四川省資陽市2017屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(4月)含答案解析

2017 年四川省資陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 4 月份） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 1 0，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 2已知等差數(shù)列 前項和為 0，則 ） A 6 B 7 C 8 D 9 3已知 i 為虛數(shù)單位， 若復(fù)數(shù) z=1+（ 1+a） i（其中 a R）為純虛數(shù)，則 =（ ） A B C D 4一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖相同，其上部分是半圓，下部分是邊長為 2 的正方形；俯視圖是邊長為 2 的正方形及其外接圓則該幾何體的體積為（ ） A B C D 5雙曲線 E： =1（ a 0， b 0）的一個焦點 F 到 E 的漸近線的距離為 ，則 E 的離心率是（ ） A B C 2 D 3 6將編號為 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六個小球放入編號為 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是（ ） A 40 B 60 C 80 D 100 7已知 數(shù)是一個求余函數(shù)，記 m， n）表示 m 除以 n 的余數(shù)，例如 8， 3） =2如圖是某個算法的程序框圖，若輸入 m 的值為 48 時，則輸出 i 的值為（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8已知函數(shù) ，其中 0若 對 x R 恒成立，則 的最小值為（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的 是（ ） A C 0正方形 等邊三角形 公共邊 20，則 平面 成角的大小為（ ） A B C D 11過拋物線 x 的焦點 F 作互相垂直的弦 點 A， B， C， D 所構(gòu)成四邊形的面積的最小值為（ ） A 16 B 32 C 48 D 64 12如圖，在直角梯形 ， ， C=1，圖中圓弧所在圓的圓心為點 C，半徑為 ，且 點 P 在圖中陰影部分（包括邊界）運動若 =x +y ，其中 x， y R，則 4x y 的取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13二項式 的展開式中，常數(shù)項是 14已知隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2），且 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題： “今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？ ”意思 是：今有蒲生長 1 日，長為 3 尺；莞生長1 日，長為 1 尺蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加 1 倍若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為 日（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)： 16已知函數(shù) f（ x） =（ x 2） +k 是常數(shù)， e 是自然對數(shù)的底數(shù)，e=）在區(qū)間（ 0， 2）內(nèi)存在兩個極值點，則實數(shù) k 的取值范圍是 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17（ 12 分）在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 （ ） 求角 A 的大??； （ ） 若 b+c=2，求 a 的取值范圍 18（ 12 分）共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托 “互聯(lián)網(wǎng) +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了 100 人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100 人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照 50， 60）， 60， 70）， ， 90，100分成 5 組，制成如圖所示頻率分直方圖 （ ） 求圖中 x 的值； （ ） 已知滿意度評分值在 90， 100內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為 2： 1，若在滿意度評分值為 90， 100的人中隨機抽取 4 人進行座談，設(shè)其中的女生人數(shù)為隨機變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19（ 12 分）如圖，在三棱柱 ，底面 等邊三角形，側(cè)面 正方形，且 平面 D 為線段 的一點 （ ） 若 平面 定 D 的位置，并說明理由； （ ） 在（ ）的條件下，求二面角 C 余弦值 20（ 12 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，橢圓 ：的離心率為 ，直線 l： y=2 上的點和橢圓 上的點的距離的最小值為 1 （ ） 求橢圓 的方程； （ ） 已知橢圓 的上頂點為 A，點 B， C 是 上的不同于 A 的兩點，且點 B，C 關(guān)于原點對稱，直線 別交直線 l 于點 E， F記直線 斜率分別為 求證： k1定值； 求 面積的最小值 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =x+1） +中 a R （ ） 當(dāng) a= 1 時，求證： f（ x） 0； （ ） 對任意 0 ， 存 在 x （ 1 ， + ），使成立，求 a 的取值范圍（其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)， e=） 請考生在 