《勾股定理》練習(xí)題及答案

- 1 - 八年級上數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練一 勾股定理典型題 練習(xí) 答案解析 一、知識要點： 1、勾股定理 勾股定理 ：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為 a、 b，斜邊為 c ，那么 式的變形： 2、勾股定理的逆定理 如果三角形 a， b， c，且滿足 么三角形 直角三角形 。這個定理叫做勾股定理的逆定理 . 該定理在應(yīng)用時，同學(xué)們要注意處理好如下幾個要點： 已 知的條件：某三角形的三條邊的長度 . 滿足的條件：最大邊的平方 =最小邊的平方 +中間邊的平方 . 得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角 . 如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。 3、勾股數(shù) 滿足 為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有： （ 3， 4， 5 ） (5， 12， 13 ) ( 6， 8， 10 ) ( 7， 24， 25 ) ( 8， 15， 17 )(9，12， 15 ) 常用勾股數(shù)口訣記憶 常見勾股數(shù) 3， 4， 5 ： 勾三股四弦五 5， 12， 13 ： 我要愛一生 6， 8， 10： 連續(xù)的偶數(shù) 7， 24， 25 ： 企鵝是二百五 8， 15， 17 ： 八月十五在一起 特殊勾股數(shù) 連續(xù)的勾股數(shù)只有 3， 4， 5 連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有 6， 8， 10 - 2 - 4、 最短距離問題： 主要運用的依據(jù)是 兩點之間線段最短。 二、考點剖析 考點一：利用勾股定理求面積 1、求陰影部分面積：（ 1）陰影部分是正方形；（ 2）陰影部分是長方形；（ 3）陰影部分是半圓 2. 如圖，以 探索三個 半圓的面積之間的關(guān)系 3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是 它們之間的關(guān)系是（ ） A. 2= B. C. 31），那么它的斜邊長是（ D） A、 2n B、 n+1 C、 1 D、 1 7、 在 a,b,下列關(guān)系中正確的是（ ） A. 2 2 2a b c B. 2 2 2a c b C. 2 2 2c b a 8、 已知 C=90 ，若 a+b=14c=10則 A ） A、 24 2 B、 36 2 C、 48 2 D、 60 2【解析】本題考查的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面積公式 要求 面積，只需求出兩條直角邊的乘積根據(jù)勾股定理，得 a2+b2=00根據(jù)勾股定理就可以求出 而得到三角形的面積 a+b=14 （ a+b） 2=196 296-（ a2+=96 ， 則 面積是 9、 已知 x、 y 為正數(shù)，且 +（ 2=0，如果以 x、 y 的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（ C ） A、 5 B、 25 C、 7 D、 15 【解析】 - 6 - 試題分析：本題可根據(jù) “兩個非負(fù)數(shù)相加和為 0，則這兩個非負(fù)數(shù)的值均為 0”解出 x、 y 的值，然后運用勾股定理求出斜邊的長斜邊長的平方即為正方形的面積 依題意 得： ， ， 斜邊長 ， 所以正方形的面積 故選 C 考點：本題綜合考查了勾股定理與非負(fù)數(shù)的性質(zhì) 點評：解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系 考點三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高 1、如圖 1所示，等腰 中， ， 是底邊上的高，若 ，求 考點四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定 理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題 1、 下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（ ） A. 4， 5， 6 B. 2， 3， 4 C. 11， 12， 13 D. 8， 15， 17 2、 若線段 a， b， 它們的比為（ ） A、 2 3 4 B、 3 