微積分的發(fā)展史論文-論文.doc

微積分的發(fā)展史論文-論文微積分的發(fā)展史論文摘要：本篇論文主要介紹微積分的發(fā)展史，主要是萌芽創(chuàng)建及微積分學的一些基本概念。關(guān)鍵字：微積分 萌芽 牛頓 流數(shù)術(shù) 萊布尼茨 建立一、引言：微積分是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎(chǔ)學科。微積分學在科學、經(jīng)濟學和工程學領(lǐng)域被廣泛的應用，來解決那些僅依靠代數(shù)學不能有效解決的問題。微積分學在代數(shù)學、三角學和解析幾何學的基礎(chǔ)上建立起來，并包括微分學、積分學兩大分支。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學的開端。二、主要內(nèi)容：一）微積分學的萌芽微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。古希臘時期就有求特殊圖形面積的研究；用的是窮盡的方法。阿基米德（archimedes）用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。1、中國古代對微積分的貢獻微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。 南宋大數(shù)學家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”?增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀40年代 乘開方法、“正負開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學、計算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院螅斯扇∈恐圃斐闪藢W術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。之前，公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。2、世界近代微積分的醞釀到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。以下介紹笛卡爾和費馬的兩種不同思想方法。 （1）笛卡兒求切線的“圓法”。 法國數(shù)學家笛卡兒用代數(shù)方法（即圓法）求出了曲線在其上某一點處的切線方程。 笛卡兒求曲線y=f（x）過點p（x，f（x）的切線斜率的“圓法”是：（如圖）過c點（曲線在點p處的法線與x軸的交點）作半徑為r=cp的圓c： 。因cp是曲線y=f（x）在p點的法線，則p應是曲線與圓c的“重交點”。若 是多項式函數(shù)，有重交點就相當于方程 有重根x=e，從而 ，比較系數(shù)得v與e的關(guān)系，代入e=x，便得過p點的切線斜率 。 以 為例。點 。設(shè) ，經(jīng)特定系數(shù)法得知： 。 故切線斜率 。笛卡爾的代數(shù)方法正是后來求切線方法的雛形，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分道路的。（2）費馬求極值的代數(shù)方法。1300微積分的發(fā)展史論文法國數(shù)學家費馬求函數(shù)y=f（x）在點a處極值（如果存在的話）的代數(shù)方法是：用a+e代替a，并使f（a+e）與f（a）“逼近”，即f（a+e）f（a）。消去公共項后，用e除兩邊，再令e消失，即 ，由此方程求出的a就是f（x）的極值點。以 為例， ，。-1是f（x）的極值點。費馬的方法幾乎相當于后來微分學中的方法，只是以符號e代替了增量x?？梢哉f費馬已經(jīng)走到了微積分的邊緣了，再往前邁一步，微積分的發(fā)明人也許要改弦易轍了。17世紀上半葉一系列前驅(qū)性工作沿不同方向朝著微積分的大門踏近，但它們還不足以標示微積分作為一門獨立科學的誕生，這是因為它們在方法上還缺乏一般性。微分與積分的基本問題，在當時被看作不同的類型來處理。雖然也有人注意到了某些聯(lián)系，但并沒有人能將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出。因此，站在更高的高度將以往個別的貢獻和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論，成為17世紀中葉數(shù)學家們面臨的艱巨任務。二）微積分的建立在創(chuàng)建微積分的過程中究竟還有多少事情要做呢1)需要以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系,創(chuàng)立一套一般的符號體系,建立計算的正確程序或算法.2)為這門學科重建邏輯上的一致的,嚴格的基礎(chǔ).第1)項由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成.第2)項由法國偉大的分析學家a.l柯西(cauchy,1789_1857)及其他19世紀數(shù)學家完成。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。1、牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他正在劍橋大學學習。他因?qū)Φ芽枅A法發(fā)生興趣而開始尋找更好的切線求法。1665年11月，牛頓發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法），次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以流數(shù)簡論著稱，它是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。流數(shù)簡論反映了牛頓微積分的運動學背景。該文事實上以速度形式引進了“流數(shù)”（即微商）概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語。牛頓在簡論中提出微積分的基本問題如下：（a）設(shè)有兩個或更多個物體a，b，c，在同一時刻內(nèi)描畫線段 。