在且可積， ，證明： 證明 : 由 ，可得 ， 其中 即 12設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，則 證明： 令 ，則 兩邊積分得 令，消除 后得 即 13設(shè)函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，證明： 證明：由柯西不等式有 14設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ， ，證明： ，使 證明：因為 在 上連續(xù)，則必存在一點 ，使得 ，即 ， 即 習(xí) 題 五 1. 設(shè) 函 數(shù) 在 在 閉 區(qū) 間 上 可 微 ， 對 于 每 一 個 ，函數(shù) 的值都在開區(qū)間 內(nèi)，且 ，證明：在 內(nèi)有且僅有一個 ，使 . 證明： 設(shè) ，則 在 上連續(xù)，又 ，所以 ， ，由零值定理可知， 在 內(nèi)至少存在一個 ，使 ，即 . 利用反證法證明 在 內(nèi)至多有一個零點 . 設(shè) 且 使得 ， ，則由拉格朗日中值定理可得，至少存在一個 ，使得 這與題設(shè)矛盾，綜上所述，命題得證 . 2設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在 內(nèi) 一個 ，使 . 證明： 由積分中值定理，可知在上存在一點 ，使，從而有 . 于是由洛爾定理可知，在 內(nèi)存在一個 ，使 ， 3設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，又 ，證明：在 內(nèi)至少 一個 ，使 . 證明：由題意可得 ，根據(jù)洛爾定理可得至少存在 ，使得 . 又 當(dāng) 時， . 再對 在 上應(yīng)用洛爾定理，可得至少存在一個 ， 使得 ，命題得證 . 4設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi) 一個 ，使 . 證明：設(shè) ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明： 一個 ，使 證明： 設(shè) ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明： 一個 ，使 證明：設(shè)則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ， 即 7設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：至少 一個 使證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即 8設(shè)函數(shù) 在 上可 導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi)至少 一個 ，使 證明：設(shè)，則在 內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個 ，使得 即所以 9若 ，證明： 一個 或 ，使 證明：設(shè)，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個 ，使得 即 化簡可得 10函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ， ，證明：至少 一 個 ，使 . 證明：設(shè)，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 即 11設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少 一個 使 證明：設(shè)，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個 ，使得 ，即 12設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明：至少 一個 使 證明： 在處的泰勒展開式為 兩式相加得又 在 內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，所以存在 ，使得，所以 . 13設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù) ，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：在 ,使 證明：設(shè)，由柯西中值定理，在 內(nèi)至少存在 ，使得 即 對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 14設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明： 使得 證明：設(shè) ，由柯西中值定理可得，至少存在 ，使得 ，即 設(shè) ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 ， 即 15設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明： ，使得 證明：設(shè) ，由柯西中值定理可得，對于 ，存在 ，使 對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 由兩式可得 習(xí) 題 六 一求解下列微分方程 . 解答 令 ，則原微分方程可變化為 解其對應(yīng)的齊次方程 ，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ， 解得 ，所以 故原方程的解為 解答 原方程可變換為 解得，即， 又 ，則 ，故二求解下列微分方程 . 解答 令 ，則 ， 原 方 程 可 變 換 為即 ，解得，將 代入可得 解答 設(shè)，將方程右端同除 后可變換為 解得 即 由 可得 ，故所求方程為 三求解下列微分方程 . 