22， 23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 （共 1 小題，滿分 10 分） 22（ 10 分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 =2 （ ） 求曲線 點的平面直角坐標(biāo)； （ ） 點 A， B 分別在曲線 ，當(dāng) |大時，求 面積（ 選修 4等式選講 （共 1 小題，滿分 0 分） 23已知函數(shù) f（ x） =|x+1| （ ） 解不等式 f（ x+8） 10 f（ x）； （ ） 若 |x| 1， |y| 1，求證： f（ y） |x|f（ ） 2017 年四川省資陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 4 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=R，集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 1 0，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A x|x 1 或 x 3 B x|x 1 或 x 3 C x|x 1 D x|x 1 【考點】 表達(dá)集合的關(guān)系及運算 【分析】 由陰影部分表示的集合為 U（ A B），然后根據(jù)集合的運算即可 【解答】 解：由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為 U（ A B）， 由 2x 3 0 得 1 x 3， 即 A=（ 1， 3）， B=x|x 1， A B=（ 1， + ）， 則 U（ A B） =（ ， 1， 故選 D 【點評】 本題主要考查集合的基本運算，利用 確定集合的關(guān)系是解決 本題的關(guān)鍵 2已知等差數(shù)列 前項和為 0，則 ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考點】 等差數(shù)列的前 n 項和 【分析】 利用等差數(shù)列的前 n 項和公式及其性質(zhì)即可得出 【解答】 解：由等差數(shù)列的前 n 項和公式及其性質(zhì)可得： 0= =5 解得 故選： A 【點評】 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 3已知 i 為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) z=1+（ 1+a） i（其中 a R）為純虛數(shù)，則 =（ ） A B C D 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 由已知求得 a 值，代入 ，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案 【解答】 解： z=1+（ 1+a） i 為純虛數(shù)， ，解得： a=1 z=2i， 則 = = 故選： B 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 4一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖相同，其上部分是半圓，下部分是邊長為 2 的正方形；俯視圖是邊長為 2 的正方形及其外接圓則該幾何體的體積為（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 首先由幾何體還原幾何體，是下面是底面為正方體，上面是半徑為 的半球，由此計算體積 【解答】 解：由幾何體的三視圖得到幾何體為組合體，下面是底面為正方體，上面是半徑為 的半球， 所以幾何體的體積為 2 2 2+ =8+ 故選 C 【點評】 本題考查了組合體的三視圖以及體積的計算；關(guān)鍵是明確幾何體的形狀，由體積公式計算 5雙曲線 E： =1（ a 0， b 0）的一個焦點 F 到 E 的漸近線的距離為 ，則 E 的離心率是（ ） A B C 2 D 3 【考點 】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)題意，求出雙曲線的焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得焦點 F 到漸近線 的距離為 b，結(jié)合題意可得 b= ，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得 c= =2a，進而由雙曲線離心率公式計算可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，雙曲線 E： =1 的焦點在 x 軸上，則其漸近線方程為 y= x，即 ， 設(shè) F（ c， 0）， F 到漸近線 的距離 d= = =b， 又由雙曲線 E： =1 的一個焦點 F 到 E 的漸近線的距離為 ， 則 b= ， c= =2a， 故雙曲線的離心 率 e= =2； 故選： C 【點評】 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意 “雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b” 6將編號為 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六個小球放入編號為 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是（ ） A 40 B 60 C 80 D 100 【考點】 排列、組合的實際應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意，分 2 步進行分析： 、在六個盒子中任選 3 個，放入與其編號相同的小球，由組合數(shù)公式可得放法數(shù)目， 、假設(shè)剩下的 3 個盒子的編號為4、 5、 6，依次分析 4、 5、 6 號小球的放法數(shù)目即可；進而由分步計數(shù)原理計算可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同， 在六個盒子中任選 3 個，放入與其編號相同的小球，有 0 種選法， 剩下的 3 個盒子的編號與放入的小球編號不相同，假設(shè)這 3 個盒子的編號為 4、5、 6， 則 4 號小球可以放進 5、 6 號盒子，有 2 種選法， 剩下的 