數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí).ppt

第4 章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí) 從第4章開(kāi)始，將研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論的基本概念與方法有著密切的聯(lián)系。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)和工具，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是概率論的應(yīng)用。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科。當(dāng)我們用一個(gè)隨機(jī)變量去描述一種隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，通常我們對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量所服從的分布類(lèi)型可能一無(wú)所知，或者根據(jù)該隨機(jī)現(xiàn)象的某些特征、以及人們的經(jīng)驗(yàn)而知道隨機(jī)變量分布的類(lèi)型，但不知道其分布中所含參數(shù)的值。,例如，某燈泡廠(chǎng)每年生產(chǎn)上萬(wàn)只燈泡，這些燈泡中的每一個(gè)都具有這樣的特征：“ 不是合格品，就是次品 ” 。因此，隨機(jī)檢查一個(gè)燈泡時(shí)，它或者是合格品，或者是次品。這是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象。 當(dāng)用隨機(jī)變量 X 去描述這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)， 記 X 任取一件產(chǎn)品中的次品數(shù)， 則 ，隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 0 1 分布 b( 1 , p ) ，其概率分布列為 ，其中 p 是 次品率，是隨機(jī)變量 X 的分布中所含的未知參數(shù)。,要想了解當(dāng)天所生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量（即次品率），一個(gè)可行的方法就是，抽取一定量的燈泡（如 20 個(gè)）進(jìn)行質(zhì)量檢查，并根據(jù)這一部分燈泡的質(zhì)量情況對(duì)整批燈泡的質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)或做出某種判斷。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)就是以概率論為理論基礎(chǔ)，研究如何獲取有用的觀(guān)察資料，如何根據(jù)所得到的有限資料對(duì)整個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所具有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行科學(xué)的分析，從而做出盡可能準(zhǔn)確可靠的推斷這類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的中心任務(wù)是：從局部的觀(guān)測(cè)資料的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，利用科學(xué)的方法，來(lái)推斷事物整體的統(tǒng)計(jì)特性。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)通常由兩個(gè)主要部分組成。 一個(gè)是抽樣理論和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，研究如何更合理地獲取觀(guān)察資料，如何進(jìn)行抽樣、抽多少等問(wèn)題。 由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所涉及研究的對(duì)象一般為數(shù)很大，而限于時(shí)間和經(jīng)濟(jì)上的考慮，人們只可能收集一部分?jǐn)?shù)據(jù)。 例如，在收集某批電器產(chǎn)品的使用壽命的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，往往需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行破壞性的檢驗(yàn)，因此只能檢驗(yàn)其中的一小部分產(chǎn)品，觀(guān)察其使用壽命，并依此推斷整批產(chǎn)品的使用壽命。 這就要求人們研究有效地收集數(shù)據(jù)的方式，精心設(shè)計(jì)收集數(shù)據(jù)的方法，以保證所收集到的一小部分?jǐn)?shù)據(jù)能夠盡可能多地提供與所研究的整個(gè)問(wèn)題有關(guān)的真實(shí)的信息。,另一個(gè)是統(tǒng)計(jì)推斷，研究如何對(duì)所獲取的有限的資料進(jìn)行科學(xué)地分析，用科學(xué)的方法提取和分析寓于所收集到的有限數(shù)據(jù)中的信息，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷的方法，在更大的范圍內(nèi)對(duì)所研究的問(wèn)題做出盡可能準(zhǔn)確、可靠的推斷，得出某種合理的結(jié)論。 統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本問(wèn)題之一，在此主要介紹統(tǒng)計(jì)推斷的一些基本知識(shí)。,由于統(tǒng)計(jì)推斷是由部分來(lái)推斷整體，是借助在小范圍內(nèi)所提取的信息來(lái)推斷整體的規(guī)律性，這就不可避免地會(huì)使這種推斷帶有某種不確定性，也就是說(shuō)，人們不能保證所推斷的結(jié)果是百分之百正確的。 