七年級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（26）圖形面積的計(jì)算（含答案）

海倫，古希臘數(shù)學(xué)家、測(cè)量學(xué)家和工程師，在數(shù)學(xué)史上，他以出色解決幾何測(cè)量問題而聞名 他提出了不少計(jì)算圖形面積和體積的精確或近似公式，其中包括著名的已知三角形三邊，求三角形面積的“海倫公式” 26 圖形面積的計(jì)算 解讀課標(biāo) 面積是平面幾何中一個(gè)重要概念，計(jì)算圖形面積是平面幾何中最常見的基本問題之一，與面積相關(guān)的知識(shí)有： 1 常見圖形面積計(jì)算公式； 2 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 3 等高（或等底）兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底（或高）的比 面積的計(jì)算主要是求一些非常規(guī)圖形的面積 非常規(guī)圖形面積的計(jì)算往往可轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形面積的計(jì)算，在轉(zhuǎn)化的過程中常用到恰當(dāng)連線、圖形割補(bǔ)、等積變形、代數(shù)化等知識(shí)方法 熟悉以下基本圖形 問題解決 例 1 如圖，梯形 對(duì)角線分為 4 個(gè)小三角形， 和 的面積分別為 225，梯形的面積是 _ 2 隱含多對(duì)面積相等的三角形，要求梯形的面積需求出 的，過線段的比把三角形面積聯(lián)系起來 例 2 如圖，正方形 邊長(zhǎng)分別為 m 、 n ，那么 的面積的值（ ） A 只與 m 的大小有關(guān) B 只與 n 的大小有關(guān) C 與 m 、 n 的大小都有關(guān) D 與 m 、 n 的大小都無關(guān) 試一試 略 例 3 如圖， 三角形 的線段 交于點(diǎn) O ，已知 D ， 2E 設(shè)三角形 三角形 三角形 四邊形 面積分別為 1S 、 2S 、 3S 、 4S （ 1）求 13: （ 2）如果 2 2S ，求 4S 的值 試一試 恰當(dāng)連線（如連 ，把線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的三角形面積比 對(duì)于（ 2），設(shè) ，利用三角形面積之間的關(guān)系建立方程 例 4 如圖， 的面積為 1， D 、 E 為 三等分點(diǎn)， F 、 G 為 三等分點(diǎn) 1314 1）四邊形 面積； （ 2）四邊形 面積 試一試 （ 1）連 設(shè) ， ，可建立關(guān)于 x ， y 的方程組，解題的關(guān)鍵是把相關(guān)圖形的面積用 x ， y 的代數(shù)式表示，并利用等分點(diǎn)導(dǎo)出隱含圖形的面積；（ 2） 連 仿（ 1），先求出 面積，再得出 面積，進(jìn)而可求四邊形 面積 例 5 如圖，已知正方形 面積為 1， M 為 中點(diǎn) 求圖中陰影部分的面積 解法 1 如圖， 14 ， 為公共部分，所以 ，因?yàn)?與 高相等（以 A 為頂點(diǎn)作高）， 與 的高相等（以 C 為頂點(diǎn)作高）， 所以 A M G M C D M C M D ，即 141142M C G M C ， 解得 16， 11263S 陰 影 解法 2 如圖，連接 由正方形的對(duì)稱性得 ， 又 1122A M G A B G A G S ， 所以 2 2 1 1= 2 2 21 2 3 4 3A G D A M S 陰 影 解法 3 如圖，連接 設(shè) 于點(diǎn) O ， ， 因?yàn)?14A M D A O D A B C S ， 所以 G O D A O D A G D A M D A G D A M S S S S x 又 G O x ， S S x ， 因?yàn)?A O B A G M G O B B M S S ， 即 14 ，所以 112x 所以 123A G D M C G A M D A M S S S 陰 影 皮克公式 例 6 用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為 1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形 設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為 S ，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為 x A A 1） 上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，請(qǐng)寫出 S 與 x 之間的關(guān)系式 答： S _ 多邊形的序號(hào) 多邊形的面積 S 2 3 4 