2018版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理二學(xué)案新人教B版.doc

1.1.1正弦定理(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題.2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個數(shù).3.能利用正弦定理、三角變換解決較為復(fù)雜的三角形問題知識點一正弦定理的常見變形1sin Asin Bsin C_；2._；3a_，b_，c_；4sin A_，sin B_，sin C_.知識點二判斷三角形解的個數(shù)思考1在ABC中，a9，b10，A60，判斷三角形解的個數(shù)梳理已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，三角形解的個數(shù)并不一定唯一例如在ABC中，已知a，b及A的值由正弦定理，可求得sin B.在由sin B求B時，如果ab，則有AB，所以B為銳角，此時B的值唯一；如果ab，則有AB，所以B為銳角或鈍角，此時B的值有兩個思考2已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個數(shù)？梳理解三角形4個基本類型：(1)已知三邊；(2)已知兩邊及其夾角；(3)已知兩邊及其一邊對角；(4)已知一邊兩角其中只有類型(3)解的個數(shù)不確定知識點三正弦定理在解決較為復(fù)雜的三角形問題中的作用思考1在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(打算怎么用上述條件)?梳理一個公式就是一座橋梁，可以連接等號兩端正弦定理的本質(zhì)就是給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)系所以正弦定理的主要功能就是把邊化為對角的正弦或者反過來簡稱邊角互化思考2什么時候適合用正弦定理進行邊角互化？類型一判斷三角形解的個數(shù)例1在ABC中，已知a1，b，A30，解三角形引申探究若a，b1，B120，解三角形反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值或者根據(jù)該正弦值(不等于1時)在0180范圍內(nèi)求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求跟蹤訓(xùn)練1已知一三角形中a2，b6，A30，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形類型二利用正弦定理求最值或取值范圍例2在銳角ABC中，角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c，a2bsin A，求cos Asin C的取值范圍反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，若C2B，求的取值范圍類型三正弦定理與三角變換的綜合例3已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判斷ABC的形狀反思與感悟借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進行變形、化簡，確定角的大小或關(guān)系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式跟蹤訓(xùn)練3已知方程x2(bcos A)xacos B0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判斷這個三角形的形狀1在ABC中，AC，BC2，B60，則角C的值為()A45 B30 C75 D902在ABC中，若，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，若abc135，求的值1已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解首先求出另一邊的對角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于0時，這時三角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時，再根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值2判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角時，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一1abc2.2R32Rsin A2Rsin B2Rsin C4.知識點二思考1sin Bsin A，而1，所以當(dāng)B為銳角時，滿足sin B的角有60B90，故對應(yīng)的鈍角B有90B120，也滿足AB180，故三角形有兩解思考2如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個三角形全等即三角形的兩邊及其夾角確定時，三角形的六個元素即可完全確定，故不必考慮解的個數(shù)的問題知識點三思考1可借助正弦定理把邊化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移項后就是一個三角恒等變換公式sin Acos Bcos Asin B0.思考2盡管正弦定理給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯(lián)系，但畢竟不是邊等于對角正弦，這里還涉及到外接圓半徑故使用時要么能消掉外接圓半徑(如思考1)，要么已知外接圓半徑題型探究類型一判斷三角形解的個數(shù)例1解根據(jù)正弦定理，sin B.ba，BA30，B60或120.當(dāng)B60時，C180(AB)180(3060)90，c2；當(dāng)B120時，C180(AB)180(30120)30A，ca1.引申探究解根據(jù)正弦定理，sin A1.因為sin A1.所以A不存在，即無解反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值或者根據(jù)該正弦值(不等于1時)在0180范圍內(nèi)求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求跟蹤訓(xùn)練1解a2，b6，ab，A30a，BA，B(0，180)，所以B60或120.當(dāng)B60時，C90，c4；當(dāng)B120時，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.類型二例2解a2bsin A，由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，又A(0，)，sin A0，sin B.B為銳角，B.令ycos Asin Ccos Asincos Asincos Asin cos Acos sin Acos Asin Asin.由銳角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cos B1，所以12cos B2，又2cos B，所以12.類型三例3解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化簡得sin Acos A，sin1.0A，A，A.A，C.ABC是等邊三角形跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)方程的兩根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得bcos Aacos