學科教育論文-數學語言及其教學研究.doc

學科教育論文-數學語言及其教學研究摘要：數學語言是表達數學思想的專門語言，具有抽象性、準確性、簡約性和形式化等特點。加強數學語言教學對提高數學閱讀能力、數學表達及交流能力具有重要作用。數學語言分為符號語言、文字語言和圖表語言，三類語言之間的相互轉換在數學語言學習中占有重要地位。在應用和理解方面，數學語言有其自身特點，深層結構常重于表面內容，句法分析常先于語義理解。在數學教學方面，要加強數學語言的意義理解和表達，注意數學語言的語義轉換、數學語言符號引入的自然性，以及數學語言句法特點分析等。關鍵詞：數學語言；數學交流；語義轉換；教學策略一、加強數學語言學習的重要性誠如斯托利亞爾所說：“數學教學也就是數學語言的教學”，1(224)學習數學在一定程度上可以說就是學習數學語言，學習數學的過程也就是數學語言不斷內化、不斷形成、不斷運用的過程。學生準確靈活地掌握了數學語言，就等于掌握了進行數學思維、數學表達和交流的工具。數學作為一種語言，已經不只是描述自然科學的語言工具，也成為描述社會科學、管理科學等門類的語言工具。掌握好數學語言，就等于掌握了描述科學和生產實踐活動中的實際問題的工具，即數學化的手段。中學許多課程中都使用了數學語言（如向量、統計表、統計圖、幾何圖形等），數學語言的掌握直接關系到這些學科的學習。如果數學語言不過關，將難以閱讀和交流，難以準確表達自己的思想，難以聽懂、看懂別人用數學語言表達的觀點，如可能不知“翻一番”“增長一倍”“降水概率為0.6”“同比增長10%”等所云。如果在數學語言表達（即數學化）方面能力缺乏，學生可能就只會死記硬背文字表達的概念定義、定理、法則，而不能將其符號化、形式化，不能把自然語言形式轉化為符號語言或數學表示形式，將概念法則與公式溝通。如有的學生盡管知道并能夠敘述物理學中的加速度的概念“是表示速度變化快慢的物理量，具體說，是單位時間內速度的變化量”，但卻不能寫出公式，甚至還錯誤地認為。學生智力發(fā)展的診斷研究也表明，學生的“數學語言”的特點及掌握數學術語的水平，是衡量其智力發(fā)展和接受能力的重要指標。2學生能否準確、迅速地理解課堂上教師用數學語言所闡述的數學內容、思想、方法，是衡量學生數學課堂學習效率高低的重要標準。數學語言發(fā)展水平低的學生，課堂上對數學語言信息的敏感度差，語言之間的轉換不流暢，思維顯得緩慢，從而造成數學知識接受、處理困難。教學實踐也表明，數學語言發(fā)展水平低的學生的數學理解力也差，理解問題時常發(fā)生困難和錯誤。所以，數學思維的發(fā)展是離不開數學語言的同步發(fā)展的，豐富數學語言系統，提高數學語言水平，對發(fā)展數學思維、培養(yǎng)數學能力和素質有著重要的現實意義。事實上，關于數學語言學習目標，現行數學課程大綱中已有明確要求。2000年頒布的全日制普通高級中學數學教學大綱（試驗修訂版）中將“會使用數學語言表達問題、進行交流，形成用數學的意識”作為“解決實際問題能力”內涵的一部分，3(2)并把發(fā)展“用數學語言進行交流的能力”作為改進教學方法的一個目標。3(24)2001年頒布的全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）要求“在與他人交流的過程中，能運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑”。42003年頒布的普通高中數學課程標準（實驗）也指出：“數學語言具有精確、簡約、形式化等特點，能否恰當地運用數學語言及自然語言進行表達與交流也是評價的重要內容”；5(114)要注意“提高數學表達和交流的能力”。