解答 令 ，又 ，則原方程式可變換為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 解得 所以 解答 方程可變換為其對應(yīng)其次方程可解為 ，積分可得 ， 即，齊次方程的通解為 令 ，代入原式中有，積分可解得 故原方程的通解為 解答 設(shè) ，則 ， 所以原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則方程變換為 其對應(yīng)的齊次方程的解為 ， 令，代入原方程中可解得所以 ，即 五求解下列微分方程 解答 原式可變換為 ，即 設(shè) ，則原方程可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入原式中有 ，可解得 故 解答 原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則原式可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入可得 解得 所以 六函數(shù) 在實軸上連續(xù)， 存在，且具有性質(zhì) ，試求出 . 解答 在實軸上連續(xù)，設(shè) ，則 可得 又 存在，則對任意 ，有 即 處處可微且滿足 解得 又 故 八求解下列方程 解答 原式可變換為 ，即 令 ，則又變換為 ，即 解此方程可得 又 ，則 ，所以 解答 令 ，則 ， 則原式可變換為 解此方程可得 ，即 又，則，所以 九求解下列方程 解答 令 ，則原方程可變換為 即 ，積分可得 即 解得 解答 令 ，則原方程可變換為解得，又 ，可得 所以 ，則 ，又 ，可得故 解答 令，則原方程可變換為令 ，則原方程又可變換為解此方程可得 ，當(dāng) 時， ，可得 則 ，又 ， 可 得 所以 十二求解下列微分方程 . 解答 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為 齊次方程通解 特解 所以原式的通解為 解答 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為 齊次方程通解 特解 所以原式通解為 五一質(zhì)量為 的物體，在粘性液體中由靜止自由下落，假如液體阻力與運動速度成正比，試求物體運動的規(guī)律 . 解答 物體受到的重力為 ，阻力為 ，則 ，其中，則方程式變?yōu)?令 ，則方程式變化為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ， 解得，所以 ， 又 ，則，又 ，則所以十六有一盛滿水的圓錐形漏斗，高 ，頂角 ， 漏斗尖處有面積為 的小孔，求水流出時漏斗內(nèi)水深的變化規(guī)律，并求出全部流出所需要的時間 . 解答 從時刻 到 小孔流出的水量為 在此時間內(nèi)，液面由 降至 ，水量減少為由題意可知 ，則，且當(dāng) 時， . 所以方程為當(dāng)水全部流出時， ， . 十八有一房間容積為 ，開始時房間空氣中含有二氧化碳 ，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風(fēng)量為 /分的排風(fēng)扇通入含 的二氧化碳的新鮮空氣，同時以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，求排出 分鐘 后，房間中二氧化碳含量的百分比？ 解答 設(shè)在 時刻， 的含量為 ，則在 時間內(nèi)進入房間的 的含量為 ，排出房間的 的含量為 所以在 內(nèi) 的改變量為 化簡得 解得 又 則 ，即 所以當(dāng) 時， ，即 的含量為 . 習(xí) 題 七 2填空題 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間 _ 解答 ，令 ，可得當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減 . 所以 的單調(diào)遞減區(qū)間是或. 曲線 與其在處的切線所圍成的部分被 軸分成兩部分，這兩部分面積之比是 _ 解答 直線方程為，即， 兩直線的交點可求得 ，即求解 方法一：已知其一根為，設(shè)方程為通過比較可得 ，可解得另外一根為方法二：分解方程有 即 所以 則 設(shè) 在 上連續(xù)，當(dāng) 時， 取最小值 . 解答 令 ，則 即 所以 繞 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積 _ 解答 令 ，則 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 所以 求心臟線 和直線 及圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積 _ 解答 將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)形式為 ， 則 所以 4計算題 在直線 與拋物線 的交點上引拋物線的法線，求由兩法線及連接兩交點的弦所圍成的三角形的面積 . 解答 由題意可計算兩法線的方程為 ，即 ，即 兩直線的交點為，則 過拋物線 上的一點 作切線，問 為何值時所作的切線與拋物線 所圍成的面積最小 . 解答 直線的斜率 ，則直線方程為 ，與拋物線相交， 即 ，設(shè)方程的兩根為 且 ，則 ， 從而 又 ，所以 求通過點 的直線 中使得 為最小的直線方程 . 解答 設(shè) ，則 則 由 可得 即 可得 又 則當(dāng) 時 為最小，此時 方程為 求函數(shù) 的最大值與最小值 . 解答 令 ，可得 當(dāng) 時， ，即 在 取最小值，此時 當(dāng) 時， ，即 在 取最大值 此時 . 求曲線 與 所圍陰影部分面積 ，并將此面積繞 軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積，如圖所示 . 解答 已知圓 ，其中 ，求此圓繞 軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積和表面積 . 解答 令 ，如圖所示，則 設(shè)有一薄板其邊緣為一拋物線，如圖所示，鉛直沉入水中， 若頂點恰好在水平面上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ 解答 拋物線方程為，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力 為 要使 ，解得 . 若將薄板倒置使弦恰好在水平面在上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ 解答 建立如圖坐標(biāo)系，則拋物線方程為，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力為 要使 ，解得 . 解答 8設(shè) ，由確定，求. 