因此，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的同時(shí)，還必須尋求一些有意義的指標(biāo)來(lái)衡量推斷的正確程度，評(píng)價(jià)推斷過(guò)程中所含有的不確定性。 下面給出數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些基本概念。,4.1 總體與樣本 一、總體與總體分布 總體是具有一定共同屬性的研究對(duì)象的全體。一旦總體確定了，便稱(chēng)組成總體的每一個(gè)個(gè)別的成員為個(gè)體?？傮w與個(gè)體的關(guān)系，即集合論中集合與元素之間的關(guān)系。 例如，為研究燈泡廠(chǎng)一天中所生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量，該廠(chǎng)在一天中所生產(chǎn)的所有燈泡就是待研究的總體，每一個(gè)燈泡就是一個(gè)個(gè)體。,在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究過(guò)程中，人們關(guān)心的并不是所研究對(duì)象（總體）的所有特征，而僅僅是關(guān)心反映所研究對(duì)象某一特征的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 例如，反映學(xué)生“ 概率統(tǒng)計(jì)” 課程的學(xué)習(xí)情況的數(shù)量指標(biāo)，就是學(xué)生這門(mén)課程的考核成績(jī)（并不需要考慮學(xué)生的身高、體重等指標(biāo)） 。 對(duì)于所選定的數(shù)量指標(biāo) X （可以是向量）而言，由于每個(gè)個(gè)體的取值是不同的，且每個(gè)個(gè)體的取值在測(cè)試結(jié)束之前是不能確定的，因此數(shù)量指標(biāo) X 是一個(gè)隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。,為了研究方便，通常把總體（具有一定共同屬性的研究對(duì)象的全體）與數(shù)量指標(biāo) X 等同起來(lái)，并把數(shù)量指標(biāo) X 的分布稱(chēng)為總體的分布。即 定義 4.1（P.124） 統(tǒng)計(jì)學(xué)中，稱(chēng)隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）X 為總體，并把隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）X 的分布稱(chēng)為總體分布。 注（P.124）： 總體 X 的分布一般是未知的。有時(shí)雖然已知總體分布的類(lèi)型（如正態(tài)分布、伯努利分布等），但這些分布中所含的參數(shù)（如 、 2 ，p 等）也是未知的。統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)，就是對(duì)總體的未知的分布或參數(shù)進(jìn)行推斷。, 對(duì)于所研究對(duì)象的定性指標(biāo)，也可以轉(zhuǎn)化為定量指標(biāo)（即數(shù)量指標(biāo)）來(lái)研究，進(jìn)而可以設(shè)定一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表示所研究的總體。 例如，“ 考察學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)是優(yōu)秀、合格還是不合格 ” 時(shí)，仍然可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X 來(lái)描述： 令 。,二、樣本與樣本分布 由于總體的分布一般是未知或部分未知的，為了獲取對(duì)總體分布的知識(shí)，就需要對(duì)總體進(jìn)行觀(guān)察，收集有關(guān)總體的信息和資料。 在實(shí)際研究過(guò)程中，由于受到人力、時(shí)間和財(cái)力方面的限制，人們往往不能收集到有關(guān)總體的全部信息；而且在有些情況下，根本就不允許人們?nèi)カ@取有關(guān)總體的全部數(shù)據(jù)（如在測(cè)試燈泡的使用壽命時(shí)，測(cè)試本身具有破壞性）。 因此，通常總是從總體中抽取一部分個(gè)體來(lái)進(jìn)行觀(guān)察，這種做法稱(chēng)之為“ 抽樣” 。,假設(shè)從總體 X 中抽取了 n 個(gè)個(gè)體 X1 ，X2 ，X n 來(lái)對(duì)總體 X 進(jìn)行抽樣觀(guān)察，由于在觀(guān)察測(cè)試結(jié)束之前，這 n 個(gè)個(gè)體的觀(guān)測(cè)值是不確定的，而且反復(fù)抽樣所得到 n 個(gè)個(gè)體的觀(guān)測(cè)結(jié)果也是不相同的。 因此，所抽取的 n 個(gè)個(gè)體 X1 ，X2 ，X n 實(shí)際上就是一個(gè)隨機(jī)向量（X1 ，X2 ，X n ），稱(chēng)之為一個(gè)“ 樣本” ，每一個(gè)個(gè)體 X i 稱(chēng)之為一個(gè)樣品； 對(duì)樣本（X1 , X2 , , X n ）的一次觀(guān)測(cè)值（x1 ，x2 ，x n ），就是樣本的一個(gè)“ 實(shí)現(xiàn)值（樣本值）” 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)，就是提供科學(xué)的方法，借助樣本值（x1 ，x2 ，x n ），對(duì)未知的總體進(jìn)行合理的推斷。,為了更準(zhǔn)確地對(duì)總體分布進(jìn)行分析和推斷，就要求所抽取的樣本能夠很好地反映總體的特性。下面的定義給出了一個(gè)好的樣本應(yīng)該具備的條件。 