2 個小球放進剩下的 2 個盒子，有 1 種情況， 則不同的放法總數(shù)是 20 2 1=40； 故選： A 【點評】 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是編號與放入的小球編號不相 同的情況數(shù)目的分析 7已知 數(shù)是一個求余函數(shù)，記 m， n）表示 m 除以 n 的余數(shù)，例如 8， 3） =2如圖是某個算法的程序框圖，若輸入 m 的值為 48 時，則輸出 i 的值為（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，依次計算 m， n）的值，由題意 N*，從而得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得： n=2， i=0， m=48， 滿足條件 n 48，滿足條件 48， 2） =0， i=1， n=3， 滿足條件 n 48，滿足條件 48， 3） =0， i=2， n=4， 滿足條件 n 48，滿足條件 48， 4） =0， i=3， n=5， 滿足條件 n 48，不滿足條件 48， 5） =0， n=6， N*，可得： 2， 3， 4， 6， 8， 12， 16， 24， 48， 共要循環(huán) 9 次，故 i=9 故選： C 【點評】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的m， n）的值是解題的關(guān)鍵 8已知函數(shù) ，其中 0若 對 x R 恒成立，則 的最小值為（ ） A 2 B 4 C 10 D 16 【考點】 正弦函數(shù)的圖 象 【分析】 由題意根據(jù)正弦函數(shù)的最大值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，可得 + =2， k Z，由此求得 的最小值 【解答】 解： 函數(shù) ，其中 0若 對 x + =2， k Z，即 =24k+4，故 的最小值為 4， 故選： B 【點評】 本題主要考查正弦函數(shù)的最大值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題 9已知 0 c 1， a b 1，下列不等式成立的是（ ） A C 考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；不等式 的基本性質(zhì) 【分析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，逐一分析四個答案的真假，可得結(jié)論 【解答】 解： 0 c 1， a b 1， 故 A 不成立； 故 b（ a c） a（ b c），即 ，故 B 不成立； 1 1， 0，故 C 不成立； 0，故 D 成立， 故選： D 【點評】 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了不等式的基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單 調(diào)性，難度中檔 10正方形 等邊三角形 公共邊 20，則 平面 成角的大小為（ ） A B C D 【考點】 直線與平面所成的角 【分析】 如圖所示， 平面 平面 成角，設(shè) a，求出 a，即可求出 平面 成角 【解答】 解：如圖所示， 平面 則 平面 成角， 設(shè) a，則 a， OF=a， a， ， 0 ， 故選 C 【點評】 本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，正確作出線面角是關(guān)鍵 11過拋物線 x 的焦點 F 作互相垂直的弦 點 A， B， C， D 所構(gòu)成四邊形的面積的最小值為（ ） A 16 B 32 C 48 D 64 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)直線 方程為 y=k（ x 1），由 ，消去 y 得 2）x+ ， 由 弦 長 公 式 得 |， 以 換 k 得 |， 故 所 求 面 積 為S= |8（ +2）即可求最值 【解答】 解：設(shè)直線 斜率為 k（ k 0），則直線 斜率為 ， 直線 方程為 y=k（ x 1）， 由 ，消去 y 得 2） x+， ， 由 弦 長 公 式 得 | = = ， 以 換 k 得 |4， 相垂直 故所求面積為 S= |8（ +2） 8（ 2 ） 32（當(dāng) 時取等號）， 即面積的最小值為 32故選： B 【點評】 題考查拋物線方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，考查弦長的表達(dá)式的求 法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的靈活運用，屬于中檔題 12如圖，在直角梯形 ， ， C=1，圖中圓弧所在圓的圓心為點 C，半徑為 ，且點 P 在圖中陰影部分（包括邊界）運動若 =x +y ，其中 x， y R，則 4x y 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義 【分析】 建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)與圓的方程； 設(shè)出點 P 的坐標(biāo)，求出三個向量坐標(biāo)，將 P 的坐標(biāo)代入圓的方程求出 4x y 的取值范圍 【解答】 解：以 A 為坐標(biāo)原點， x 軸， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系則 A（ 0， 0）， D（ 0， 1）， C（ 1， 1）， B（ 2， 0） 直線 方程為 x+2y 2=0， C 到 距離 d= ； 以點 C 為圓心，以 為半徑的圓方程為（ x 1） 2+（ y 1） 2= ， 設(shè) P（ m， n）則 =（ m， n）， =（ 2， 0）， =（ 1， 1）； （ m， n） =（ 2x y， y） m=2x y， n=y， P 在圓內(nèi)或圓上 （ 2x y 1） 2+（ y 1） 2 ， 設(shè) 4x y=t，則 y=4x t，代入上式整理得 80 48t+32） x+8 0， 設(shè) f（ x） =80 48t+32） x+8， x ， ， 則 ， 解得 2 t 3+ ， 4x y 的取值范圍是 2， 3+ 故選： B 【點評】 