4 6 C、 5 12 13 D、 4 6 7 3、 下面的三角形中： C= A B； A： B： C=1： 2： 3； a： b： c=3： 4： 5； 邊長分別為 8， 15， 17 其中是直角三角形的個數(shù)有（ D ） A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 - 7 - 4、 若三角形的三邊之比為 21: :12 2，則這個三角形一定是（ ） 5、 已知 a， b， 滿足 (a2+ 0， 則它的形狀 為（ C ） 6、 將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù) , 得到的三角形是 ( C ) A 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7、 若 a,b,c 滿足 2 2 2a b c 2 0 0 1 2 a 1 6 b 2 0 c ，試判斷 形狀。 a+b+c+200=12a+16b+20c （ +（ +(00=0 （ +（ +(=0 則 、 、 ,得 a=6、 b=8、 c=10, a+b=c,三角形是直角三角形。 8、 ,12，另一邊為奇數(shù)，且 a+b+c 是 3的倍數(shù)，則 ，此三角形為 。 考點： 勾股定理的逆定理 分析： 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，求得第三邊 c 應(yīng)滿足 12 c 5+12=17，又因為這個數(shù)與 a+b 的和又是 3 的倍數(shù)，則可求得此數(shù)，再根據(jù)直角三角形的判定方法判定三角形 解答： 解： 12 c 5+12=17， c 又為奇數(shù)， 滿足從 7 到 17 的奇數(shù)有 9， 11， 13， 15， 與 a+b 的和又是 3 的倍數(shù)， a+b+c=30， c=13 52+122=132， 直角三角形 點評： 本題考查了由三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的能力，還考查直角三角形的判定隱含了整體 的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力 - 8 - 9：求 （ 1） 若三角形三條邊的長分別是 7,24,25，則這個三角形的最大內(nèi)角是 90 度。 考點： 勾股定理的逆定理 分析： 根據(jù)三角形的三條邊長，由勾股定理的逆定理判定此三角形為直角三角形，則可求得這個三角形的最大內(nèi)角度數(shù) 解答： 解：三角形三條邊的長分別為 7， 24， 25， 72+242=252， 這個三角形為直角三角形，最大角為 90 這個三角形的最大內(nèi)角是 90 度 點評： 本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可 （ 2） 已知三角形三邊的比為 1： 3 ： 2， 則其最小角為 300 。 考點五 :應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題 1、 某樓梯的側(cè)面視圖如圖 3所示，其中 米， ， ，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在 （ 2+2 3 ）米 分析：如何利用所學(xué)知識，把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，是問題解決的關(guān)鍵。仔細(xì)觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)， 所有臺階的高度之和恰好是直角三角形 直角邊 長度， 所有臺階的寬度之和恰好是直角三角形 直角邊 長度， 只需利用勾股定理， 求 得這兩條線段的長即可。 考點六、利用列方 程求線段的長（方程思想） 、小強想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地A B C - 9 - 面還多 1 米，當(dāng)他把繩子的下端拉開 5 米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？ 設(shè)旗桿高度 h (h+1)=5+h h=12 旗桿高 12 米 2、一架長 梯子，斜立在一豎起的墻上，如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 那么梯子底端將向左滑動 米 利用勾股定理計算原來墻高。 根號下（ = 下移 =2 米 根號下（ 2） = 。 