定義4.2（P.125） 稱(chēng)（X1 ，X2 ，X n ）為總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，如果 X1 ，X2 ，X n 是相互獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，而且它們都與總體 X 同分布。樣本中所含分量的個(gè)數(shù) n ，稱(chēng)為該樣本的容量。 1)人們要求樣本中的每一個(gè)分量 X i （i =1，2，n ）都與總體 X 同分布，表明抽樣觀(guān)察的每一個(gè)個(gè)體都是從總體中抽取的，因而它們對(duì)總體具有很好的代表性； 2)人們要求樣本中的各分量 X1 ，X2 ，X n 相互獨(dú)立，則表明所得到的每一個(gè)觀(guān)察結(jié)果既不影響其它觀(guān)察結(jié)果，也不受其它觀(guān)察結(jié)果的影響。,定義（P.125） 獲取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法，稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。并稱(chēng)樣本（X1 ，X2 ，X n ）的一組具體的觀(guān)察值（x1 ，x2 ，x n ）為樣本值，全體樣本值組成的集合為樣本空間。 容量為 n 的樣本空間是 n 維向量空間 Rn 的一個(gè)子集。 這里假定所考慮的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本。 約定：以大寫(xiě)的英文字母 X i 表示隨機(jī)變量，而以相應(yīng)的小寫(xiě)英文字母 xi 表示隨機(jī)變量 X i 的觀(guān)察值。,設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為 F ( x )，則由定義 4.2（P.125知，樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的分布函數(shù)為 ，并稱(chēng)之為樣本分布。 特別地，如果總體 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f ( x )，則樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的密度函數(shù)為 ，并分別稱(chēng) f ( x ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 為總體密度和樣本密度 。 如果總體 X 為離散型隨機(jī)變量，,如果總體 X 為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為 p ( x ) = P ( X = x )，x 取遍 X 所有可能的取值，則樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的概率分布為 ， 并分別稱(chēng) p ( x ) 和 p ( x1 , x2 , , x n ) 為總體概率分布和樣本概率分布。,例 4.1（P.126） 稱(chēng)總體 X 為正態(tài)總體，如果 X 服從正態(tài)分布。正態(tài)總體是統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最常見(jiàn)的總體。 現(xiàn)假設(shè)總體 X N( ， 2 ) ， 總體密度 則其樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的密度為,例 4.2（P.126） 稱(chēng)總體 X 為伯努利總體，如果它服從以 p（0 p 1）為參數(shù)的伯努利分布，即 X b ( 1，p ) 。 從而有 P ( X = 1 ) = p，P ( X = 0 ) = 1 p ，即 p ( i ) = P ( X = i ) = pi ( 1p )1 i ，i = 0，1。 于是，其樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的概率分布為 其中 xi （i = 1，2，n ）取值 1 或 0， ，它恰好等于樣本中取值為 1 的分量之總和。,例 4.3 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布，（X1 , X2 , , Xn ）為其樣本，求樣本的概率分布。 解 p ( k ) = P ( X = k ) = p ( 1 p ) k 1 ，k = 1，2， ; （X1 ，X2 ，Xn ）是來(lái)自總體 X 的樣本， 樣本的概率分布為 其中 xi （i = 1，2，n ）取值正整數(shù)。,例 4.4 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，（X1 ，X2 , ，Xn ）為其樣本，求樣本密度 。 解 總體 X e ( )， ； （X1 ，X2 ，Xn ）是來(lái)自總體 X 的樣本， 樣本密度為,對(duì)樣本概率分布和樣本密度的理解： 在例 4.3 和例 4.4 中，算得樣本概率分布和樣本密度分別為 ， xi 取值正整數(shù)，i = 1，2，n ； 和 ，xi 0，i = 1，2，n 。 在概率論的研究中，人們通常假定隨機(jī)變量（即總體）的分布及其參數(shù)（如：p、 等）都是已知的，因而把 p ( x1 , x2 , , xn ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 理解為關(guān)于未知量 x1 ，x2 ，xn 的 n 元函數(shù)。,例 設(shè)總體X服從參數(shù)為 的泊松分布，則樣本的概率 分布為,在統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，人們往往可以確定總體分布所屬的類(lèi)型，例如， 認(rèn)為學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布； 描述一件產(chǎn)品是否為廢品的隨機(jī)變量服從伯努利分布（0 1 分布）； 記錄電話(huà)呼叫次數(shù)的隨機(jī)變量服從泊松分布； 電子元件的壽命服從指數(shù)分布等等。 