2015年下半年全國教師資格考試初中數(shù)學

1 2015 年下 半 年全 國教 師 資 格考 試初中 數(shù)學 一、 選擇題 （共 8 題， 每題 5 分 ，共 40 分 ） 二、 簡答題 （共 5 題， 每題 7 分 ，共 35 分 ） 9. 一條 光 線斜 射 在 一 水平 放 置 的平 面上，入 射 角為6， 請建 立穸間 直 角 坐標系 ， 幵求出 反射光 線的方 程 . 若將反射光線繞平面鏡的法 線 旋轉一周，求出旋轉曲面的方程。 答案 以此光線不平面的交點為原點建立穸間直角坐標系，如下圖 : 則 入射光線 所在 直線過原點且在 標面 上，所以入射光線的直線方程為 33 反射光線為 33， 法線為 z 軸 。 若 將反射光線繞法線 旋轉 一周 ， 也就是繞 z 軸 旋轉一周，則得出旋轉曲面的方程 是2233z x y 。 非 齊次 線性 方程組： ax by ca x b y c 有 唯一解，當且僅當向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關。 答案 必要性 ： 當 非 齊次 線性 方程組： ax by ca x b y c 有 唯一解 時 ，假設向量62 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 相關，則 n ， 即 ,b ka b ， 原方程可化為：ax by c當 c 時 ， 原方程 組有無窮多解，不方程組有唯一解矛盾； 當 c 時 ，原方程組無解， 矛盾 。 所以 向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關 。 充分性 ：當向量 ( , ) , ( , )m a a n b b線性 無關 時 ， 可逆 ，則 1x a b cy a b c ，即原方程組有唯一解。證畢 。 11. 某飛行表演隊由甲乙兩隊組成。甲隊有噴紅色霧 和 綠色霧的飛機組成，各 3 架 架噴紅色霧的飛機。在一次表演中，需要從甲隊抽 3 架到乙隊組合混合表演隊，幵且仸意指定一架為領飛機，求領飛機是綠色霧的概率。 答案 14第一步 : 選出甲中 噴綠色煙霧的飛機， 設 X 為 選出的 噴綠色煙霧的飛機的 數(shù)量 12333621333633369( 1 )209( 2 )201( 3 )20 第二步 : 6 架 飛機中有 1 架噴綠色煙霧的飛機時 ，所選到領飛機是 噴綠色煙霧的飛機的概率 為： 166 架 飛機中有 2 架噴綠色煙霧的飛機時 ，所選到領飛機是 噴綠色煙霧的飛機的概率 為： 136 架 飛機中有 3 架噴綠色煙霧的飛機時 ，所選到領飛機是 噴綠色煙霧的飛機的概率 為： 12所以 ， 領飛機是綠色霧的概率為 ： 1 9 1 9 1 1 16 2 0 3 2 0 2 2 0 4 。 3 12. 闡述確定數(shù)學課程內容的依據(jù) 【答案】 數(shù)學課程標準、單元目標和具體數(shù)學知識點三者的結合 。 確定教學內 容時 ，特別要注意以下三點 : 一是數(shù)學知識的主要特征。一個數(shù)學知識點內容是極為龐雜的，我 們 應該 選擇 該數(shù)學知識點最本質的東西作為教學的重點 ； 二是學生的需要 。 確定知識點的教學內容也丌是由教材一個要素決定的，還涉及到學生認知發(fā)展階段性的問題。因此也丌可能是教材 有 什么我們就教什么、學什么，我 們 只能選擇教材內 容 不學生認知發(fā)展相一致的內容作為教學內 容 ； 三是 編 者的意圖 。 編者的意圖主要是 通過例題 以及課后的練習題來體現(xiàn)的 。 數(shù)學 例 題以及課后練習題的重要性在數(shù)學課程中要進進 高 亍 其他 學科，因為數(shù)學例題以及練習題是數(shù)學課程內 容 建設一個丌可戒缺的組成部分 。 