2017年山東省聊城市高考數(shù)學一模試卷（理科）含答案解析

2017 年山東省聊城市高考數(shù)學一模試卷（理科） 一、選擇題 1已知復數(shù) z 滿足（ 1+i） z=1+3i（ i 是虛數(shù)單位），則 z 的共軛復數(shù)為（ ） A 1 i B 1+i C 2 i D 2+i 2已知集合 A=x|x 1| 2， B=x|x=2n 1， n Z，則 A B=（ ） A 1， 3 B 0， 2 C 1 D 1， 1， 3 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， =（ 7， 1），若 ，則 =（ ） A 8 B 10 C 15 D 18 4已知兩條直線 m， n 和兩個不 同平面 ， ，滿足 ， =l， m ， n ，則（ ） A m n B m n C m l D n l 5 “a+b=1”是 “直線 x+y+1=0 與圓（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6已知一個樣本為 x， 1， y， 5，若該樣本的平均數(shù)為 2，則它的方差的最小值為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=10，則輸出 S=（ ） A B C D 8某幾 何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 16 B 16 C 8 D 8 9過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左焦點 F，作圓 x2+的一條切線，切點為 E，延長 雙曲線的右支交于點 P，若 E 是線段 中點，則該雙曲線的離心率為（ ） A B C D 10已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 1， 5， 8，設數(shù)列 前 n 項和為 最大值為 M，最小值為 m，則 M+m=（ ） A 500 B 600 C 700 D 800 二、填空題 11已知函數(shù) f（ x）是定義域為 R 的奇函數(shù)，當 x 0， 1時， f（ x） =x+1），則 f（ 1 ） = 12在區(qū)間 1， 1上任取一個數(shù) a，則曲線 y= 點 x=a 處的切線的傾斜角為銳角的概率為 13若（ x ） n 的展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等，則直線 y=y=成的封閉圖形的面積為 14已知函數(shù) f（ x） =2x+）（ x R， 0， ）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù) f（ x）的圖象向右平移 個單位得到 函數(shù) g（ x）的圖象，則函數(shù) g（ x）的解析式是 15對于函數(shù) f（ x），方程 f（ x） =x 的解稱為 f（ x）的不動點，方程 ff（ x） =f（ x）的穩(wěn)定點 設函數(shù) f（ x）的不動點的集合為 M，穩(wěn)定點的集合為 N，則 M N； 函數(shù) f（ x）的穩(wěn)定點可能有無數(shù)個； 當 f（ x）在定義域上單調遞增時，若 f（ x）的穩(wěn)定點，則 f（ x）的不動點； 上述三個命題中，所有真命題的序號是 三、解答題 16（ 12 分）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 （ ）求角 C； （ ）若 c=2 ，求 長的取值范圍 17（ 12 分）在四棱錐 P ， E 為棱 中點， 平面 D 0， C=2， ， F 為棱 中點 （ ）求證： 平面 （ ）若二面角 F C 為 60，求直線 平面 成角的正切值 18（ 12 分）設 別是數(shù)列 前 n 項和，已知對于任意 n N*，都有 3，數(shù)列 等差數(shù)列，且 5， 9 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 ，數(shù)列 前 n 項和為 使 2017 成立的 n 的取值范圍 19（ 12 分）以 “賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美 ”為宗旨的中國詩詞大會，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節(jié)目，每季賽事共分為10 場，每場分個人追逐賽與擂主爭霸賽兩部分，其中擂主爭霸賽在本場個人追逐賽的優(yōu)勝者與上一場擂主之間進行，一共備有 9 道搶答題，選手搶到并答對獲得 1 分，答錯對方得 1 分，當有一個選手累計得分達到 5 分時比賽結束，該選手就是本場的擂主，在 某場比賽中，甲、乙兩人進行擂主爭霸賽，設每個題目甲答對的概率都為 ，乙答對的概率為 ，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權的概率均為 ，各題答題情況互不影響 （ ）求搶答一道題目，甲得 1 分的概率； （ ）現(xiàn)在前 5 題已經搶答完畢，甲得 2 分，乙得 3 分，在接下來的比賽中，設甲的得分為 ，求 的分布列及數(shù)學期望 20（ 13 分）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，一個頂點在拋物線 y 的準線上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設 O 為坐標原點， M， N 為橢圓上的兩個不同的動點，直線 斜率分別為 否存在常數(shù) P，當 時 面積為定值；若存在，求出 P 的值，若不存在，說明理由 21（ 14 分）已知函數(shù) f（ x） =（ x2+a） a 