因此，在總體分布中，往往只是其中的參數(shù)是未知的。 從這個(gè)意義上來(lái)講，可以從另一個(gè)角度來(lái)理解例 4.3 和例 4.4 中的樣本概率分布和樣本密度： 把式中的 ( x1 , x2 , , x n ) 看作是一個(gè)樣本值，通過(guò)試驗(yàn)觀(guān)察就可以確定下來(lái)，因而它們是一組已知量（或可知量），而各總體的參數(shù)（如 p、 等）是未知量，即分別把 p ( x1 , x2 , , xn ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 理解為關(guān)于未知參數(shù) p 和 的一元函數(shù)：,，0 0 。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，就是要由樣本值 ( x1 , x2 , , x n ) 出發(fā)，來(lái)推斷總體中未知的參數(shù)。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)中又把例 4.3 和例 4.4 中的樣本概率分布和樣本密度函數(shù)稱(chēng)為未知參數(shù)的似然函數(shù)。關(guān)于似然函數(shù)的概念，將在5.2 中做詳細(xì)的介紹。,三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述（P.122） 統(tǒng)計(jì)學(xué)要解決的主要問(wèn)題，就是借助總體 X 的一個(gè)樣本（X1 ，X2 ，Xn ），利用其樣本值（x1 ，x2 ，xn ）,對(duì)總體 X 的未知分布或參數(shù)進(jìn)行科學(xué)地、合理地推斷。人們將這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。 在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程中，為了保證推斷的科學(xué)性與合理性，需要借助樣本構(gòu)造一些合適的統(tǒng)計(jì)量（即樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量），然后再利用所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量的 “良好” 性質(zhì)，對(duì)總體分布所屬的類(lèi)型以及總體分布中所含的未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。,作業(yè) P127: 4, 6,4.2 統(tǒng)計(jì)量 一、統(tǒng)計(jì)量的定義 定義 4. 3（P.127） 設(shè)（X1 ，X2 ，Xn ）為總體 X 的一個(gè)樣本，稱(chēng)此樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計(jì)量。 例 4.4（P.127 ） 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布，EX = 5，DX = 2 （ 2 未知），（X1 ，X2 ，Xn ）為總體 X 的一個(gè)樣本。,（1）令 Sn = X1 + X2 + + Xn ， ，則 Sn 與 X 都是樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的統(tǒng)計(jì)量，且具有下面的性質(zhì): E Sn = E ( X1 + X2 + + Xn ) = EX1 + EX2 + + EXn = n EX = 5 n， D Sn = D ( X1 + X2 + + Xn ) = DX1 + DX2 + + DXn = n DX = n 2 ； ， 。 （2）令 ，則 U 不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)?U 的表達(dá)式中含有總體分布的未知參數(shù) 。,對(duì)于一個(gè)給定的樣本，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的定義，可以構(gòu)造出很多統(tǒng)計(jì)量來(lái)，但常用的、具有 “ 良好 ” 性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量并不多 . 下面介紹一些在統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)量。 二、常用的統(tǒng)計(jì)量（P.128） 設(shè)（X1 ，X2 ，Xn ）為來(lái)自總體 X 的一個(gè)容量為 n 的樣本。 1、樣本均值 稱(chēng)樣本中各分量的算術(shù)平均值為樣本均值，記做X，即 （隨機(jī)變量）。 注： 其實(shí)現(xiàn)值為： 。, 注意區(qū)分符號(hào) E X 與X ! EX 是總體期望（總體均值）， ，是一個(gè)常數(shù)； X 是樣本均值， ，是隨機(jī)向量（樣本） （X 1 ，X 2 ， ，X n ）的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量。 因而，E X X !,2、樣本方差 樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述樣本中各分量與樣本均值的均方差異的統(tǒng)計(jì)量。樣本方差有兩種定義方式： 一種是 ，并稱(chēng) S02 是樣本的未修正的樣本方差。 3、 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 更常用的是樣本方差的另一種定義， ，并稱(chēng) S2 是修正的樣本方差。 S2 比 S02 有更好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。今后使用的主要是修正的樣本方差，簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本方差.