梯足將向外移 3、 如圖，一個長為 10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8米，如果梯子的頂端下滑 1米，那么，梯子底端的滑動距離 大于” 1米， 答 :解 :底端滑動 大于 1 (1 分 )，理由 : 在 ， 6810 22 (2 分 ) 又 1， AC=7，在 ， BC= 51710 22 ， (2 分 ) B51 7， 底端滑動 大于 1m.(1 分 ) 4、在一棵樹 10 m 高的 B 處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m 處的池塘 A 處； 另外一只爬到樹頂 外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？ 分析：如圖所示，其中一只猴子從 共 30m，另一只猴子從 也共走了 30m。并且樹垂直于地面，于是此問題可化歸到直角三角形 解決。 - 10 - 解：如圖，設(shè) ，由題意知 中， ，解之得 答：這棵樹高 15m。 【點撥】：本題的關(guān)鍵是依題意正確地畫出圖形，在此基礎(chǔ)上，再運用勾股定理及方程的思想使問題得以解決。 5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位： 算兩圓孔中心 的距離為 100C=1200 400 00、 如圖：有兩棵樹，一棵高 8 米，另一棵高 2 米 ，兩樹相距 8 米， 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 10 米 從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答 解：過點 E E，連接 在 米， 米 根據(jù)勾股定理得 0米 7、 如圖 18人到一個荒島上去探寶，在 A 處登陸后，往東走 8往北走 2到障礙后又往西走 3折向北方走到 5往東一拐，僅 1找到了寶藏，問：登陸點（ 寶藏埋藏點（ 直線距離是多少？ 解析： 試題分析：要求 要構(gòu)造到直角三角形中連接 直于過 在直角三角形 =6， +2=7再運用勾股定理計算即可 過點 C 足為 C 60 120140 B 60A C 第 5 題圖 7 C - 11 - 觀察圖形可知 C=8=6， +5=7 答：登陸點到寶藏埋藏點的直線距離是 考點：勾股定理的應(yīng)用 點評：解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直接求解注意所求距離實際上就是 考點七：折疊問題 1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 ， ，將 點 重合，折痕為 于（ ） 講完知識點梳理后作做問題延伸題（舉一反三） ： 求折痕 A. 425B. 322C. 47D. 35解：由題意得 D； 設(shè) CD= B=（ 8 C=90， ， 解得 x= ，即 選 C 知識點梳理 1、 翻折變換（折疊問題） 2、 等腰三角形的性質(zhì) 3、 勾股定理的性質(zhì) 一、 翻折變換（折疊問題） 1、 折 疊問題（翻折變換）實質(zhì)上就是 軸對稱變換 2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱對稱軸是對應(yīng)點的連線的 垂直平分線 ，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等 3、對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 - 12 - 4、在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的 等腰三角形 5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為 x，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)用含 擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求解 二、 等腰三角形 的性質(zhì)定理： 寫成“等邊對等角”）。 邊上的中線，底邊 上的高重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一”）。 條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。 直平分線 到兩條腰的距離相等。 距離之和等于一腰上的高。 有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸， 等邊三角形 有三條對稱軸。 