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用問題，是綜合題 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13二項式 的展開式中，常數(shù)項是 28 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 利用通項公式即可得出 【解答】 解：通項公式 = r =（ 1） r ， 令 8 =0，解得 r=6 常數(shù)項 = =28 故答案為： 28 【點評】 本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題 14已知隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2），且 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 根據(jù)隨機變量 X 服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得 P（ X 4） 【解答】 解： 隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 2， 正態(tài)曲線的對稱軸是 x=2 P（ 0 X 2） = P（ X 4） = 故答案為 【點評】 本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題： “今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？ ”意思是：今有蒲生長 1 日，長為 3 尺；莞生長1 日，長為 1 尺蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加 1 倍若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為 （結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)： 【考點】 數(shù)列的應(yīng)用 【分析】 設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列 其 ，公比為 ，其前 n 項和為 （植物名）的長度組成等比數(shù)列 其 ，公比為 2，其前 n 項和為 用等比數(shù)列的前 n 項和公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出 【解答】 解：設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列 其 ，公比為 ，其前 n 項和為 莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列 其 ，公比為 2， 其前 n 項和為 ， ， 由題意可得： = ，化為： 2n+ =7， 解得 2n=6， 2n=1（舍去） n= =1+ 估計 蒲、莞長度相等， 故答案為： 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 16已知函數(shù) f（ x） =（ x 2） +k 是常數(shù)， e 是自然對數(shù)的底數(shù)，e=）在區(qū)間（ 0， 2）內(nèi)存在兩個極值點，則實數(shù) k 的取值范圍是 （ 1，e） （ e， 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 k=（ 0， 2）的交點問題，求出 k 的范圍即可 【解答】 解： f（ x） =（ x 1） k（ x 1） =（ x 1）（ k）， 若 f（ x）在（ 0， 2）內(nèi)存在兩個極值點， 則 f（ x） =0 在（ 0， 2）有 2 個解， 令 f（ x） =0，解得： x=1 或 k= 而 y=0 x 2）的值域是（ 1， 故 k （ 1， e） （ e， 故答案為：（ 1， e） （ e， 【點評】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17（ 12 分）（ 2017資陽模擬）在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a，b， c，已知 （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 b+c=2，求 a 的取值范圍 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得 ，由0 B+C ，可求 ，進而可求 A 的值 （ ）根據(jù)余弦定理，得 b 1） 2+3，又 b+c=2，可求范圍 0 b 2，進而可求 a 的取值范圍 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ ）由已知得 ，（ 2 分） 化簡得 ， 整理得 ，即 ，（ 4 分） 由于 0 B+C ，則 ， 所以 （ 6 分） （ ）根據(jù)余弦 定理，得 （ 8 分） =b2+c2+ 2 b） 2+b（ 2 b） =2b+4 =（ b 1） 2+3（ 10 分） 又由 b+c=2，知 0 b 2，可得 3 4， 所以 a 的取值范圍是 （ 12 分） 【點評】 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017資陽模擬）共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托 “互聯(lián)網(wǎng) +”，符合 “低碳出行 ”的理念，已越來越多地 引起了人們的關(guān)注某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了 100 人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這 100 人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照 50， 60）， 60，70）， ， 90， 100分成 5 組，制成如圖所示頻率分直方圖 （ ） 求圖中 x 的值； （ ） 已知滿意度評分值在 90， 100內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為 2： 1，若在滿意度評分值為 90， 100的人中隨機抽取 4 