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2017 年春季湖北省六校聯(lián)合體四月聯(lián)考 高三數(shù)學理科試卷 第 卷(共 60 分) 一、 選擇題:本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 3 4 0 A x x x , 3B x x,則集合 ( ) A 3, 1 B 3,4 C 1,3 D 3,4 1 ) ( ) 2 2i x y i i ,其中 , x ( ) A 1 B 2 C 3 D 2 視圖(單位: 如下圖所示,則該幾何體的體積是( ) A 3 3 B 5 3 C 4 3 D 6 3 5 03 5 030y k ,若目標函數(shù)1 3z x y的最小值的 7 倍與2 7z x y的最大值相等,則實數(shù) k 的值為( ) A 1 B C D 2 d ,1 2若等比中項,則 k ( ) A 2 B 3 C 5 D 8 21的離心率為 233,且一個焦點與拋物線 2 8的焦點相同,則此雙曲線的方程 是( ) A 2 2 13y xB 2214 12C 22 13D 22112 4輸出的 S 值為 條件框內(nèi)應填寫( ) A 4?i B 6?i C 5?i D 5?i 在 2,2 的圖象大致為( ) ) 2 s i n s i n ( 3 )f x x x 是奇函數(shù),其中 (0, )2,則函數(shù)( ) c o s ( 2 )g x x 的圖象( ) A關于點 ( ,0)12對稱 B關于軸 512x 對稱 C可由函數(shù) ()單位得到 D可由函數(shù) ()單位得到 1a,1 2nn a ( *)若11( 2 ) ( 1 )n a ( *),1 32b ,且數(shù)列 實數(shù) 的取值范圍是( ) A 45B 1 C 32D 23斜邊上的高 成 0120 的二面角,已知直角邊 43,46,那么下面說法正確的是( ) A平面 平面 B四面體 D 的體積是 1663C二面角 A 的正切值是 425D 平面 成角的正弦值是 ) xf x e 有兩個零點12,2則下面說法正確的是( ) A122B C121有極小值點0x,且1 2 02x x x第 卷(共 90 分) 二、填空題(每題 5 分,滿分 20 分,將答案填在答題紙上) 13.設 ,向量 ( ,1), (1, 2)b ,且 2 ( 2 1)( 1)的展開式中含 4x 項的系數(shù)是 (用數(shù)字作答) , 2, 3, 4, 5, 6, 7 的 7 張電影票分給甲、乙、丙、丁、戊五個人,每人至少一張,至多分兩張,且分得的兩張票必須是連號,那么不同分法種數(shù)為 21( 0 )上的動點 M 作圓 2222的兩條切線,切點為 ,直線 x 軸和 y 軸的交點分別為 E 和 F ,則 面積的最小值是 三、解答題 (本大題共 6 小題,共 70 分 明過程或演算步驟 .) 17. 已知 ,三個內(nèi)角 ,對邊,且 c o s 3 s i a C b c . ( 1)求 A ; ( 2)若 7a , 的面積為 332,求 b 與 c 的值 . 18. 如圖,在四棱錐中 P , 平面 /C , D ,且2A D C D, 22, 2. ( 1)求證: C ; ( 2)在線段 ,是否存在一點 M ,使得二面角 M 的大小為 045 ,如果存在,求 平面 成角,如果不存在,請說明理由 . 19. 某單位共有 10 名員工,他們某年的收入如下表: 員工編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪(萬元) 4 5 51 ( 1)求該單位員工當年年薪的平均值和中位數(shù); ( 2)從該單位中任取 2 人,此 2 人中年薪收入高于 7 萬的人數(shù) 記為 ,求 的分布列和期望; ( 3)已知員工年薪收入與工作年限成正相關關系,某員工工作第一年至第四年的年薪分別為 4 萬元, 元, 6 萬元, 元,預測該員工第五年的年薪為多少? 附:線性回歸方程 y bx a中系數(shù)計算公式分別為: 121( ) ( ) 71 . 45()x y , a y ,其中 , 20. 已知動圓 C 過定點2(1,0)F,并且內(nèi)切于定圓 221 : ( 1 ) 1 6F x y . ( 1)求動圓圓心 C 的軌跡方程; ( 2)若 2 4上存在兩個點 , 1)中曲線上有兩個點 ,且2,M N ,N ,求四邊形 面積的最小值 . 21. 已知函數(shù) 21( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l x x a x a x , 23( ) ( 4 2 ) l x x x a x . ( 1)若 1a ,討論函數(shù) () ( 2)是否存在實數(shù) a ,對任意12, ( 0 , ),12 有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立,若存在,求出 a 的范圍,若不存在,請說明理由; ( 3)記 ( ) ( ) ( )h x f x g x,如果12,)1 2 14x x x, ()明: 122( ) 03 . 