2、如圖所示，已知 ， C=90， 垂直平分線交 M，交 N，若 ，求 解： 連接 垂直平分線 ， B = 2 2 30，即 60 B + B = B = 30， 2 16 3、 折疊矩形 D,點 處 ,已知 C=10 解：由翻折的性質(zhì)可得： F=0， A B C E F D - 13 - 在 =6， ， 設(shè) CE=x， E=8在 6=（ 82， 解可得 x=3， 故 解析： 根據(jù)翻折的性質(zhì)，先 在 F，進(jìn)而得出 后設(shè) CE=x， 而在 應(yīng)用勾股定理可解出 舉一反三： 1、 2、 3、 求折痕 知識點梳理 1、 翻折變換（折疊問題） 2、 矩形的性質(zhì) 3、 勾股定理的性質(zhì) 矩形的性質(zhì)定理： 行四邊形 的一切性質(zhì)。 對稱 圖形，它有 2條 對稱軸 。 4、如圖，在長方形 ， ，在 上存在一點 E，沿直線 疊，使點 此點為 F，若 面積為 30，求折疊的 分析：根據(jù)三角形的面積求得 長，再根據(jù)勾股定理求得 長，即為 長；設(shè) DE=x，則 F=x根據(jù)勾股定理列方程求得 而求得 解：由折疊的對稱性，得 F， F 由 S B=30， ， 得 2 在 勾股定理，得 - 14 - 所以 3 設(shè) DE=x，則 EF=x， ， 在 即（ 52+12= 解得 故 點評：此題主要是能夠根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到相等的線段，能夠熟練根據(jù)勾股定理列方程求得未知的線段 5、如圖，矩形紙片 D=9 ，寬 ，將其折疊，使點 重合，那么折疊后 （舉一反三：題干不變，求折痕 長？） 利用直角三角形 E，也就是 ，構(gòu)造 而利用勾股定理求解 解：連接 ，連接 根據(jù)折疊，知 直平分 根據(jù) 得 B 則四邊形 設(shè) DE=x，則 在直角三角形 據(jù)勾股定理，得： 92+9 解得： x=5 在直角三角形 據(jù)勾股定理，得 ，則 在直角三角形 據(jù)勾股定理，得 = ，則 6、如圖，在長方形 。 - 15 - （ 1）試說明： C；（ 2）如果 ， ，求 長 （舉一反三： 試說明 F ) 試題分析：（ 1）觀察圖形，可得 C，又 全等三角形判定方法證 得 F，從而得到 2）在 試題解析：（ 1）證明：由矩形性質(zhì)可知， B= 根據(jù)對頂角相等得， 而 E= D=90， 由 （ 2）設(shè) FA=x，則 FC=x， ， 在 ，解得 x= . 考點 : 疊問題） ;4 勾股定理 . 7、如圖 2所示，將長方形 直線 點 點處，已知 B=8則圖中陰影部分面積為 _ （原題圖不標(biāo)準(zhǔn)重新畫一個圖） 解：設(shè) AD=x ，則 AF=x 在 解得 - 16 - 8、如圖 2矩形 點 的位置上，已知 3， ，重合部分 _ （舉一反三：若 ， ， 求 重疊 部分即 =10) S B， 所以需求 據(jù) C E= DE=x，則 據(jù)勾股定理求 解： 形的性質(zhì)）， 直線平行，內(nèi)錯角相等）； C 折的性質(zhì)）， C 量代換）， E（等角對等邊）； 設(shè) DE=x，則 2+（ 72 解得 x=729 S 1729 3=1487故答案是：1487 9、 如圖 5，將正方形 頂點 重合，折痕交 ，交 ，邊 。如果 證： ： 4： 5 （舉一反三： 如果 ： 2，則 ) =8： 15： 17 ） 析：（ 1）正方形的證明題有時用計算方法證明比幾何方法簡單，此題設(shè)正方形邊長為 a， x，則根據(jù)折疊知道 ， A=后在 x，這樣 都用 可以求出它們的比值了； - 17 - 解：（ 1）證明：設(shè)正方形邊長為 a， x，則 ， A= 在 D=90， M2 ） 2=（ 2 x= ： 4： 5； 知識點梳理 正方形的性質(zhì) : 邊形 、 平行四邊形 、矩形、菱形的一 切性質(zhì)。 邊垂直，對邊平行。 一條對角線平分一組對角。 對稱 圖形，它有 4條對稱軸。 角線與邊的夾角是 45。 10、如圖 2方形 ， ， ， 若將該矩形折疊，使 點重合， 則折疊后痕跡 B ） A B C D 析：先連接 于矩形關(guān)于 以 C，那么就有 F，又 么 D， C，在 設(shè) CF=x），利用勾股定理可求出 ，在 用勾股定理可求 ，在 F= ，同理可求 ，所以E+ - 18 - 解答：解：連接 點 重合，折痕為 直平分 F， O， 0 又四邊形 B=90， D=3， C=4 設(shè) CF=x，則 AF=x， 在 勾股定理得 2，且 ， 32+（ 42= x= 0， ） 2-（ ） 2=（ ） 2 同理 即 E+ 點評：本題利用了折疊的對應(yīng)點關(guān)于折痕垂直平分，以及矩形性質(zhì)，勾股定理等知識 11、如圖 1一塊塑料矩形模板 為 10為 4你手中足夠大的直角三角板 直角頂點 與 A、 在 ： 能否使你的三角板兩直角邊分別通過點 ？