5(11)所以，數學教學必須加強數學語言的教學。二、數學語言及其分類為有效地加強數學語言的教學，加深對數學語言的理解和認識是必要的。數學語言是伴隨著數學自身的發(fā)生和發(fā)展而逐漸成長起來的，是儲存、傳承和加工數學思想信息的工具。數學語言與日常語言不同，“日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，而數學語言則是慎重的、有意的而且經常是精心設計的”，是一種高度抽象的專業(yè)語言，是一種以符號表達為主的特殊語言。具體可分為符號語言、文字語言和圖表語言三類。符號語言是數學中通用的、特有的簡練語言，是在人類數學思維長期發(fā)展過程中形成的一種語言表達形式?！皵祵W的效能來自數學符號。”6按感知規(guī)律，數學符號分為三種：象形符號、縮寫符號、約定符號。象形符號是由數學對象的空間位置結構或數量關系經抽象概括得到的各種數學圖形或圖式，再經縮小或改造而形成的一類數學符號。如幾何學中的符號、等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號?？s寫符號是由數學概念的西文詞匯縮寫或加以改造而成的符號，比如函數f（function）,極限lim（limit）、正弦sin（sine）、最大max（maximal）、最小min（minimalexistany）等符號均為此類。約定符號是數學共同體約定的，具有數學思維合理性、流暢性的數學符號，如運算符號+、，全等，相似，大于，小于，等均屬此類。由各種符號按照數學的邏輯意義和規(guī)則而組合建立起來的各種符號串或式子則構成數學式語言或數學句子，這里的邏輯意義和規(guī)則是指數學中的一些規(guī)定或原理法則，如a+bc遵循的是運算次序、略寫法則等。數學中的文字語言是數學化了的自然語言，或者稱為自然語言中的數學語言。自然語言常具有模糊性，而數學是嚴謹的，容不得含糊。所以，數學中的文字語言不是自然語言文字的簡單移植或組合，而是經過一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且，這些語言具有數學學科特指的確定的語義，常以數學概念、術語的形式出現。如數學中的“直線”“全等”“連續(xù)”“區(qū)間”“組合”“相似”“極限”“軌跡”等都是自然語言的精確化；“絕對值”“正值”“中線”“中位線”“有理”“無理”等都是對自然語言中的文字進行限定的結果；“增加幾倍”“擴大幾倍”“概率”“正弦”“可微”“可積”等都是具有特定含義的數學文字語言。有些數學語言本身還具有比喻或象形意義，如扇形、補角、射影、倒數、銳角、鈍角、參數、行列式等數學詞語，似乎能給人一種語言直觀，使人較為自然、容易地領會和理解。自然語言是數學文字語言形成與發(fā)展的基礎，數學文字語言不僅借用了自然語言中的文字，沿用了自然語言中的語法規(guī)則，而且在大多數情況下兩種語言的語義也是一致的。圖表語言是指包含一定數學信息的各種圖或表，可細分為圖形語言（幾何圖形、統計分析圖、集合維恩圖等）、圖象語言（函數圖象或統計線圖等）和格表語言（統計數據表、分析表、框圖等），它們是數學形象思維的載體和中介，也是數學思維的重要材料和結果，而且還是進行抽象思維的一個重要工具。我們必須確認，圖表也是一種數學語言，是數學的一種直觀性語言，是對其他兩種語言的補充，它與數學概念、術語、符號與式子等一起構成數學語言系統。