解答 對方程組求導(dǎo)可得 求解可得9設(shè)，求. 解答 所以 10設(shè) ，其中 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 二階可導(dǎo)，求. 解答 11已知 ，且，其中 可微， 連續(xù)，且 ， 連續(xù) ，試求. 解答 ，又即，又即 12設(shè) ，其中出現(xiàn)的函數(shù)是連續(xù)可微的，試計算. 解答 13設(shè)，試確定常數(shù) ，使. 解答 由，可得14若 滿足，其中有 連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求 . 解答 令 ， 則 同理 則 化簡得 即 解得 即 ( 為任意常數(shù) ) 15求曲面 的平行于平面 的切平面方程 . 解答 曲面方程在 處切平面的法向量為 則曲面在 處切平面方 程為 由題意可知 ，即 則 解得 即 所以切平面的方程為 或 16求圓周 在 處的切線與法平面方程 . 解答 由題意，對 求導(dǎo)得： ， 可解得所以，圓周在 的切向量圓周在 處的切線方程為法平面方程為 17試求函數(shù) 在閉區(qū)域上 與 的最大值 解答 先求函數(shù)在 內(nèi)的駐點 由 可得 ，即函數(shù)在 內(nèi)只有唯一的駐點 ， 再求在邊界上的最值 在邊界 ， ，此時在邊界 ， ，此時在 上，將 代入 中化簡可得 ，可得，此時 18在橢球面內(nèi)作內(nèi)接直角平行六面體，求其最大體積 . 解答 設(shè) 位于第一掛限內(nèi)橢球面上，則 ，由題意有 則 解得唯一解 所以 19求原點到曲面 的最短距離 . 解答 設(shè) 位于球面 上，則 令 ，由題意可得，即求 在約束條件 下的最小值 . ，則 當(dāng) 時，無解 當(dāng) 時，由 ，可得20當(dāng)時 ，求函數(shù) 在球面 上的最大值，并證明對任意的正實數(shù) 成立不等式 解答 由題意可得 ，則 解得 ， 即 在 處值最大，此時 對于任意正數(shù) ，設(shè) ，即求 在條件： 下的最大值，則 解得唯一解又 在平面 位于第一掛限部分的邊界上為零，故 在點處取最大值，即有 21 過平面 和平面 的交線，作球面 的切平面，求切平面方程 . 解答 由平面束方程可知，所求平面方程為 化簡可得 由題意可得點到平面距離為 化簡可得 即 解得 或 當(dāng) 時，代入方程可得切平面方程為 當(dāng)時，代入方程可得切平面方程為 22求直線與直線之間的垂直距離 . 解答 過 作平行于 的平面，設(shè)平面的法向量為 ，則 同時垂直于 和 的方向向量，故 所求得的平面方程為 化簡可得 設(shè) 是 上的一點，則 到平面的距離為 故所求直線的距離為. 習(xí) 題 十 一 4求解下列二重積分： 解答 原式 解答 原式 ：由 與 所圍的區(qū)域 解答 積分區(qū)域 關(guān)于 對稱，同時被積函數(shù)是關(guān)于 的奇函數(shù)，所以原式 . ：由 的上凸弧段部分與 軸所形成的曲邊梯形 解答 對 求二次導(dǎo)數(shù)，由題意可得 時在此區(qū)間上為上凸區(qū)間，即所以，原式 ： 解答 原式 5計算下列二重積分： ：解答 由廣義極坐標(biāo)：，則 ，由區(qū)域與函數(shù)的對稱性可得： 原式 ： ，并求上序二重積分當(dāng) 的極限 解答 原式 ，原式 解答 原式 ： 及 解答 原式 8設(shè) 是半徑為 的周長，證明： 證明：將積分化為極坐標(biāo)形式為 9設(shè) 是 上非負連續(xù)函數(shù)， 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明： 證明：左邊 右邊 可得 可得 由于 都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以 ，即 ，從而 ，則 10設(shè) 均為正整數(shù)，且其中至少有一個是奇數(shù)，證明： 證明：當(dāng) 為奇數(shù)時，將積分化為先對 后對 的二重積分 因為 為奇數(shù)，于是 關(guān)于 是奇函數(shù) 從而 ，所以 . 當(dāng) 為奇數(shù)時，同理可證 . 11設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，令 ，證明： 證明：12計算解答 原式 13， ：由 及 所圍之區(qū)域 . 解答 設(shè) ，則 14計算下列三重積分： ， ：由 及 所圍形體 解答 原式 ， ： 及 所圍形體 解答 原式 ， ：由 面上的區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而 成的空間區(qū)域，其中 ： 解答 利用“先二后一”法將區(qū)間分為兩部分 ： ，：，則原式 , ：由 及 所圍形體 解答 原式 , ：由 與 所圍的空間區(qū)域 解答 原式 ， 為底面為單位正方形，高為 的正四棱錐體，而 為錐體中任一點到頂點 的距離 解答 以底面正方形中心為 ，建立坐標(biāo)系，其中， ，則 ，此函數(shù)關(guān)于 對稱 ，故只需計算第一象限上的部分，由于 的方程分別為 和 ，所以 原式 15求下列曲線所圍圖形的面積 . 解答 兩曲線的交點為所以 解 答 將原式化為極坐標(biāo)形式為 ，令 ，可得 或 所以 解答 設(shè) ，原式化為極坐標(biāo)形式為 原式 16求曲面 夾在兩曲面 之間的部分的面積 . 解答 由題意可得 則 17求用平面 與曲面 相截所得的截斷面之面積 . 解答 方法一：由 ，可得，則所得的截斷面之面積即求 之面積，其中 ：令，則 其中 ：，即 故 又橢圓的面積為所以 方法二：由兩方程可得 ， 設(shè)所截圓面的半徑為 ， 又原心到平面 的距離，則圓面半徑 所以 18求下列曲面所圍形體的體積 . 解答 解答 解答 21設(shè)質(zhì)量為 ，半徑為 的非均勻球體，球上任一點的密度與該點到球心的距離成正比，求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動慣量 . 解答 以球心為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系 令 ，則 設(shè)切線過點 ，方向向量為 ，則切線的轉(zhuǎn)動慣量為 習(xí) 題 十 二 1 設(shè) 在 內(nèi) 有 連 續(xù) 導(dǎo) 函 數(shù) ， 求，其中