是常數(shù)， e=是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線 y=f（ x）與 x 軸相切 （ ）求實數(shù) a 的值； （ ）設方程 f（ x） =x2+x 的所有根之和為 S，且 S （ n， n+1），求整數(shù) n 的值； （ ）若關于 x 的不等式 x） +2x+2 2（ ， 0）內恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍 2017 年山東省聊城市高考數(shù)學一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1已知復數(shù) z 滿足（ 1+i） z=1+3i（ i 是虛數(shù)單位），則 z 的共軛復數(shù)為（ ） A 1 i B 1+i C 2 i D 2+i 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出 【解答】 解：（ 1+i） z=1+3i（ i 是虛數(shù)單位）， （ 1 i）（ 1+i） z=（ 1 i）（ 1+3i），化為 2z=4+2i， z=2+i 則 z 的共軛復數(shù)為 2 i 故選： C 【點評】 本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力 ，屬于基礎題 2已知集合 A=x|x 1| 2， B=x|x=2n 1， n Z，則 A B=（ ） A 1， 3 B 0， 2 C 1 D 1， 1， 3 【考點】 交集及其運算 【分析】 由絕對值不等式的解法求出 A，由條件和交集的運算求出 A B 【解答】 解：由題意知， A=x|x 1| 2=x| 1 x 3= 1， 3， 又 B=x|x=2n 1， n Z是奇數(shù)集， 則 A B= 1， 1， 3， 故選 D 【點評】 本題考查交集及其運算，以及絕對值不等式的解法，屬于基礎題 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， =（ 7， 1），若 ，則 =（ ） A 8 B 10 C 15 D 18 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 利用向量的坐標運算性質、向量公式定理即可得出 【解答】 解： 向量 =（ 1， 2）， =（ 2， m）， ， m 2 2=0， 解得 m= 4， =（ 2， 4）， =（ 7， 1）， =2 7 4 1=10， 故選： B 【點評】 本題考查了向量的坐標運算性質、向量公式定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 4已 知兩條直線 m， n 和兩個不同平面 ， ，滿足 ， =l， m ， n ，則（ ） A m n B m n C m l D n l 【考點】 空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系 【分析】 利用直線與平面平行于垂直的關系，平面與平面垂直的關系判斷選項即可 【解答】 解：兩條直線 m， n 和兩個不同平面 ， ，滿足 ， =l， m ，n ，則 m， n 的位置關系是，平行，相交或異面，直線 n 與 l 的位置關系是垂直，如圖： 故選： D 【點評】 本題考查空間直線與平面，平面與平面的 位置關系的判斷與應用，考查空間想象能力 5 “a+b=1”是 “直線 x+y+1=0 與圓（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由直線 x+y+1=0 與圓（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切可得，從而可得 a， 可作出判斷 【解答】 解：直線 x+y+1=0 與圓（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 = ， |a+b+1|=2， a+b=1 或 a+b= 3， “a+b=1”是 “直線 x+y+1=0 與圓（ x a） 2+（ y b） 2=2 相切 ”的充分不必要條件， 故選： A 【點評】 本題以充分與必要條件的判斷為載體，主要考查了直線與圓相切的性質的應用 6已知一個樣本為 x， 1， y， 5，若該樣本的平均數(shù)為 2，則它的方差的最小值為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考點】 極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 求出 x+y=2，求出 最小值，根據(jù)方差的定義求出其最小值即可 【解答】 解：樣本 x， 1， y， 5 的平均數(shù)為 2， 故 x+y=2，故 1， 故 （ x 2） 2+（ y 2） 2+10= + （ x2+ + 2+ 2=3， 故方差的最小值是 3， 故選： C 【點評】 本題考查了求數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù)問題，考查不等式的性質，是一道基礎題 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 n=10，則輸出 S=（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 算法的功能是求 S= + + + 的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的 i 值，利用裂項相消法計算輸出 S 的值 【解答】 解：由程序框圖知：算法的功能是求 S= + + + 的值 ， 輸入 n=10， 跳出循環(huán)的 i 值為 12， 輸出 S= + + + = + + + =（ 1 ） = 故選： B 【點評】 