前者的數(shù)學(xué)期望是正好是方差. 同總體的方差與其標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系一樣，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 定義為樣本方差 S2 的算術(shù)平方根，即 。,例4.5 樣本方差的簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題。 其中 。,例 4.6 設(shè)（x1 ，x2 ，x6 ）是來(lái)自總體 X 的樣本值， 已知 ， 。求（1）樣本均值x ； （2）樣本方差 s2 ，以及樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 。 解 （1） ； （2） 。,例4.7 設(shè)（X1 ，X2 ，Xn ）是來(lái)自總體 X 的樣本， EX = ，DX = 2 ， ，求 EX，DX 。 解 （X1 ，X2 ，Xn ）是來(lái)自總體 X 的樣本， EX = ，DX = 2 ， E Xi = ，D Xi = 2 ，i = 1，2，n；且 X1 ，X2 ， ，Xn 相互獨(dú)立， ； 。 進(jìn)而有，若總體 X N ( ， 2 ) （即 X 是正態(tài)總體），則 。,注：,樣本方差的統(tǒng)計(jì)意義 就樣本的某一組觀(guān)察值（x1 ，x2 ，xn ）而言，與總體 方差類(lèi)似，樣本方差 刻畫(huà)了樣本值對(duì)其 樣本均值的平均偏離程度：樣本方差越小，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著 其樣本均值分布得越集中；樣本方差越大，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著其樣本均值分布得越分散。 4、樣本原點(diǎn)矩（P.129） 記 ，k 1。并稱(chēng) Ak 為樣本的 k 階原點(diǎn)矩。 當(dāng) k = 1 時(shí)，一階樣本原點(diǎn)矩 就是樣本均值 X 。可見(jiàn)，樣本原點(diǎn)矩是樣本均值概念的推廣。,5、樣本中心矩（P.129） 記 ，k 1。并稱(chēng) Bk 為樣本的 k 階中心矩。 當(dāng) k = 2 時(shí)，二階樣本中心矩 就是 未修正的樣本方差 ?？梢?jiàn)，樣本中心矩是未修正的樣本方差概念的推廣。 以上各統(tǒng)計(jì)量（樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本原點(diǎn)矩、樣本中心矩）統(tǒng)稱(chēng)為樣本的矩統(tǒng)計(jì)量，或簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本矩。它們都可以表示成樣本的顯示函數(shù)。 除樣本矩以外，還可以定義不能表為樣本的顯示函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。,6、順序統(tǒng)計(jì)量 設(shè)（X1 ，X2 ，Xn ）為總體 X 的一個(gè)樣本，將樣本中的各分量按由小到大的順序排列成 X (1) X (2) X ( n ) ，則稱(chēng)（X (1) ，X (2) ， ，X ( n ) ）為樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)量，稱(chēng) X (i) 為樣本的第 i 個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。 特別地，稱(chēng) X (1) 與 X ( n ) 分別為樣本的極小值與極大值，并稱(chēng) X (n) X (1) 為樣本的極差。,三、樞軸量 在樣本的統(tǒng)計(jì)量中不應(yīng)該包含總體分布的任何未知參數(shù)。但是在統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中，又常常需要利用樣本資料對(duì)總體分布中的某一個(gè)未知參數(shù) 進(jìn)行推斷。 為此，需要構(gòu)造一個(gè)樣本的僅含有待推斷的未知參數(shù) ，而不含有其它未知參數(shù)的函數(shù) U ( X1 , X2 , , Xn ; ) ，同時(shí)要求如此構(gòu)造的樣本函數(shù) U ( X1 , X2 , , Xn ; ) 的分布已知。 將這種只含有一個(gè)未知參數(shù)、且分布已知的樣本函數(shù)，稱(chēng)為樞軸量。人們利用樞軸量的已知分布，就可以對(duì)總體分布中的未知參數(shù) 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。 由此可見(jiàn)，樞軸量應(yīng)該滿(mǎn)足三點(diǎn)要求：首先，它必須是一個(gè)樣本的函數(shù)；其次，在這個(gè)樣本的函數(shù)中僅含有一個(gè)未知參數(shù)；最后，此樣本函數(shù)的分布是已知的。,例4.8（P.129 例 4.5） 設(shè)總體 X ，其中 已知， 未知，（X1 ，X2 ，Xn ）為總體 X 的一個(gè)樣 本，令 ，則 U N( 0 , 1 ) 。 證 （X1 ，X2 ，Xn ）是來(lái)自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本， X1 ，X2 ，Xn 相互獨(dú)立，且 ，i = 1，2，n。 ， 于是， 。,另外，由于 U 是樣本（X1 ，X2 ，Xn ）的函數(shù)，且僅含有一個(gè)未知參數(shù) ，同時(shí) U 的分布已知，所以 U 是一個(gè)樞軸量。,4.3 常用的統(tǒng)計(jì)分布 統(tǒng)計(jì)推斷的基本做法是：在取得總體 X 的樣本（X1 ，X2 ，Xn ）之后，借助樣本統(tǒng)計(jì)量（或樞軸量）來(lái)對(duì)未知的總體分布進(jìn)行推斷。 