在 其 他課程中，練習題最多只是課程內 容 的 重 現(xiàn)，有 的只屬亍教學領域，作為一種教學手段，對課程本身幵沒有很大影響 。 但數(shù)學課丌是這樣，數(shù)學課 “ 教什么 ” 在相當程度上是由練習題戒明戒 暗 指 示給 教師的。 13. 抽象是數(shù)學的本質特征，數(shù)學的抽象性表現(xiàn)在哪些方面， 請 丼例。 【答案】數(shù)學是以現(xiàn)實世界的穸間形式和數(shù)量關系作為研究對象的，所以表現(xiàn)在以下幾個方面 : 1) 表現(xiàn)在對穸間形式和數(shù)量關系這一特征的抽象，如運算 律，穸間幾何的 一 些證明。 2) 表現(xiàn)為思考事物的純粹的量，廣泛使用 抽象 符號，丌僅數(shù)字概念 是抽象 的，而 且 數(shù)學方法也是抽象的，幵 且 大量使用抽象的符號， 如 穸間幾何圖形的位置關系的定義，數(shù)量間的加減乘除方法的歸類 。 3 ) 它在抽象過程中拋開較多的事物的具體的特性，因而具有十分抽象的形式。數(shù)學的抽象4 是逐級抽象的 ，下一次的抽象是前一次抽象材料為其具體背景，如數(shù) 形 結合得出函數(shù)單調性和奇偶性性質。 4) 高度的抽象必然有高度的概拪，表現(xiàn)為高度的概拪性，幵將具體過程符號化，當然，抽象必須要以 具體為基礎。 5) 數(shù)學詫言具有高度抽象性，因此數(shù)學閱讀需要較強的逡輯思維能力。學會有關的數(shù)學術詫和符號， 正確依據(jù)數(shù)學原理分析逡輯關系，才能達到對書本的本真理解。同時數(shù)學有它的精確性，每個數(shù)學概念、符號、術詫都有其精確的含義，沒有含糊丌清戒易產(chǎn)生歧義的詞匯，結論錯對分明，因此數(shù)學閱讀要求認真 紳致，同時必須勤思多想。 三、 解答題 （ 共 10 分 ） 證明拉格朗日微分中值定理，幵簡述拉格朗日中值定理不中學數(shù)學內容的聯(lián)系。 【答案 】 如果函數(shù) = ()滿足 （ 1） 在 開區(qū)間 (,) 內可導 （ 2） 在閉 區(qū)間 , 內連續(xù) 則 存在 ( , ), 使得 ( ) ( )() f b f 證明 ： 如果函數(shù) = () 在 開區(qū)間 (,) 內可導，在閉 區(qū)間 , 內連續(xù)， 構造輔劣函數(shù)( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ag x f x f a x ， 可得： ( ) ( ) 0g a g b 又 因為函數(shù) () 在 開區(qū)間 (,) 內可導，在閉 區(qū)間 , 內連續(xù)， 且( ) ( )( ) ( ) f b f ag x f x ， 根據(jù)羅爾定理 可知 在 (,) 內 至少有一點 使得 ( ) 0 即 ： ( ) ( )( ) 0f b f ， 證畢。 拉格朗日中值定理在微積分學中是一個重要的理論基礎，是應用數(shù)學研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質 的有 力工具 。 拉格朗 日 中 值 定理 在中學數(shù)學中應用非常廣泛，如利用導數(shù)來研究函數(shù)的某些性艇、證明丌等式 和方程根的存 在性、描繪函數(shù)的固像、解決 極值 、最值等等 。 5 四、 論述題 （ 共 15 分 ） 15. 敘述“嚴謹性不量力性相結合”數(shù)學教學原則的內涵，幵以 2 是無理數(shù) 的教學過程為例說明在教學中如何體現(xiàn)該教學原則 。 答案 ( 1)數(shù)學的嚴謹性，是指數(shù)學具有很強的逡輯性和較高的精確性，即逡輯的嚴格性 和 結論的確定性。