人進行座談，設(shè)其中的女生人數(shù)為隨機變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差； 頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ I）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出 （ 用超幾何分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出 【解答】 解：（ ）由（ x） 10=1，解得 x= 4分） （ ）滿意度評分值在 90， 100內(nèi)有 100 10=9 人， 其中男生 6 人，女生 3 人 則 X 的值可以為 0， 1， 2， 3. ， ， （ 9 分） 則 X 分布列如下： X 0 1 2 3 P （ 10 分） 所以 X 的期望 （ 12 分） 【點評】 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 19（ 12 分）（ 2017資陽模擬）如圖，在三棱柱 ，底面 面 正方形，且 平面 D 為線段 的一點 （ ） 若 平面 定 D 的位置，并說明理由； （ ） 在（ ）的條件下，求二面角 C 余弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ） D 為 中點，理由如下：連接 點 E，可知 中點，連接 用線面平行的性質(zhì)定理、三角形中平行線的性質(zhì)即可得出 （ ）不妨設(shè) ，分別取 中點 O， 接 知兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 O 用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得：平面 法向量 ，又平面 一個法向量 =（ 0， 0， 1），利用向量夾角公式即可得出 【解答】 解：（ ） D 為 中點，理由如下： 連接 點 E，可 知 E 為 中點，連接 因為 平面 平面 平面 E， 所以 故 D 為 中點（ 4 分） （ ）不妨設(shè) ，分別取 中點 O， 接 知兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 O 知 ， 則 ， ， 設(shè)面 法向量 m=（ x， y， z）， 由 得 令 x=1，得 一個法向量為 ， 又平面 一個法向量 n=（ 0， 0， 1）， 設(shè)二面角 C 平面角為 ， 則 即該二面 角的余弦值為 （ 12 分） 【點評】 本題考查了線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2017資陽模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，橢圓 ：的離心率為 ，直線 l： y=2 上的點和橢圓 上的點的距離的最小值為 1 （ ） 求橢圓 的方程； （ ） 已知橢圓 的上頂點為 A，點 B， C 是 上的不同于 A 的兩點，且點 B，C 關(guān)于原點對稱，直線 別交直線 l 于點 E， F記直線 斜率分別為 求證： k1定值； 求 面積的最小值 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由題知 b=1，由 ， b=1，聯(lián)立解出即可得出 （ ） 證法一：設(shè) B（ 0），則 ，因為點 B， C 關(guān)于原點對稱，則 C（ 利用斜率計算公式即可得出 證法二：直線 方程為 y=，與橢圓方程聯(lián)立可得坐標(biāo)，即可得出 直線 方程為 y=，直線 方程為 y=，不妨設(shè) 0，則 0 ，令 y=2 ，得 ，可得 面積 【解答】 解：（ ）由題知 b=1，由 ， 所以 ， 故橢圓的方程為 （ 3 分） （ ） 證法一：設(shè) B（ 0），則 ， 因為點 B， C 關(guān)于原點對稱，則 C（ 所以 （ 6 分） 證法二：直線 方程為 y=， 由 得 ， 解得 ，同理 ， 因為 B， O， C 三點共線，則由 ， 整理得（ k1+ 2） =0， 所以 （ 6 分） 直線 方程為 y=，直線 方程為 y=，不妨設(shè) 0，則 0， 令 y=2，得 ， 而 ， 所以， 面積 = = （ 8 分） 由 得 ， 則 S ，當(dāng)且僅當(dāng) 取得等號， 所以 面積的最小值為 （ 12 分） 【點評】 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、項斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題 21（ 12 分）（ 2017資陽模擬）已知函數(shù) f（ x） =x+1） +中 a R （ ） 當(dāng) a= 1 時，求證： f（ x） 0； （ ） 對任意 0 ， 存 在 x （ 1 ， + ），使成立，求 a 的取值范圍（其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)， e=） 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論即可； （ ）令 ， 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 ，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可 【解答】 解：（ ）證明：當(dāng) a= 1 時， f（ x） =x+1） x（ x 1）， 則 ，令 f（ x） =0，得 x=0 當(dāng) 1 x 0 時， f（ x） 0， f（ x）單調(diào)遞增； 當(dāng) x 0 時， f（ x） 0， f（ x）單調(diào)遞減 故當(dāng) x=0 時，函數(shù) f（ x）取得極大值，也為最大值， 所以 f（ x） f（ 0） =0， 所以， f（ x） 0，得證 （ ）不等式 ， 即為 而 = 令 故對任意 t e，存在 x （ 1， + ），使 恒成立， 所以 ， 設(shè) ，則 ， 設(shè) u（ t） =t 1 對于 t e 恒成立， 則 u（ t） =t 1 e， + ）上的增函數(shù)， 于是 u（ t） =t 1 u（ e） =e 2 0， 即 對于 t e 恒成立， 所以 為 e， + ）上的增函數(shù)， 所以 ； 設(shè) p（ x） = f（ x） a，即 p（ x） = x+1） a， 當(dāng) a 0 時， p（ x）為