為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)推斷的目的，一般需要確定相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量（或樞軸量）所服從的分布。本節(jié)將介紹一些統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)分布。,一、分位數(shù) 分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)字特征。 定義 4.4（P.130） 隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x)，對(duì)給定的實(shí)數(shù) （0 F ) = ，或 F( F ) = 1 。則稱(chēng) F 為隨機(jī)變量 X 的分布的水平 的上側(cè)分位數(shù)。或直接稱(chēng)為分布函數(shù) F(x) 的水平 的上側(cè)分位數(shù)。 特別地，如果 F(x) 是嚴(yán)格單調(diào)增的，則其在水平 的上側(cè)分位數(shù) F 為 F = F 1 ( 1 ) 。,當(dāng) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為 f (x)： X f (x) ，則其在水平 的上側(cè)分位數(shù) F 應(yīng)滿(mǎn)足 （ P ( X F ) = ）： ， 其中 F 也稱(chēng)為水平 的右側(cè)分位數(shù)； 為圖中陰影部分的面積，通常表示一個(gè)小概率事件 的概率，也稱(chēng)為（右側(cè)）尾部 概率，常取值為 0.01、0.05 和 0.10 ，一般要求 0.20 。,在有些情況下，也需要考慮左側(cè)尾部的概率（如圖 1）。此時(shí)，考慮水平 1 的上側(cè)分位數(shù) F1 （F1 也稱(chēng)為水平 的左側(cè)分位數(shù)）。F1 應(yīng)滿(mǎn)足：P( X F1 ) = 1 ，或 F( F1 ) = 。 注：當(dāng)密度函數(shù)為 f (x) 為偶函數(shù)時(shí)，成立 F1 = F （如圖 2）。 圖 1 圖 2,如：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N( 0 , 1 ) 在水平 的上側(cè)分位數(shù)通常記為 u ，且 u 應(yīng)滿(mǎn)足 0 ( u ) = 1 。 于是，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表（附表 2），即可以得到分位數(shù) u 的值。例如， 當(dāng) = 0.05 時(shí)，0 ( u 0.05 ) = 0.95，查表得 u 0.05 = 1.645，由對(duì)稱(chēng)性，得 u 0.95 = 1.645； 當(dāng) = 0.10 時(shí)，0 ( u 0.10 ) = 0.90，查表得 u 0.10 = 1.28，由對(duì)稱(chēng)性，得 u 0.90 = 1.28。,總注：,（1）分布函數(shù)的圖像在 左側(cè)的面積為,（2）若F(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，則,（3） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)水平 的上側(cè)分位數(shù)通常記為,（4） 根據(jù)圖形的關(guān)系，可以得到,（5）對(duì)于具有對(duì)稱(chēng)分布的分布函數(shù)的上側(cè)分位數(shù),在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，還要用到另一種分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)。 定義 4.5（P.131） 設(shè) X 是對(duì)稱(chēng)分布的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 F(x)，對(duì)給定的實(shí)數(shù) （0 T ) = ，即 P( X T ) + P( X T ) = ，或 F( T ) F( T ) = 1 。則稱(chēng) T 為隨機(jī)變量 X 的分布的水平 的雙側(cè)分位數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為分位數(shù)，或直接稱(chēng)為分布函數(shù) F(x) 的水平 的分位數(shù)。,由 P( X T ) = ，得 P( X T ) + P( X T ) = / 2 且 P( X F ) = ，知： T = F / 2 ， 即水平 的雙側(cè)分位數(shù) T ,就是水平 / 2 的上側(cè)分位數(shù) F / 2 （通常不使用符號(hào) T ，而使用符號(hào) F / 2 來(lái)表示雙側(cè)分位數(shù)） 。 當(dāng)X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為 f (x)， T 的意義如右圖所示。 可見(jiàn)，T = F / 2 ，且有 P ( X F / 2 ) = / 2 或 F ( F / 2 ) = 1 / 2，以及 P ( F / 2 X F / 2 ) = 1 。,當(dāng)隨機(jī)變量 X 不是對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，有時(shí)也需要考慮兩個(gè)分位數(shù) F1 / 2 和 F / 2 ，此時(shí)， F1 / 2 滿(mǎn)足：P( X F1 / 2 ) = 1 / 2，或 F ( F1 / 2 ) = / 2; F / 2 滿(mǎn)足： P( X F / 2 ) = / 2，或 F ( F / 2 ) = 1 / 2。 且有 P( F1 / 2 X F / 2 ) = 1 。 當(dāng) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且 X f (x) 時(shí)，有下圖。