若能，請你求出這時 長；若不能，請說明理由 . 再次移動三角板位置，使三角板頂點 角邊 終通過點 B，另一直角邊 ，與 ，能否 使 能，請你求出這時 不能，請你說明理由 . （ 1）設(shè)兩直角邊 與點 C， - 19 - 0， 00 又設(shè) PA=x， A= D=90，在 D=0， D=4 6+(10+16=00 化簡得 :6=0 即 ( 9，所以 3， 解之得 :， 210， 810 當(dāng) 角板兩直角邊 別通過點 B， C. （ 2）如圖（ 2），過點 G ， 0 根據(jù)題意得： E=2， D=4 E=0 在 0 4 又 A= D=90 G=4，設(shè) ，則 6+(8+16=64 化簡得 :6=0 解之得 :x1= 答：當(dāng) 時， ， ，且 12、如圖所示， C， D 是斜邊 E、 B、 2， 求線段 - 20 - 舉一反三： 如圖， C， E、 B、 (1)請說明： F ； (2)請說明： (3)若 ， ，求 (直接寫結(jié)果 ) 答案： 解：（ 1）連接 為 C 中點 所以， D=以， C=45 又已知 以， 0 而， 0 所以， 么，在 C） =45（已證） C（已證） 證） 所以， 以， F， F。 （ 2）因為 F， C 所以 F A=90度 - 21 - 所以 所以 。 （ 3） 5 。 13、如圖，公路 Q 在點 30 ，點 160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍 100m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 沿 校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為 18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ 【答案】 分析： 作 H，根據(jù)含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得到 0m，由于這個距離小于 100m，所以可判斷拖拉機在公路 沿 向行駛時，學(xué)校受到噪音影響；然后以點 A 為圓心， 100m 為半徑作 A 交 B、 C，根據(jù)垂徑定理得到 H，再根據(jù)勾股定理計算出 0m，則 20m，然后根據(jù)速度公式計算出拖拉機在線段 行駛 所需要的時間 解答： 解：學(xué)校受到噪音影響理由如下： 作 H，如圖， 60m， 0， 0m， 而 80m 100m， 拖拉機在公路 沿 向行駛時，學(xué)校受到噪音影響， 以點 A 為圓心， 100m 為半徑作 A 交 B、 C，如圖， H， 在 ， 00m， 0m， =60m， 20m， - 22 - 拖拉機的速度 =18km/h=5m/s， 拖拉機在線段 行駛所需要的時間 = =24（秒）， 學(xué)校受影響的時間為 24 秒 點評： 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè) O 的半徑為 r，圓心 O 到直線 l 的距離為 d，直線 l 和 O 相交 d r；直線 O 相切 d=r；當(dāng)直線 l 和 O 相離 d r也考查了垂徑定理、勾股定理以及含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系 考點八：應(yīng)用 勾股定理解決勾股樹問題 1、 如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的邊長為 5，則正方形 A， B， C， D 的面積的和為 25 根據(jù)題意仔細(xì)觀察可得到正方形 A， B， C， 知最大的正方形的邊長則不難求得其面積 解：由圖可看出， A， 即等于最大正方形上方的三角形的一個直角邊的平方； C， 即等于最大正方形的另一 直角邊的平方， 則 A， B， C， 因為最大的正方形的邊長為 5，則其面積是 25，即正方形 A， B， C， 5 故答案為 25 2、已知 的等腰直角三角形，以 第二個等腰以 第三個等腰 ，依此類推，第 n 個等腰直角三角形的斜邊長是 - 23 - 解：根據(jù)勾股定理，第 1個等腰直角三角形的斜邊長是 ， 第 2個等腰直角三角形的斜邊長是 2=（ ） 2，第 3個等腰直角三角形的斜邊長是 2 =（ ） 3，第 ） n 解析：依次、反復(fù)運用勾股定理計算，根據(jù)計算結(jié)果即可得到結(jié)論 考點九、圖形問題 1、 如圖 1，求該四邊形的面積 2、 如圖 2，已知，在 ， A = 45， 2， 3+1， 則邊 長為 2 3、 某公司的大門如圖所示 ,其中四邊形是長方形 ,上部是以為直徑的半圓 ,其中 = =2 ,現(xiàn)有一輛裝滿 - 24 - 貨物的卡車 ,高為 寬為 問 這輛卡車能否通過公司的大門 ?