各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和 x 4 5 6 8 （ 2）請(qǐng)你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有 2 個(gè)格點(diǎn) 此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積 S 與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和 x 之間的關(guān)系式是： S _ （ 3）請(qǐng)你繼續(xù)探索， 當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有 n 個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想 S 與 x 有怎樣的關(guān)系？ 試一試 本例是按多邊形內(nèi)部的點(diǎn)來分情況探究的 對(duì)于（ 3），可以研究當(dāng)多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為 3 、 4 、5 等的情況，從特殊到一般作出猜想 數(shù)學(xué)沖浪 知識(shí)技能廣場(chǎng) 1 如圖，一個(gè)大正方形被 2 條線段分割成 2 個(gè)小正方形和 2 個(gè)長(zhǎng)方形，如果 21 75 ， 22 15 ，那么大正方形的面積 S _ 2 2 圖中最大正方形的邊長(zhǎng)是 10那么，陰影部分的總面積是 _ 2 3 如圖，將邊長(zhǎng)為 4等邊 沿邊 右平移 2 ， 于點(diǎn) G ，則: 邊 形 _ 4 把三張大小相同的正方形卡片 A ， B ， C 疊放在一個(gè)底面為 正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分 用陰影表示 若按圖擺放時(shí)，陰影部分的面積為 1S ；若按圖 擺放時(shí)，陰影部分的面積為 2S ，則 1S _ 2S （填“ ”、“ ”或“ ”） 35 如圖，在直角扇形 ，分別以 直徑作半圓，兩條半圓弧相交于點(diǎn) D ，整個(gè)圖形被分成 1S 、 2S 、 3S 、 4S 四部分，則 2S 與 4S 的大小關(guān)系是（ ） A 24 B 24 C 24 D 無法確定的 6 已知在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為 1的正方形， A 、 B 兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示，點(diǎn) C 也在小方格的頂點(diǎn)上，且以 A 、 B 、 C 為頂點(diǎn)的三角形的面積為 1個(gè)平方單位，則點(diǎn) C 的個(gè)數(shù)為（ ） A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 5 個(gè) D 6 個(gè) 7 如圖，在長(zhǎng)方形 ， 11 223A E B G B F A D A B ， E 、 H 、 G 在同一條直線上，則陰影部分的面積等于（ ） A 8 B 12 C 16 D 20 8 如圖，凸四邊形 ，對(duì)角線 交于 O 點(diǎn)，若三角形 面積是 2 ，三角形 ，三角形 面積是 4 ，則四邊形 面積是（ ） A 16 B 15 C 14 D 13 9 如圖，正方形 正方形 位置如圖所示，點(diǎn) G 在線段 ，已知正方形 ，求 的面積 10 如圖， 的邊 30， 25，點(diǎn) D 、 F 在 ，點(diǎn) E 、 G 在 ，: : : : 1 : 2 : 3 : 4 : 5A D E D E F E F G F G C G B S S S ，求 長(zhǎng) 2D 維方法天地 11 如圖，若長(zhǎng)方形 面積分別為 7 、 4 、 6 ，則陰影部分的面積是 _ 12 如圖，三角形 面積為 1， : 2 :1C ， E 是 中點(diǎn)， 交于點(diǎn) P ，那么四邊形 面積為 _ 13 如圖，長(zhǎng)方形 ， 60， 45， Q 為 中點(diǎn)，在 取一點(diǎn) P ，使 面積等于 2900則 _ 14 如圖，若 P 為平行四邊形 的一點(diǎn)，且 5 ， 2 ，則 _ 15 如圖， 平行四邊形， E 在 ， F 在 ， 1214B C E C D F A B C S 平 行 四 邊 形 ，則 _ 16 如圖，大圓中有 4 個(gè)面積相等的小圓， 已知小圓半徑為 5大圓半徑等于小圓直徑，則空白部分的面積是 _ 2 取 3 ） D D 7 如圖，三角形 面積為 1， E 是 中點(diǎn)， O 是 中點(diǎn)，連接 延長(zhǎng)交 D ，連接 延長(zhǎng)交 F 求四邊形 面積 18 如圖， 中， 12D C E A F E C F A ，求 積的 面 積的值 應(yīng)用探究樂園 