本題考查了當型循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關鍵，屬于基礎題 8某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 16 B 16 C 8 D 8 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體為一個半圓柱挖取一個倒立的四棱錐 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為一個半圓柱挖取一個倒立的四棱 錐 該幾何體的體積 V= =8 故選： D 【點評】 本題考查了三棱臺的三視圖的有關知識、圓柱與四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 9過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左焦點 F，作圓 x2+的一條切線，切點為 E，延長 雙曲線的右支交于點 P，若 E 是線段 中點，則該雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 通過雙曲線的特點知原點 O 為兩焦點的中點，利用中位線的性質，求出 長度及判斷出 直 于 過勾股定理得到 a， c 的關系，進而求出雙曲線的離心率 【解答】 解：如圖，記右焦點為 F，則 O 為 中點， E 為 中點， 的中位線， 2OE=a， E 為切點， 點 P 在雙曲線上， 2a， F+2a=3a， 在 ，有： F2=， 9a2+ 10 離心率 e= = = ， 故選： A 【點評】 本題主要考查雙曲線的簡單性質、圓的方程等基礎知 識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，在圓錐曲線中，求離心率關鍵就是求三參數(shù) a， b， c 的關系，注意解題方法的積累，屬于中檔題 10已知數(shù)列 等差數(shù)列，且 1， 5， 8，設數(shù)列 前 n 項和為 最大值為 M，最小值為 m，則 M+m=（ ） A 500 B 600 C 700 D 800 【考點】 數(shù)列的應用 【分析】 利用已知條件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解 最大值為 M，最小值為 m 推出結果 【解答】 解：數(shù)列 等差數(shù)列，且 1， 5， 8，設數(shù)列 前 n， 最大值為 M，最小值為 m， 可知公差最大值時， M 最大，公差最小時， m 最小， 可得 ， ，此時公差 d=4 是最大值， M= 15+ =435， ， ，此時 d=1， m= 15 =165 M+m=435+165=600 故選： B 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，判斷數(shù)列和何時取得最值是解題的關鍵 二、填空題 11已知函數(shù) f（ x）是定義域為 R 的奇函數(shù)，當 x 0， 1時， f（ x） =x+1），則 f（ 1 ） = 【考點】 抽象函數(shù)及其應用 【分析】 根據(jù)已知，先求出 f（ 1）的值，進而根據(jù)奇函數(shù)的性質，可得答案 【解答】 解： 當 x 0， 1時， f（ x） =x+1）， f（ 1） = ， 又 函數(shù) f（ x）是定義域為 R 的奇函數(shù)， f（ 1 ） = f（ 1） = ， 故答案為： 【點評】 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)求值，難度中檔 12在區(qū)間 1， 1上任取一個數(shù) a，則曲線 y= 點 x=a 處的切線的傾斜角為銳角的概率為 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求得函數(shù)的導數(shù)，可得曲線在 x=a 處切線的斜率，由題意可得斜率大于0，解不等式可得 a 的范圍，再由幾何概率的公式，求出區(qū)間的長度相除即可得到所求 【解答】 解： y= 的導數(shù)為 y=2x， 則曲線 y= 點 x=a 處的切線的斜率為 k=2a， 傾斜角為銳角，即為 2a 0， 解得 a 或 a 0， 由 1 a 1，可得 a 1 或 1 a 0， 則切線的傾斜角為銳角的概率為 = 故 答案為： 【點評】 本題考查導數(shù)的應用：求切線的斜率和傾斜角，考查不等式的解法，同時考查幾何概率的求法，注意運用區(qū)間的長度，考查運算能力，屬于中檔題 13若（ x ） n 的展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等，則直線 y=y=成的封閉圖形的面積為 【考點】 二項式系數(shù)的性質；定積分 【分析】 先確定 n 的值，再求出直線 y=曲線 y=點坐標，利用定積分求得直線 y=曲線 y=成圖形的面積 【解答】 解： （ x ） n 的展開式中第 2 項與第 4 項的二項式系數(shù)相等， n=4， 由直線 y=4x 與曲線 y=得交點坐標為（ 0， 0），（ 4， 16）， 直線 y=曲線 y=成的封閉區(qū)域面積為 （ 4x 2 = 故答案為： 【點評】 本題主要考查二項式定理的應用，利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎題 14已知函數(shù) f（ x） =2x+）（ x R， 0， ）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù) f（ x）的圖象向右平移 個單位得到函數(shù) g（ x）的圖象，則函數(shù) g（ x）的解析式是 g（ x） =22x+ ） 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 