并說明你的理由 .（注意：答案所標(biāo)字母順序與題干不一樣） 考點： 勾股定理 分析： 因為上部是以 直徑的半圓， O 為 點，同時也為半圓的圓心， 半徑， 長度為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出 長度 長度等于 長度如果 長度大于 則不能通過 解答： 解：能通過，理由如下： 設(shè)點 O 為半圓的圓心，則 O 為 中點， 半圓的半徑， 如圖，直徑 （已知）， 半徑 ， 2= 在 ， 能通過 點評： 本題 考點：勾股定理的應(yīng)用首先根據(jù)題意化出圖形 度為半圓的半徑， 貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出 長度從而可求出 長度判斷 度與 大小關(guān)系，如果 以通過，否則不能通過 4、 將一根長 24 的筷子置于地面直徑為 5 ，高為 12 的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為 h ，則 。 先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答即可 解：當(dāng)筷子與杯底垂直時 242 當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時 如圖所示：此時， = =13 - 25 - 故 h=241 故 1h 12 5、如圖，鐵路上 A、 5C、 直 ， ，已知 50在要在鐵路 ，使得 C、 站的距離相等，則 站多少千米處？ 由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形 x，則 5 0代入關(guān)系式即可求得 解： C、 站距離相等， E， 在 t 設(shè) x，則 5 將 0， 5代入關(guān)系式為 52=（ 252+102， 整理得， 50x=500， 解得 x=10， 站 10 考點十：其他圖形與直角三角形 1、 如圖是一塊地，已知 m， m， D=90， 6m， 4m， 求這塊地的面積。 考點十一：與展開圖有關(guān)的計算 - 26 - 1、如圖，在棱長為 1的正方體 A B C D的表面上，求從頂點 的最短距離 解：如圖將正方體展開， 根據(jù)“兩點之間，線段最短”知， 線段 正方體的邊長為 1， = 舉一反三： 、 如圖，一個長方體盒子，一只螞蟻由 盒子的表面上爬到點 知 這只螞蟻爬行 的最短路程是 _ 解析： 題中由 盒子的表面上爬到點 兩種爬法，即從前面到上面和從前面到右面，將兩種爬法所經(jīng)過的面分別展開，構(gòu)成兩個長方形，連接 勾股定理求出距離再比較即可 解：（ 1）如圖 2，經(jīng)過上面， = （ 2）如圖 3，經(jīng)過右面， = ，所以此題答案為 如圖，長方體的長 7 只小螞蟻從長方體表面由 點去吃食物， - 27 - 則小螞蟻走的最短路程是 _ 解析： 螞蟻有兩種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視）二個面展平成一個長方形，然后求其對角線，比較大小即可求得最短路程 解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面， 則這個長方形的長和寬分別是 24 和 7， 則所走的最短線段是 =25； 第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是 17 和 14， 所以走的最短線段是 = ； 第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形， 則這個長方形的長和寬分別是 10 和 4， 所以走的最短線段是 =25； 三種情況比較而言，第二種情況最短 故答案為： 知識點梳理： 平面展開 最短路徑問題 求解方法：解決此類問題時，要先確定好該路徑的起點終點，以及立方體的平面 展開圖 ，借助 勾股定理 來求得路徑的長度。由于展開的方法可以多種， 因此對于路徑的求解也是有多種方法，在這里必定有一個最小值，此值為最短路徑。 2、 如圖一個圓柱，底圓周長 6 4只螞蟻沿外壁爬行，要從 點，則最少要爬行 、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊 A、 B、 C、 D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 - 28 - 分析：設(shè)正方形的邊長為 a， 計算出各種情況時正方形的面積，然后進(jìn)行比較從而解得 解答： 解：方案（ 4）最省電線， 提示