尤其在當今信息化社會，人們會經常地在各種媒體上看到或閱讀到某種載有一定數學意義的圖形、圖象或格表，這些圖形、圖象或格表作為信息傳遞的一種形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直觀。所以，掌握圖表語言是現代社會的要求，學生必須學會讀圖，掌握圖表語言，要能夠從圖形、圖象和格表中讀出蘊涵的信息來。三種數學語言各有優(yōu)勢與不足：文字語言通俗、易懂，但描述起來是線性的，不易表露知識的內在結構；數學符號雖然抽象，但十分簡潔，描述起來給人以結構感；圖表語言比文字語言和一般符號語言更具直觀性，容易形成表象。為了使數學內容不那么難懂，能夠借助母語理解，在實際表述數學思想內容的時候，常結合自然語言的表述，所以，一種數學思想內容的表達常是數學符號語言、文字語言、圖表語言和自然語言的優(yōu)勢互補和有機融合。三、數學語言的特點由前文可以看出，數學語言是一種非日常和非自然語言，其中一部分是被規(guī)定或定義的，用來表示理想化的數學對象，正如美國數學家萊克斯（A.Lax）和格羅特（G.Groat）說的那樣：“它（數學）所用的是一些特殊的非口語的語言：一些新的符號被定義，一些老的字符被重新定義而限制或改變其意義。這種精細的、外延的語言很少聯系到課堂外的生活?！?另一部分是自然語言按照下面三個方向被改進的結果：（1）按簡化自然語言的方向；（2）按克服自然語言中含糊不清的毛病的方向；（3）按擴大它表達范圍的方向。1(221)事實上，數學中每個詞語（概念、符號、術語等）都有其精確的含義，沒有外延模糊或內涵不清的概念詞語，不允許有似是而非、模棱兩可的斷言。數學語言的表達形式與它的含義之間都有著確定的關系（盡管有時不是一一對應的），詞序不同或一字之差就可能導致意義截然不同，如“軸對稱”與“對稱軸”，與，意義都是完全不同的。所以，數學語言既具有抽象性、簡約性，又具有精確性等特點。數學語言的精確性還表現在自身不存在歧義。所謂歧義現象，就是一個句子可以作兩種或兩種以上不同意義的理解，或者可以作兩種或兩種以上的結構分析。盡管數學中的句子有時可以作兩種或兩種以上的意義理解，不過這些理解在一定意義上都是等價的（故不稱為歧義），可以看做等價轉換或同義轉換，而這還是數學解題的一種重要策略。8(45-47)從這個意義上講，我們希望學生能夠靈活作出語義轉換。如“”的基本語義為、滿足的一個等式，但它又可轉義為“是方程的一個根”，還可轉義為“是方程的一個根”，這些意義在解題中沒有任何沖突或矛盾。只是應注意，在語言轉換方面，不能以偏概全，如“不大于”不能轉換為“小于”。數學語言的另一個突出特點是它的符號化、形式化特點。形式化的一個主要表現是“變元的使用”，由于使用了各種變元，數學語言能夠很好地表達一般規(guī)律。用數學語言表示形式，在這個形式中可以填進各種內容。當然這些形式并不是沒有任何內容的，它是從個別的、具體的內容中抽象出來的，保留了它們的共同的東西。數學語言的這種形式化特點，常常造成在數學語義理解不透徹的情況下數學語言的形式與內容脫節(jié)，造成學習上的形式主義。數學語言與一般語言相比，第三個特點是：在應用上有不同。如公式語言的應用與一般詞語應用的形式是不同的，像“豐富多彩”這個詞，一個學生會根據情境造“昨天的電視節(jié)目豐富多彩”“學校學生生活變得豐富多彩了”這樣的句子，基本表明他掌握了這個詞語的用法。一個優(yōu)美的句子可以不加變化地嵌套在一段描寫中，使用起來是一種鑲嵌式的；數學語言的應用不完全是鑲嵌式的，像三角函數誘導公式語言sin（180+）=-sin是不能鑲嵌在一個語句中的，是變形或代入式的，只有能夠計算諸如sin210=sin（180+30）=-sin30=-等，才表明一個學生基本會應用這個公式了（才可以說掌握住了這個“公式語言”的用法）。