已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度 的關(guān)系。（b）已知表示線段 和運動速度 、 之比 的關(guān)系方程式，求另一線段 。牛頓對多項式情形給出（a）的解法。以下舉例說明牛頓的解法。已知方程 ，牛頓分別以 和 代換方程中的 和 ，然后利用二項式定理，展開得，消去和為零的項，得 ，以 除之，得，這時牛頓指出“其中含 的那些項為無限小”，略去這些無限小，得 ，即所求的速度 與 的關(guān)系。牛頓對所有的多項式給出了標準的算法，即對多項式 ，問題（a）的解為 。對于問題（b），牛頓的解法實際上是問題（a）的解的逆運算，并且也是逐步列出了標準算法。特別重要的是，簡論中討論了如何借助于這種逆運算來求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”。牛頓在簡論中是這樣推導微積分基本定理的：設(shè) 為已知曲線 下的面積，作 。當垂線 以單位速度向右移動時， 掃出面積矩形 ，變化率 ； 掃出面積 ，變化率 。由此得 這就是說，面積 在點 處的變化率是曲線在該處的 值。這就是微積分基本定理。在牛頓以前，面積總被看成是無限小不可分量之和，而牛頓則從確定面積的變化率入手，通過反微分計算面積。面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系，在牛頓這里被明確地作為一般規(guī)律揭示出來，并成了建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓的正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，通過揭示它們互逆關(guān)系的所謂“微積分基本定理”統(tǒng)一為一個整體。正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。在流數(shù)簡論中，牛頓還將他建立的統(tǒng)一算法應用于求曲線的切線、曲率、拐點、曲線求長、求積、求引力與引力中心等問題中，展示了其算法極大的普遍性與系統(tǒng)性。流數(shù)簡論標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。所以，牛頓對于自己的發(fā)現(xiàn)并未作太多宣揚。他在這一年10月當選為劍橋大學三一學院成員，次年又獲碩士學位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的貢獻。但從那時起直到1693大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學說，先后寫成了三篇微積分論文：分析學（1669）、流數(shù)法（1671）、求積術(shù)（1691）。它們真實再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學說的思想歷程。分析學借用無窮級數(shù)來計算流數(shù)、積分以及解方程，它體現(xiàn)了牛頓微積分與無窮級數(shù)緊密結(jié)合的特點。該文以無限小增量“瞬”為基本概念，盡管回避了流數(shù)簡論中的運動學背景，但卻將瞬看成是靜止的無限小量，有時直截了當令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩。在流數(shù)法中，牛頓又恢復了其運動學觀點，但對以物體速度為原型的流數(shù)概微積分的發(fā)展史論文念作了進一步提煉。該文以清楚明白的流數(shù)語言，表述了微積分的基本問題。求積術(shù)是牛頓最成熟的微積分著述。牛頓在其中檢討了自己以往隨意忽略無限小瞬的做法，一改對無限小量的依賴，提出了“首末比方法”，他舉例說明自己的新方法如下：為了求 的流數(shù)，設(shè) 變?yōu)?， 則變?yōu)?，構(gòu)成兩變化的“最初比”： ，然后“設(shè)增量 消逝，它們的最終比就是 ”，這也是 的流數(shù)與 的流數(shù)之比。這就是“首末比方法”，它相當于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導。牛頓對于發(fā)表自己的科學著作態(tài)度謹慎。上述三篇論文的發(fā)表都很晚，流數(shù)法甚至在他去世后才正式發(fā)表。牛頓微積分學說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學名著自然哲學的數(shù)學原理之中。因此該書也成為數(shù)學史上的劃時代著作。自然哲學的數(shù)學原理被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應用于流體運動，聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一全新數(shù)學工具的威力。盡管牛頓發(fā)明微積分主要是依靠了高度歸納算法的能力，即“新分析法”，但自然哲學的數(shù)學原理中并沒有明顯的分析形式的微積分。相反，整部著作卻以綜合幾何語言寫成。就數(shù)學而言，這種披在微積分上的幾何外衣，使牛頓的流數(shù)術(shù)顯得僵硬呆板。18世紀的英國數(shù)學，正是由于固守牛頓的幾何形式而未能得到應有的發(fā)展。2、萊布尼茲的微積分與牛頓流數(shù)論的運動學背景不同，萊布尼茲創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考。1673年，他因在帕斯卡的有關(guān)論文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理論。借助于這種無限小三角形，他迅速地、毫無困難地了建立大量定理，其中包括后來“在巴羅和格里高利的著作中見到的幾乎所有定理”。在對微分特征三角形的研究中，萊布尼茲逐漸認識到了什么是求曲線切線和求曲線下面積的實質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)了這兩類問題的互逆關(guān)系。他的目標，是要比巴羅等人更上一層樓，建立起一種更一般的算法，將以往解決這兩類問題的各 布尼茲便在序列的求和運算與求差運算間發(fā)現(xiàn)了它們的互逆關(guān)系。