,例 4.9 當(dāng) = 0.05 時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平 的（雙側(cè)）分位數(shù)。 解 當(dāng) = 0.05 時(shí)，0 ( u 0.025 ) = 0.975， 查表得 u 0.025 = 1.96；且有 P( 1.96 X 1.96 ) = 1 0.05 = 0.95 。,二、2 分布 命題 4.1 設(shè) X1 ，X2 ，Xn 是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 Xi N(0,1)，i = 1, 2, , n 。則 X = X12 + X22 + + Xn2 的密度函數(shù)為 ，其中 是 （伽馬）函數(shù)。 定義 4.6（P.128） 一個(gè)隨機(jī)變量 X 稱(chēng)為服從以 n 為自由度的 2 分布，如果其密度函數(shù)為 。記作 X 2( n ) 。 可見(jiàn)，服從 2 分布的隨機(jī)變量一定是非負(fù)隨機(jī)變量。,定理:設(shè)X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且XiN(0,1),則統(tǒng)計(jì)量,2 分布的密度函數(shù)的圖形見(jiàn) P.128 圖 4-4。當(dāng)自由度 n 取不同的值時(shí)，2 分布的密度函數(shù)的圖形具有不同的形狀。 當(dāng) n 3 時(shí)，2 分布的密度函數(shù)的曲線(xiàn)都為單峰曲線(xiàn)，曲線(xiàn)從原點(diǎn)開(kāi)始遞增，在 x = n 2 處達(dá)到最大值，然后遞減，并以 x 軸為漸進(jìn)線(xiàn)。函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn) x = n 2 不對(duì)稱(chēng)，但隨著自由度 n 的增大，曲線(xiàn)的峰值向右移動(dòng)，圖形變得比較平緩，并且趨于對(duì)稱(chēng)。因此，當(dāng)自由度 n 充分大以后，2 分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似。,2分布的的密度函數(shù)的示意圖,當(dāng) n = 2 時(shí)， 是參數(shù) 的指數(shù)分 布 的密度函數(shù)，即自由度為 2 的 2 分布 2( 2 ) 就是參數(shù) 的指數(shù)分布 。其密度函數(shù)的曲線(xiàn)在 x = 0 處取到最大值，然后遞減，并以 x 軸為漸進(jìn)線(xiàn)。 當(dāng) n = 1 時(shí)，2 分布的密度函數(shù)的曲線(xiàn)在 x = 0 處取無(wú)窮大值并以 x 軸和 y 軸分別為其水平漸進(jìn)線(xiàn)和垂直漸進(jìn)線(xiàn)。 根據(jù)定義 4.6 和正態(tài)分布的性質(zhì)，可以得到下面的命題。 命題 4.2（1）若 X 2( m )，Y 2( n )，且隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則 X + Y 2( m+n ) 。（也稱(chēng)之為獨(dú)立 2 變量的可加性。） （2）若 X 2( n )，則 EX = n，DX = 2n 。,證明 （1）設(shè)隨機(jī)變量 X1 ，X2 ，Xm ，Xm+1 ，Xm+n 相互獨(dú)立，同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1) ，則由命題 4.1 及定義 4.6 得 X12 + X22 + + Xm2 2( m )， Xm+12 + Xm+22 + + Xm+n2 2( n )， X12 + X22 + + Xm+n2 2( m+n )。 X 2( m )，Y 2( n )， X 與 X12 + X22 + + Xm2 同分布， Y 與 Xm+12 + Xm+22 + + Xm+n2 同分布。 又 X 與 Y 相互獨(dú)立， X + Y 與 X12 + X22 + + Xm+n2 同分布。 X + Y 2( m+n ) 。,（2）設(shè)隨機(jī)變量 X1 ，X2 ，Xn 相互獨(dú)立，同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1) ，則 X12 + X22 + + Xn2 2( n )，且 EXi = 0，DXi = 1， i = 1，2，n 。于是， EXi2 = DXi + (EXi )2 = 1，i = 1，2，n ； i = 1，2，n 。, X 2( n )， X 與 X12 + X22 + + Xn2 同分布，于是 , ；（注： ） 又 隨機(jī)變量 X1 ，X2 ，Xn 相互獨(dú)立， X12 ，X22 ，Xn2 也相互獨(dú)立，而 X 與 X12 + X22 + + Xn2 同分布，從而 。 2 分布是常用的統(tǒng)計(jì)分布之一，但由于其密度函數(shù)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，難于進(jìn)行直接的計(jì)算。通常將其制成統(tǒng)計(jì)用表（ 附表 3 ）。 附表 3 給出了自由度為 n 的 2 分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) 2 ( n ) 的值，即若隨機(jī)變量 X 2( n )，0 2 ( n ) ) = ，或 P( X 21 ( n ) ) = 1 。,由于 2 分布的密度函數(shù) 2( x ; n ) 不是對(duì)稱(chēng)的，因而2 分布不存在雙側(cè)分位數(shù)。但在統(tǒng)計(jì)推斷中，常常會(huì)使用兩個(gè)分位數(shù) 21 / 2 ( n ) 和 2 / 2 ( n ) ， 使 P( X 2 / 2 ( n ) ) = 。 通常采用式子 P( X 21 / 2 ( n ) ) = 1 / 2 和 P( X 2 / 2 ( n ) ) = / 2 通過(guò)查表來(lái)確定分位數(shù) 21 / 2 ( n ) 和 2 / 2 ( n ) 。 