通過函數(shù)的圖象求出 A，求出函數(shù)的周期，利用周期公式求出 ，函數(shù)過（ ， 2），結合 的范圍，求出 ，推出函數(shù)的解析式，通過函數(shù)圖象的平移推出結果 【解答】 解： 由圖象知 A=2， T= （ ） = ， T=2， 2 （ ） +=2， 可得： 2 （ ） +=2 k Z， ， 得： = ，可得： f（ x） =22x+ ）， 則圖象向右平移 個單位后得到的圖象解析式為 g（ x） =2（ x ）+ =22x+ ）， 故答案為： g（ x） =22x+ ） 【點評】 本題考查學生的識圖能力，函數(shù)的解析式的求法，圖象的變換，考查計算能力，屬于基本知識的考查 15對于函數(shù) f（ x），方程 f（ x） =x 的解稱為 f（ x）的不動點，方程 ff（ x） =f（ x）的穩(wěn)定點 設函數(shù) f（ x）的不動點的集合為 M，穩(wěn)定點的集合為 N，則 M N； 函數(shù) f（ x）的穩(wěn)定點可能有無數(shù)個； 當 f（ x）在定義域上單調遞增時，若 f（ x）的穩(wěn)定點，則 f（ x）的不動點； 上 述三個命題中，所有真命題的序號是 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 若 M=，則 M N 顯然成立；若 M ，由 t M，證明 t N，說明 正確；舉例說明 正確；利用反證法說明 正確 【解答】 解： 若 M=，則 M N 顯然成立； 若 M ，設 t M，則 f（ t） =t， f（ f（ t） =f（ t） =t， t N， 故 M N， 正確； 取 f（ x） =x，則方程 f（ x） =x 的解有無數(shù)個，即不動點有無數(shù)個， 不動點一定是穩(wěn)定點， 函數(shù) f（ x）的穩(wěn)定點可能有無數(shù) 個，故 正確； 設 f（ x）的穩(wěn)定點，則 f（ f（ = f（ f（ x）是 R 上的增函數(shù)， 則 f（ f（ f（ f（ 矛盾； 若 f（ f（ x）是 R 上的增函數(shù)， 則 f（ f（ f（ ， f（ 盾 故 f（ = 函數(shù) f（ x）的不動點，故 正確 正確命題的序號是 故答案為： 【點評】 本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數(shù)單調性的性質，考查邏輯思維能力與推理運算能力，是中檔題 三、解答題 16（ 12 分）（ 2017聊城一模）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為a， b， c，且 （ ）求角 C； （ ）若 c=2 ，求 長的取值范圍 【考點】 正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內角和定理可得得 ，從而解得 C 的值 （ ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得 a+b+c=2 +4 A+ ），利用 A 的范圍，利用正弦函數(shù)的性質可求 A+ ）的范圍，即可得解 【解答 】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ）在 ，由正弦定理，可得 （ 2 分） A+B） =2 （ 4 分） ，故 C= ； （ 6 分） （ ）由正弦定理可得 ， 于是， a+b+c=2 +4（ =2 +4 A） =2 +4 A+ ）， （ 8 分） 銳角 ， C= ， A （ ， ）， A+ （ ， ）， A+ ） （ ， 1， 可得： a+b+c （ 6+2 ， 6 ， （ 11 分） 長的取值范圍為：（ 6+2 ， 6 ， （ 12 分） 【點評】 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形內角和定理，在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題 17（ 12 分）（ 2017聊城一模）在四棱錐 P ， E 為棱 中點，平面 0， C=2， ， F 為棱 中點 （ ）求證： 平面 （ ）若二面角 F C 為 60，求直線 平面 成角的正切值 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）連接 點 M，連接 明 中位線，得出 明 面 （ ）證明 平面 E 為坐標原點， P 為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標系，設 PE=m，表示出 、 ，求出平面一個法向量 ，取平面 一個法向量 ，利用 ， 是二面角的余弦值，求出直線 平面 成角的正切值 【解答】 解：（ ） 證明：連 接 點 M，連接 E， C， 又 C， 線段 中位線， 面 （ ） C， 四邊形 平行四邊形， 又 0， 四邊形 矩形， 又 平面 以 E 為坐標原點， x， y， z 軸，建立空間直角坐標系， 如圖所示， 設 PE=m，則 E（ 0， 0， 0）， B（ 3， 0， 0）， P（ 0， 0， m）， C（ 3， 2， 0）， F（ ， 1， ）， =（ 3， 0， 0）， =（ ， 1， ）； 設平面 一個法向量為 =（ x， y， z）， 由 ，得 ； 令 z=1，得 =（ 0， m， 1）， 取平面 一個法向量為 =（ 0， 0， 1）； ， = = = ， 由二面角 F C 為 60，得 = ，解得 m=2 ； 平面 是直線 平面 成角， 在 ， = ， 直線 平面 成角的正切值為 【點評】 本題考 查了空間中直線與平面的位置關系以及線面角、二面角的計算問題，是綜合性題目 18（ 12 分）（ 2017聊城一模）設 別是數(shù)列 前 n 項和，已知對于任意 n N*，都有 3，數(shù)列 等差數(shù)列，且 5， 9 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 ，數(shù)列 前 n 項和為 使 2017 成立的 n 的取值范圍 【考點】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和 【分析】 （ I）由 3，可得 n=1 時， 3，解得 n 2 時， 31=21+3，可得 1，利用等比數(shù)列的通項公式可得 等差數(shù)列 公差為 d，由 5， 9可得 5d=25， d=19，聯(lián)立解出即可得出 （ （ I）可得： = = = ，利用“裂項求和 ”方法可得 于 0，故數(shù)列 調遞增，即可得出 【解答】 解：（ I）由 3，可得 n=1 時， 3，解得 n 2 時，31=21+3，可得 331=221=2得 1， 數(shù)列 等比數(shù)列，公比為 3，首項為 3 n 設等差數(shù)列 公差為 d， 5， 9 5d=25， d=19， 聯(lián)立解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n 1 （ （ I）可得： = = = ， 數(shù)列 前 n 項和為 + + + = 3， 由于 0， 數(shù)列 調遞增， 2017， 184 2017 使 2017 成立的 n 的取值范圍是 n 8 【點評】 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、 “裂項求和 ”方法、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 19（ 12 分）（ 2017聊城一模）以 “賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美 ”為宗旨的中國詩詞大會，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節(jié)目，每季賽事共分為 10 場，每場分個人追逐賽與擂主爭霸賽兩部分，其中擂主爭霸賽在本場個人追逐賽的優(yōu)勝者與上一場擂主之間進行，一共備有 9 道搶答題，選手搶到并答對獲得 1 分，答錯對方得 1 分，當有一個選手累計得分達到 5 分時比賽結 束，該選手就是本場的擂主，在某場比賽中，甲、乙兩人進行擂主爭霸賽，設每個題目甲答對的概率都為 ，乙答對的概率為 ，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權的概率均為 ，各題答題情況互不影響 （ ）求搶答一道題目，甲得 1 分的概率； （ ）現(xiàn)在前 5 題已經搶答完畢，甲得 2 分，乙得 3 分，在接下來的比賽中，設甲的得分為 ，求 的分布列及數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ I）設 “搶答一道題目，甲得 1 分 ”為事件 A，則事件 A 發(fā)生當且僅當甲搶到答題權后答對或乙搶到答題權后 答錯利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出 （ 接下來的比賽中，甲的得分為 取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = ，P（ =1） = ， P（ =2） = ， P（ =3）=1 P（ =0） P（ =1） P（ =2） 【解答】 解：（ I）設 “搶答一道題目，甲得 1 分 ”為事件 A，則事件 A 發(fā)生當且僅當甲搶到答題權后答對或乙搶到答題權后答錯 P （ A ）= + = （ 接下來的比賽中，甲的得分為 取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） =1 = 的分布列： 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = 【點評】 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 20（ 13 分）（ 2017聊城一模）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，一個頂點在拋物線 y 的準線上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設 O 為坐標原點， M， N 為橢圓上的兩個不同的動點，直線 斜率分別為 否存在常數(shù) P，當 時 面積為定值；若存在，求出 P 的值，若不存在，說明理由 【考點】 直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程 【分析】 （ ）由橢圓的離心率為 ，一個頂點在拋物線 y 的準線上，列出方程組，求出 a=2， b=1，由此能求出橢圓 C 的方程 （ ）當直線 在斜率時，設其方程為 y=kx+m，（ m 0），由 ，得（ 4） 4=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，求出 存在常數(shù) P，當 時 面積為定值 1；當直 線 存在斜率時，若 ，則 | ， d= ，此時 S 由此求出存在常數(shù) p= ，當 p 時， 面積為定值 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，一個頂點在拋物線 y 的準線上 y 的準線方程為 y= 1， ， 解得 a=2， b=1， 橢圓 C 的方程為 =1 （ ）當直線 在斜率時，設其方程為 y=kx+m，（ m 0）， 由 ，消去 y，得（ 4） 4=0， 設 M（ N（ ，則 ， ， | = = ， 點 O 到直線 y=kx+m 的距離 d= ， = =2 ， = = = = ， 設 =p，則 4 1 4p） p， 于是 ， 由 S 定值，得 為定值， 從而 4p+1=0，解得 p= ，此時， S 當直線 存在斜