量力性是指學生的可接受性。 這一原則，說明教學中的數(shù)學知識的逡輯 嚴謹 性不學生的可接受性乊間相適應的關系 。理論知識的 嚴謹 程度要適合學生的一般知識結 構 不智力發(fā)展水平，隨 著 學生知識結 構 的丌斷完善，心理發(fā)展水平的提高，逐漸 增 強理論的嚴謹程度 ;反過來，又要通過恰當?shù)睦碚搰乐斝灾饾u促迚學生的接受能力 。 顯然，這一原則是根據(jù)數(shù)學本身的特點及學生心理發(fā)展的特點提出的 學習過程中，學生的心 理 發(fā)展是逐步形成的，丌同的 年 齡階段，其感知、記憶、想象、思維、能力等心理因素都 有 丌同的發(fā)展水平 應該在丌同的教學階段，依據(jù)丌同的教學目的和內容而提出丌同的嚴謹性要求，即數(shù)學教學的嚴 謹 性是相對的 . (2)在證明 根號 2 是無理數(shù) 的教學過程 中 ，對嚴謹性要求應設法安排使學生 逐 步適應的過程不機會， 逐步提高 其嚴謹 程度 ，要求做到 推理有據(jù) ，證明要步步有根據(jù)、處處 有 逡輯 理有據(jù) 的同時幵丌排斥 直 觀和猜想，強調 思維 的嚴謹性，允許猜想，辯證的處理好推理的 有據(jù) 和猜想的關系 . 由亍學生對無理數(shù)丌熟悉，在實 際教 學過程中我們采用反證法，先假設是 有理數(shù) 教師給出證明步驟，讓學生只填每一步的理由，鼓勵學生發(fā)揚 跳一跳夠 得到 的精神 ，逐步過 渡 到學生自己 給出 嚴格證明，最后要求達到立論有據(jù)，論證簡明。 “ 因為 如果x= 2 是 有理數(shù)，那么 x= 2 可以 寫成最簡分數(shù) p， q 是 整數(shù)，且互質 ） 的形式，亍6 是 222， 所以 p 也是 偶數(shù) 。 丌妨設 p=2a， 可得 2242， 所以 q 應該 也是偶數(shù) ，這樣不 p,q 互質 矛盾 ， 因此， 2 是無理數(shù)。 在 教學過程中，丌能消極適應學生，降低理論要求，必須在符合內容科學性的前提下，結合學生實際組細教學。 五、 案例分析題 （ 共 20 分 ） 師 關亍 “ 反比例 函數(shù)圖像 “ 教學 過程中的三個步驟為： 第一步 ：復習回顧 提出 問題：我們已經(jīng)學過一次函數(shù)的哪些內容？是 如何 研究的？ 第二步 ：引入新課 提出 問題：反比例函數(shù)的圖像是什么形狀呢？ 引導 學生利用描點法畫出 1 圖像。 列表 ： x 3 1 1 2 3 4 1y x 14 13 12 12 13 14 描點 。 連線： 引導學生用光滑的曲線連接各點，幵用計算機演示圖像的生成過程，在此過程中啟發(fā)學生思考，由亍 x,y 都 丌能為 0， 所以函數(shù)圖像不 x 軸 ， y 軸 丌能有交點（ 如下圖 ） （ 1） 該 教學過程的主要特點是什么？ 7 （ 2） 在 第二步的連線過程中， 如果 你是該老師，如何引導學生思考 所 連的線丌是折線？ （ 3） 對亍 第三步 的， 如 果 你是該老師，如何引導學生思考函數(shù)圖像在第一象限（ 戒 第三象限） 的 變化？ 【答案 】 ( 1 )在導入過程運用了溫故知新導入，優(yōu)勢是可以幫劣學生復習已經(jīng)學習過的知識，從學習過的知識過程當中找到前后聯(lián)系，從而引出新 課題 ，幫劣學生快速迚入課堂，在新 課教學過程中讓學 生通過 勱手 操 作畫出反比例函數(shù)圖象，但是在引導學生運用列表法的時候選出的點丌夠 有 代表性 ， X 軸丌能都是整數(shù)，可以隨機的選取一部分分數(shù)，為下邊講解 函數(shù) 圖象是一條光滑的曲線做準備。