19 在如圖至圖中， 的面積為 a 探索 （ 1）如圖，延長(zhǎng) 的邊 點(diǎn) D ，使 C ，連接 若 的面積為 1S ，則 1S_（用含 a 的代數(shù)式表示）； （ 2） 如圖 ，延長(zhǎng) 的邊 點(diǎn) D ，延長(zhǎng) 點(diǎn) E ，使 C ， A ，連接 若 面積為 2S ，則 2S _（用含 a 的代數(shù)式表示），并寫出理由； （ 3） 在圖的基礎(chǔ)上延長(zhǎng) 點(diǎn) F ，使 B ，連接 得到 （如圖） 若陰影部分的面積為 3S ，則 3S _（用含 a 的代數(shù)式表示） 發(fā)現(xiàn) 像上面那樣，將 各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到 （如圖），此時(shí)，我們稱向外擴(kuò)展了一 次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的 的面積是原來 面積的 _倍 應(yīng)用 10m 的 空地上栽種了某種花卉 今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把 向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由 擴(kuò)展成 ，第二次 由 擴(kuò)展成 （如圖） 求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少 2m ？ 20 如圖，紅黃綠三塊一樣大的正方形紙片放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間互相重疊 已知露在外面的部分中，紅色的面積是 20 ，黃色的面積是 14，綠色的面積是 10，求正方形盒子的面積 紅 綠黃26 圖形面積的計(jì)算 問題解決 例 1 144 23 5 c D B O ， A O D D O O B O O S ，得 24 9 c 例 2 B 連 E ， 212A G E G C n 例 3 （ 1） 23， 212，得 13: 1: 2 （ 2）由 2 2S ，得 1 1S ， 3 2S ，連接 設(shè) ，則 1A O D A O x ， 因 2 故 1 2 2 ， 解得 3x ， 14x ，所以 4 3 4 7S 例 4 （ 1）133133 ， ，得 16，即 16四 邊 形 （ 2）連 設(shè) ， ， 則 2 ， 2 ， 則1332233 ，解得121421 ， 故 1 1 1 53 2 1 6 4 2B E C B N G N P E C S S 四 邊 形 四 邊 形 例 6 （ 1） 12（ 2） 1 12；（ 3） 1 12S x n 數(shù)學(xué)沖浪 1 108 2 25 3 2:1 邊 形 4 5 B 6 D 7 B 8 B 9 16D E K 正 方 形 10 設(shè) x ，則 2 x ， 3 x ， 由 : 1 2 3 : 4 3 : 2A F G F G ，得 2 x ， 3 2 2 5AC x x ，故 5x ，即 5， 同理 G ， 2G ， 20， 10 11 連 12 73013 40 設(shè) x ，則 6 0 c x ，由 1 4 5 1 1 4 56 0 4 5 6 0 4 5 6 0 9 0 02 2 2 2 2x x ，得 40x 14 3 設(shè) ， ，則 1252B H C B H C A B C DS n m S S 平 行 四 邊 形 15 74連 則 1B C ， 12， 4平 行 四 邊 形 ， 2B ， E 為 點(diǎn)， 4D ，34D ， 3344A E F A D ， 1 3 741 2 4 4C E F C D F A E F B C C S S S 平 行 四 邊 形 16 150 如圖，因?yàn)?1與 2 、 3 與 4 、 5 與 6 、 7 與 8 、 9 與 10、 11與 12部分的面積相等，所以空白部分的面積為半個(gè)大圓的面積，即 20 . 5 1 0 5 0 150 （平方厘米） 17 16設(shè) ， ，則 14A O E C O E A O B C O S S ， 14 ， 34 ， 14 由 A O F A C F B C F S ，得 134414x，即 22131 6 4x x x ，解得 112x 同理有 14， 34， 14，由 B O D D A C D D S ，得 112y 故 1 1 11 2 1 2 6B D O FS x y 四 邊 形 18 17連 設(shè) ， ， ， 則1332233x y Sx y S ，解得121421 ，同理可得 121E A H F B S ，又 13A D C B E S ，得1 2 53 2 1 2 1G C E H H A F S S 四 邊 形 四 邊 形， 這樣 2 1 0 1 13 2 1 2 1 7 S ，即 17 19 探索：（ 1） a ； （ 2） 2a ；理由：連接 C ， A ， D A C D A E A B S a ， 2 2；