《常微分方程》練習題庫參考答案

江蘇師范大學數學教育專業(yè) 常微分方程練習測試題庫參考答案 一、 判斷說明題 1、在線性齊次方程通解公式中 C 是任意常數而在常數變易法中 C（ x）是 x 的可微函數。將任意常數 C 變成可微函數 C（ x），期望它解決線性非齊次方程求解問題，這一方法成功了，稱為常數變易法。 2、因 p(x)連續(xù)， y(x)= xp(x) )在 p(x)連續(xù)的區(qū)間有意義，而 xp(x) ) 0。如果 0，推出 y(x)=0,如果 y(x) 0,故零解 y(x)=0 唯一。 3、 （ 1） 它是常微分方程，因為含有未知函數的導數， f,g 為已知函數， y 為一元函數，所建立的等式是已知關系式。 （ 2） 它是常微分方程，理由同上。 （ 3） 它不是常 微分方程，因 y 是未知函數， y(y(y(x)也是未知的，所建立的等式不是已知關系式。 4、微分方程求解時，都與一定的積分運算相聯(lián)系。因此，把求解一個微分方程的過程稱為一個微分方程。微分方程的解又稱為（一個）積分。 5、 把 微分方程的通解用初等函數或通過它們的積分來表達的方法。注意如果通解能歸結為初等函數的積分表達，但這個積分如果不能用初等函數表示出來，我們也認為求解了這個微分方程，因為這個式子里沒有未知函數的導數或微分。 6、 y f(x,y)主要特征是 f(x,y)能分解為兩個因式的乘積，其中一個因式僅含有 x,另一因式僅含 y，而方程 p(x,y)dx+q(x,y) 是可分離變量方程的主要特征，就像 f(x,y)一樣， p,q 分別都能分解成兩個因式和乘積。 7、二元函數 f(x,y)滿足 f(rx,rm f(x,y),r.0,則稱 f(x,y)為 m 次齊次函數。 m=0 則稱它為 0次齊次函數。 8、如果 f(x,y)是 0 次齊次函數，則 y f(x,y)稱為齊次方程。 如果 p(x,y)和 q(x,y)同為 m 次齊次函數，則 為齊次方程。 如果 q 0 則y)q(x, y)p(x, f(x,y)，由 p,q 為 m 次齊次函數推知 f(x,y)為 0 次齊次函數故y f(x,y)為齊次方程。 9、 求解齊次方程經常用變換 y=z 10 、二、 計算題 1、方程變形為 642 yx 的分子，分母兩條直線交點為（ 1,2） 作變換21于是得到 vu 42 ，它已經是齊次方程。 2、令 z=x+y+1,則1是+f(z), 只要 f(z) 0,可分離變量得 x= )(1 3、 p(x)=線性齊方程初值問題解公式即得 y=4、用線性方程通解公式： y= (C+ (C+2)=2+ 5、公式求得方程通解 y(x)=x) (C+ x2 x) 2x)x)(c+31 利用初始條件代入上式 y(0)=0=C,故 y=31x) 6、 x 看作自變量， y 看成函數，則它是非線性方程，經變形為 x+y 以 x 為未知函數 ,y 是自變量，它是線性方程，則通積分為 x=(c+ ) =y)、 解：將方程變形為 x2 y2 1 2當 0,y 1 時積分得 22x y+y +x1=c 8、 解： 這是齊次方程。令 y=方程化為 321uudu= 221z ln|z|=ln|用 z=y=22 y=0 也是原方程的解。 9、解： . 方程右邊分子，分母兩條直線交點為（ =()作變換 u=x+2,v=方程化為 vu 22，此為齊次方程，令 v=簡單計算得122 z 分得33)1(1uz z C 原方程通積分為 y=x+c(x+y+1)3 +3 10、解 當 0y 時，分離變量得 等式兩端積分得 1 即通解為 21 11、解 齊次方程的通解為 e 令非齊次方程的特解為 e)( 代入原方程，確定出 x 5原方程的通解為 e + 由于 2，所以原方程是全微分方程 取 )0,0(),(00 方程的通積分為 10 30 23 即 4224 2 13、解 令 ，則原方程的參數形式為 （ 2 分） 由基本關系式 t d)e1( 積分有 t )1( 得原方程參數形式通解 (解 原方程為恰當導數方程，可改寫為 0)( 即 1 分離變量得 積分得通積分 21221 15、 解 方程的特征根為 01 ， 52 齊次方程的通解為 21 e 因為 不是特征根。所以，設非齊次方程的特解為 c i n)(1 代入原方程，比較系數得 0252512525確定出 501A， 501 )5s i c o 21 x 16、解 特征方程為 01411 即 0322 特征根為 31 ， 12 31 對應特征向量應滿足 00314 131 11 21112 對應的特征向量為 2122方程組的通解為 程右邊分子，分母兩條直線交點為（ =()作變換 u=x+2,v=方程化為 vu 22，此為齊次方程，令 v=簡單計算得122 z 分得33)1(1uz z C 原方程通積分為 y=x+c(x+y+1)3 +3 18、解：（?。┐藶樨惻匠?。令 z= y 得x,它是線性方程。 此為黎卡提方程，通過觀察知它有一特解 y=變換 y=貝努利方 程z +2z=再將方程 給兩種解法。 （ 2）此為黎卡提方程，通過觀察知它有一特解 y=變換 y=貝努利方程z +2z=再將方程 給兩種解法。 19、 20、 21、 22、 23、 24、 三、 證明題 1、 證明：設有兩個解 y1(x),x),則 y1 (x)+p(x) y1(x) 0, y2 (x)+p(x) x) 0,則 （ y1(x) x)） y(x)( y1(x)+x)=( y1 (x)+p(x) y1(x)+ y2 (x)+p(x) x) 0 表明 y1(x) x)仍是解。 2、 證明 由已知條件，方程在整個 平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠。 又由已知條件，知0方程的一個解。 假如方程的非常數解 )(對有限值0 ，那么由已知條件，該解在點 ),(00 左側）延展這樣，過點 ),(00 )( 這與解的唯一性矛盾，因此0 3、 證明 如果 )(1 和 )(2 是二階線性齊次方程 0)()( 的解，那么由劉維爾公式有 x0 d)(0 e)()( x 現(xiàn)在， 0)( 有 x t )(e)()( 0、 5、 補充題庫 1 答案： 18 19 20 27 28 37 38 44 45 49 50 56 57 62 63 68 69 71 72 81 82 87 88 92 93 94 95 97 98 100 101 105 106 113 114 122 123 132 133 138 139 143 144 145 146 150 151 156 2 157 162 163 164 16