又如對余弦定理，只有根據三角形具體情況如b=8,c=3,A=60，能具體寫出2=82+32-283cos60來才能說一個學生基本會應用余弦定理了?！柏S富多彩”是一個形容詞，要想認識它，通過定義不太容易，須讓學生感受；而數學中的概念是定義式的，公式是推理式的，直觀感受只是輔助，應從理論上把握。數學語言與一般語言相比的第四個特點表現在理解要求層次不同。比如，作為語言學中的三角形概念，只知道它的形狀就可以了，而不必知道它的更深層次的性質；而數學中學習它，就不僅要從直觀層面上清楚它的形狀，而且重點要從抽象層面上知道它的內涵和性質特征，語句中一出現“三角形ABC”或“ABC”就會聯想到內角和、邊角關系等。可以說，數學語言的學習面臨的是語言發(fā)展和思維發(fā)展的雙重任務。數學語言的理解常需要更多的判斷、推理，語言中蘊涵的推理、判斷的理由、依據須清楚明白；否則，即便語言中的概念清楚，意義明白，也不能達到數學上的理解。如“已知函數f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值，求f（x）的最小值”，從字面意義上學生都能夠理解其意義，知道說的是什么意思；但是，對整個問題卻不知怎樣下手解決，原因是不能理解“f（x）是0，5x,2x-4,2-x中的最大值”的深層意義，不能對其進行進一步的語義轉換和重新表達。這表明，數學語言僅靠字面含義理解是不夠的。第五個特點：數學語言的理解常是句法分析先于語義理解。根據心理學的研究，“學會了語言和閱讀的人，都具有一個心理詞典?！彼^心理詞典就是詞的意義在人的心理上的表征，通常我們說認知一個詞，就是在心理詞典中找出與這個詞相對應的詞條。在每個詞條中都包括了與這個詞條相對應的詞的語音與寫法方面的表征以及詞的意義的表征。數學學習的結果是在學習者內部形成一個數學心理詞典，利用這個詞典可以解釋外部輸入的數學信息。一個詞的特征在心理詞典中被呈現的形式常常被設想為一種網絡結構，通過這個語義網絡結構，可以找到一個詞的特征集合，即詞義。9按照語義學理論，句子是表達完整思想的具有一定語法特征的、最基本的言語單位。語言學習的中心應該是學習句子，先理解句子，再造出句子?！熬渥拥睦斫饩褪菑臅嫖淖种衼斫嬕饬x。”所謂建構意義，就是從書面詞的序列中建造起具有層次安排的命題。建構意義通?？梢圆捎脙煞N策略：語義策略和句法策略。語義策略是指在閱讀一個句子的時候，通過識別句中詞的意義和對句中的詞進行意義搭配來確定這句話的含義的策略。如在一個句子中看到了“紅、小孩、蘋果、吃”這幾個詞，即便沒有任何其他的句法信息，讀者也能建立起下面兩個命題（意義）：小孩吃蘋果，蘋果是紅的。這里，讀者使用了語義策略。句法策略是指把句子切分為構成成分進行分析，考察這個語言的內部構造，弄清這些構成成分是怎樣相互聯系起來的，從而建立起句子的底層結構意義。句法就是指對句子中的構成成分的“系統安排”，它為人們提供了一種編碼，使人們能夠利用詞的序列去傳遞思想。而句法結構使同樣的一個詞在不同的句子中起著不同的句法作用，從而使句子具有不同的意義。如“與的平方和”“與和的平方”，兩個句子都由同樣的詞組成，差異在詞的序列不同，正是這種詞序的不同，才使它們具有完全不同的意義。在自然語言句子的加工中，語義的聯系常常統治著理解，而句法的分析則是在必需的時候才起到證實和去歧義的作用。所以，讀者首先是按照句子的意義來進行加工，其次才是按照它的句法來進行整理。然而，根據數學語言表達的特點，學生對數學語言的理解更多的是句法結構理解，直接深入到語言材料內部，尋找關系，探明結構，根據