從1672年開始，萊布尼茲將他對數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運算聯(lián)系起來。他通過把曲線的縱坐標想象成一組無窮序列，得出了“求切線不過是求差，求積不過是求和”的結(jié)論。萊布尼茲首先著眼于求和，從最簡單的直線函數(shù)開始，并逐漸從一串離散值增量過渡到任意函數(shù)的增量。在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了我們現(xiàn)在熟知的積分符號“ ”，這顯然是求和一詞sum首字母的拉長。稍后，在11月11日的手稿中，他又引進了微分記號dx來表示兩相鄰x的值的差，并開始探索 運算與d運算的關(guān)系。一年之后，萊布尼茲已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的微分與積分公式。不久，他又給出了計算復合函數(shù)微分的鏈式法則。1677年，萊布尼茲在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理。給定一條曲線，其縱坐標為 ，求該曲線下的面積。萊布尼茲假設(shè)可以求出一條曲線（他稱之為“割圓曲線”），其縱坐標為 ，使得： ，即 。于是原來曲線下的面積是： ，萊布尼茲通常假設(shè)曲線 通過原點。這就將求積問題化成了反切線問題，即：為了求出在縱坐標 的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標為 的曲線，使其切線的斜率為 。如果是在區(qū)間a,b上，由0，b上的面積減去0，a上的面積，便得到： 。1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微分學論文新方法，這也是數(shù)學史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻。該文是萊布尼茲對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號，并明確陳述了函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式：我們知道，萊布尼茲還得出了復合函數(shù)的鏈式微分法則，以及后來又將乘積微分的“萊布尼茲法則”推廣到了高階情形： 。這些表明萊布尼茲非常重視微積分的形式運算法則和公式系統(tǒng)。新方法還包含了微分法在求極值、拐點以及光學等方面的廣泛應用。（萊布尼茲手稿） 1686年，萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學論文深奧的幾何與不可分量及無限的分析。這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。在這篇積分學論文中，萊布尼茲給出了擺線方程為：，目的是要說明他的方法和符號，可以將一些被其他方法排斥的超越曲線表為方程。而正是在這篇論文中，積分號 第一次出現(xiàn)于印刷出版物上。對符號的精心選擇，是萊布尼茲微積分的一大特點。他引進的符號體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實質(zhì)，后來獲得普遍接受并沿用至今。三）微積分的完善前面已經(jīng)提到，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。 不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前。 其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。微積分的發(fā)展史論文比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。直到世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布貝努利和他的兄弟約翰貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。四）微積分的創(chuàng)建意義微積分的誕生是繼euclid幾何建立之后，數(shù)學發(fā)展的又一個里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時期。解析幾何的誕生是新時代到來的序曲，但還不是新時代的開端。它對舊數(shù)學作了總結(jié)，使代數(shù)與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個全新的概念，它為研究運動提供了基礎(chǔ)推導出大量的宇宙定律必須等待這樣的時代的到來，準備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學活動提供方法，指出方向的領(lǐng)袖，但也必須等待創(chuàng)立一個必不可少的工具微積分，沒有微積分，推導宇宙定律是不可能的。在17世紀的天才們開發(fā)的所有知識寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學方法，開創(chuàng)了科學的新紀元，并因此加強與加深了數(shù)學的作用。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里。”有了微積分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學設(shè)計，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學。一場空前巨大的、席卷近代世界的科學運動開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學的開端。五）微積分的現(xiàn)代發(fā)展人類對自然的認識永遠不會止步，微積分這門學科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。以下列舉了幾個例子，足以說明人類認識微積分的水平在不斷深化。在riemann將cauchy的積分含義擴展之后，lebesgue又引進了測度的概念，進一步將riemann積分的含義擴展。例如著名的dirichilet函數(shù)在riemann積分下不可積，而在lebesgu