請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分 . 標系與參數(shù)方程 已知直線112:36 ( t 為參數(shù)),曲線1co s:( 為參數(shù)) . ( 1)設 l 與1 ( 2)若把曲線12倍,縱坐標壓縮 為原來的 32倍,得到曲線2C,設點 P 是曲線2它到直線 l 的距離的最大值 . 等式選講 已知函數(shù) ( ) 3f x x ( 1)解不等式: ( ) ( 1 ) 2f x f x ; ( 2)若 0a ,求證: ( ) ( 3 ) ( )f a x f a a f x. 2017 年春季湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試 高三數(shù)學 (理科 )試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12: 、填空題 13. 5 14. 15 15. 1200 16. 34答題 17.【解析】 ( 1) c o s 3 s i a C b c ,由正弦定理得: s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i A C B C ,即 s i n c o s 3 s i n s i n s i n s i n A C A C , 化簡得: 3 s i n c o s 1, 1s 在 中, 0 A , 66A ,得3A , ( 2)由已知得 1 3 3s i 2 ,可得 6, 由已知及余弦定理得 22 2 c o s 7b c b c A , 2( ) 25, 5 , 聯(lián)立方程組 65,可得 23或 32. 18.【解析】 ( 1)證明: 如圖,由已知得四邊形 直角梯形, 由已知 2 , 2 2A D C D B C , 可得 是等腰直角三角形,即 C , 又 平面 則 B ,又 C A ,所以 平面 所以 C . ( 2)存在,觀察圖形特點,點 M 可能是線段 一個三等分點(靠近點 D ),下面證明當 M 是線段 三等分點時,二面角 M 的大小為 045 ,過點 M 作 D于 N ,則 /A ,則 平面 過點 M 作 C 于 G ,連接 則 是二面角 M 的平面角, 因為 M 是線段 一個三等分點(靠近點 D ),則 22,233M N A N, 在四邊形 求得 23則 045, 所以當 M 是線段 一個靠近點 D 的三等分點時,二面角 M 的大小為 045 , 在三棱錐 M 中,可得 13M A B C A B M N,設點 B 到平面 距離是 h , 13B M A C M A h, 則A B C M A N S h ,解得 2h , 在 中,可得 22, 設 平面 成的角為 ,則 1s , 所以 平面 成的角為 030 . 19.【解析】 ( 1)平均值為 11 萬元,中位數(shù)為 7 萬元 . ( 2)年薪高于 7 萬的有 5 人,低于或等于 7 萬的有 5 人; 取值為 0, 1, 2. 252102( 0 )9 , 11552105( 1 )9 , 252102( 2 )9 , 所以 的分布列為 0 1 2 P 29 59 29 數(shù)學期望為 2 5 20 1 2 19 9 9E . ( 3)設 )4,3,2,1(, 6, 4 21( ) 2 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 2 . 2 5 5 41( ) ( ) 1 . 5 2 0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 1 . 5 2 . 5 7x y y ( - ) ( - ) ( - ) 121( ) ( ) 7 1 . 45()x y 6 1 . 4 2 . 5 2 . 5a y b x , 得線性回歸方程: . 可預測該員工第 5 年的年薪收入為 元 . 20.【解析】 ( 1)設動圓的半徑為 r ,則2CF r,1 4CF r,所以1 2 1 24C F C F F F , 由橢圓的定義知動圓 圓心 C 的軌跡是以12,2, 1,所以 3b ,動圓圓心 C 的軌跡方程是 22143. ( 2)當直線 率不存在時,直線 斜率 為 0,易得 4 , 4M N P Q,四邊形面積 8S . 