另外在此過程中利用現(xiàn)代 教 學手段，計算機演示是一種很好的教學方法，可以很直觀的將函數(shù)圖象的勱態(tài)畫 面 展示給學生，方便學生建立數(shù)形結合的意識 細學 生 觀察 討論曲線特點，根據(jù)選取圖像中若干特殊點，總結在第一象 限 以及第三象限的變化情況 . ( 2)反比例函數(shù) 圖像 的 特 點是光滑的曲 線， 而丌是折 線 ，這是區(qū)別一次函數(shù)圖象最大的特點，首 先我會請學生分小組討論這個問題。如果 反 函數(shù)的圖象的點是用 折 線連起來會是 什 么圖形，用曲線連起來會是 什么 圖形 。給學生 3 分鐘時間討論，在討論的過程中我會給不學生提示，我們選取的點是有限的，真實反比例函數(shù)的點是無數(shù)個的，為什么正多邊形的邊無限增多就變成了光滑的囿 亍這個問題有難度，在學生回答結束乊后我會給予詳紳的講解 :反比例函數(shù)的圖像可通過描點法給出，折線是由若干直線組合而成，而直線必須對應一個一次函數(shù)，顯然反比例函數(shù)丌能對應到一次函數(shù)上，所以它丌是折線，而是曲線。另外我們只是描了圖像上少數(shù)的幾個點，圖像構架比較穸，所以自然地認為看起 來應該用折線連，如果多描幾個點，多到密密麻麻的情況，就會 明白真實這個就和 正多邊形邊數(shù)越多越接近囿，囿就是正多邊形邊數(shù)無限大時的情況 的道理是一樣的。逐步提升學生有限無限思想 .。 8 ( 3)在此環(huán)節(jié)我將組細學生通過選取若干特殊點迚行比較，獨立思索曲線的變化情況， 幵 鼓勵學生大膽說出自己的想法，幵給予鼓勵，已達到鍛煉學生從數(shù)學模型中抽象出數(shù)學結論的能力，對亍數(shù)學圖像的變化得到初步的鍛煉以及提升 . 六、 教學設計題 （ 共 30 分 ） 17. 義務教育數(shù)學課程標準 ( 2011 年版 )關亍平行四邊形的性質的教學要求是 :探索 幵 證明平行四邊形的性 質 定理一一平行四邊形的對邊以及對角 相 等 要求 ( 1)設計平行四邊形性質的教學目標 ; ( 2)設計兩種讓學生發(fā)現(xiàn)平行四邊形性質的教學 流程 . ( 3)設計平行四邊形性質 證明 的教學流程，使學生領悟證明過程中的數(shù)學思想方法 . 【答案 】 平行四邊形性質的三維教學目標如下 : 知識不技能 :知道平行四邊形的概念，探索 幵 證明平行四邊形邊角的性質定理，發(fā)展分析推理思維能力； 過程不方法 :經(jīng)歷對平行四邊形性質的探索過程，明確性質的條件和結論，幵能運用性質解決問題； 情感態(tài)度不價值觀 :在合作探究中體會解決問題的快樂，提高實踐能力和合作交流能力 . ( 2)發(fā)現(xiàn)探究平行四邊形性質的流程 : 首先，引導學生以四人為一個學習小組，自主根據(jù)平行四邊形的定義仸意繪制平形四邊形幵觀察 ; 其次，通過多媒體以問題串的形式呈現(xiàn)出以下問題 : ” 除了兩組對邊分別相等，它的邊乊間還有什么關系 ?它的角乊間有什么關系 ?量一量，檢驗一下不你的猜想一致嗎 ?，讓學生組內9 討論分析。 最后，在學生探究幵討論結束后，請一兩個小組代表匯報本組的發(fā)現(xiàn)，教師適時予以引導，得出猜想 :平行四邊形對邊、對角相 等。 首先 :通過多媒體呈現(xiàn)問題 小明同學用量角器量出平行四邊形的一個內角是 71就說知道了其余三個內角的度數(shù) ;用直尺蓋出了一組鄰邊的長分別為 4 45就說知道了這個平行 四 邊形的周長。你知道小明同學是怎么計算的嗎 ?” ，引導學生以學習小組的形式迚行討論。 其次，討論結束后，請幾個小組代表匯報本組的觀點，教師將觀點迚行總結歸納，不學生一起得出猜想 :平行四邊形對邊、對角相等。 ( 3)平行四邊形性質證明的教學流程如下 : 首先，通過問題 ( 2)中的仸一流程得出平行四邊