當直線 率存在時,設其方程為 ( 1 ) ( 0 )y k x k ,聯(lián)立方程得 2( 1)4y k ,消元得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k 設1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y,則 12 2124 21xx 2222441 ( 2 ) 4 4M N k N ,直線 方程為 1 ( 1) , 221 ( 1)143 ,得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x x k 設3 3 4 4( , ) , ( , )P x y Q x y,則34 2212 28344 1 234 2222 2 2 21 8 4 1 2 1 2 ( 1 )1 ( ) 43 4 3 4 3 4k k k 四邊形 面積 2 2 22 2 2 21 1 4 1 2 ( 1 ) ( 1 )( 4 ) ( ) 2 42 2 3 4 ( 3 4 ) N P Qk k k k , 令 2 1 , 1t ,上式 2211 332 4 2 4( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 1 )t t t t , 令 2 1 , ( 3 )t z z , 2 1 48 1 8 1 8 13 3 1 1( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( ) 1 022 1 103z z ( 3z ), 13 ( ) 1 0 0z z , 8 (1 0 ) 8S , 綜上可得 8S ,最小值為 8. 21.【解析】 ( 1) ()0, ) 2 ( 2 ) ( 1 )1 ( 1 ) 2 ( 1 )( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) x x ax a x af x x a a x x x 若 12a ,則 3a , 2 ( 2 )( ) 0, ()0, ) 上單調遞增; 若 12a ,則 3a ,而 1a , 13a, 當 ( 1, 2) 時, ( ) 0;當 (0, 1)及 (2, ) 時 ( ) 0, 所以 () 1,2)a 上單調遞減,在 (0, 1)a 及 (2, ) 單調遞增; 若 12a ,則 3a ,同理可得 ()2, 1)a 上單調遞減,在 (0,2) 及 ( 1, )a 單調遞增 . ( 2)假設存在 a ,對任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ,有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立, 不妨設120 ,只要2121( ) ( ) 0f x f x ,即 2 2 1 1( ) ( )f x a x f x a x , 令 ( ) ( )g x f x ,只要 () (0, ) 上為增函數(shù), 21( ) 2 ( 1 ) l x x x a x 2219( ) 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 24( ) 1 x x ag x xx x x 只要 ( ) 0在 (0, ) 恒成立,只要 992 0 ,48 ,故存在 9 ,8a 時,對任意1 2 1 2, ( 0 , ) ,x x x x ,有1212( ) ( ) 0f x f x 恒成立 . ( 3)由題意知, 2 2 213( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) l n ( 4 2 ) l n 2 l x x a x a x x x a x x x a x 221 1 1 1 2 2 2 2( ) 2 l n 0 , ( ) 2 l n 0h x x x a x h x x x a x 兩式相減,整理得2 1 2 1 2 2 112 l n ( ) ( ) ( )x x x x x a x ,所以 2121212 l n()x ,又因為 2( ) 2h x x , 所以21 2 2 11 2 1 221 2 2 1 11332 6 2 2 1 ( ) ( 2 ) l n ( )3 2 3 32xx x x xh x x a x x x x 令2133(1 , 4 ) , ( ) l n 2x tt t ,則 2( 1 ) ( 4 )( ) 0( 2 ) , 所以 ()t 在 (1,4) 上單調遞減,故 ( ) (1) 0t 又1221 0 , ( ) 03 ,所以 122( ) 0322.【解析】 ( 1) l 的普通方程 3 ( 1)3,121,聯(lián)立方程組223 ( 1)31 解得 l 與11,0)A , 13( , )22B ,則 3 ( 2)2co ( 為參數(shù)),故點 P 的坐標是 13( c o s , s i n )22,從而點 P 到直線 l 的距離是1013 s i n ( ) 1c o s s i n 122222 ,由此當) 1時, d 取得最大值,且最大值為

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