且有 P( 21 / 2 ( n ) 45 或 n 50 ）時(shí)，可以用正態(tài)分布來(lái)近似 2 分布，用正態(tài)分布的分位數(shù)近似地求得 2 分布的分位數(shù)。,例 4.10 設(shè) r.v. X 2( 16 )， = 0.05，求1)21 ( 16 ) ； 2) 21 / 2 ( 16 ) 。 解 1) 由 P( X 20.95 ( 16 ) ) = 0.95，查表得 21 ( 16 ) = 20.95 ( 16 ) = 7. 962； 2) 由 P( X 20.975 ( 16 ) ) = 0. 975，查表得 21 / 2 ( 16 ) = 20.975 ( 16 ) = 6.908， 且有 P( 6.908 X 28.845 ) = 0.95 。,三、F 分布 F 分布也是一種常用的統(tǒng)計(jì)分布。 命題 4.3 設(shè) X 2 ( m )，Y 2 ( n )，且 X 與 Y 相互獨(dú)立，記 ，則 Z 的密度函數(shù)為 其中 （p 0，q 0）是 （貝塔）函數(shù)。,定義 4.7 一個(gè)隨機(jī)變量 X 稱(chēng)為服從第一自由度為 m ，第二自由度為 n 的F 分布，如果其密度函數(shù)為 記作 X F( m , n ) 。 可見(jiàn)，服從 F 分布的隨機(jī)變量一定是非負(fù)隨機(jī)變量。,F分布的的密度函數(shù)的示意圖,F 分布的密度函數(shù)曲線(xiàn)的形狀因自由度 m、n 的不同取值而異。 當(dāng)?shù)谝蛔杂啥?m 3 時(shí)，F(xiàn) 分布的密度函數(shù)的曲線(xiàn)是單峰曲線(xiàn)，曲線(xiàn)在 處達(dá)到最大值，且 x* 1，即圖 形的峰值恒在小于 1 處達(dá)到。 當(dāng)兩個(gè)自由度 m 與 n 都變得越來(lái)越大時(shí)，x* 就越來(lái)越接近于 1，從而函數(shù)的圖形就在非常接近于 1 的地方達(dá)到最高點(diǎn)，同時(shí)，曲線(xiàn)也接近于對(duì)稱(chēng)； 當(dāng) m 與 n 都趨于無(wú)窮大時(shí)，F(xiàn) 分布趨于正態(tài)分布。,綜合定義 4.7 和命題 4.3 ，得 結(jié)論 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，分別服從 2 ( m ) 與 2 ( n ) 分布。令隨機(jī)變量 ，則 Z 服從第一自由度為 m ，第二自由度為 n 的F 分布，即 Z F( m , n ) 。 進(jìn)而還有 結(jié)論 若隨機(jī)變量 Z 服從 F ( m , n ) 分布，則 服從 F ( n , m ) 分布。,由此可得：F ( m , n ) 分布的水平 1 的上側(cè)分位數(shù) F1 ( m , n ) ，等于F ( n , m ) 分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) F ( n , m ) 的倒數(shù)，即 。 證 設(shè) X F ( n , m )，則 X 是非負(fù)隨機(jī)變量，且 于是 ，同時(shí)有 。,3 F分布的上分位點(diǎn),設(shè)F (n1,n2) ，對(duì)于給定的a,0a1, 滿(mǎn)足條件,的點(diǎn)F (n1,n2)為F分布的上分位點(diǎn).,F 分布也是常用的統(tǒng)計(jì)分布，其分布也難于利用密度函數(shù)進(jìn)行直接計(jì)算。因此，對(duì)于 F 分布也制出了統(tǒng)計(jì)用表（ 附表 4 ），供查閱。 在附表 4 中，僅對(duì)充分小的 （ 0.10）的一些特殊值列出了 F ( m , n ) 分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) F ( m , n ) （若 X F ( m , n ) ， 則 P ( X F ( m , n ) = ）的值； 此時(shí)由于 1 的值較大（ 0.90），因此不可以利用 附表 4 直接查到 F ( m , n ) 分布的水平 1 的上側(cè)分位數(shù) F1 ( m , n ) 的值，必須先查出 F ( n , m ) 的值，然后再利用關(guān)系式 ，計(jì)算出 F1 ( m , n ) 的值。,另外，由于服從 F ( m , n ) 分布的隨機(jī)變量 X 是非負(fù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù) f ( x ; m , n ) 不是對(duì)稱(chēng)函數(shù)，因而 F 分布也不存在雙側(cè)分位數(shù)。 但在統(tǒng)計(jì)推斷中，也常常會(huì)使用兩個(gè)分位數(shù) F1 / 2 ( m , n ) 和 F / 2 ( m , n ) ，使 P ( X F / 2 ( m , n ) = 。 這時(shí)通常采用關(guān)系式 P ( X F / 2 ( m , n ) = / 2 來(lái)確定分位數(shù) F / 2 ( m , n )（直接查表）； 采用關(guān)系式 P ( X F1 / 2 (m , n) ) = 1 / 2 來(lái)確定分位數(shù) F1 / 2 ( m , n ) 。,在確定分位數(shù) F1 / 2 ( m , n ) 時(shí)，通常需要先查表得到 F / 2 ( n , m ) 的值，然后再利用關(guān)系式 計(jì)算出 F1 / 2 ( m , n ) 的值。 此時(shí)成立 P ( X F / 2 ( m , n ) = 1 。 例 4.13 設(shè)隨機(jī)變量 F F( 12 , 9 )， = 0.05，試求 F0. 95 ( 12 , 9 ) 。 解 查表得 F0.05 ( 9 , 12 ) = 2.80，于是， F0. 95 ( 12 , 9 ) = 1 / F0.05 ( 9 , 12 ) = 1 / 2.80 0. 3571 。,四、t 分布 命題 4.4（P.131） 設(shè) X N( 0 , 1 )，Y 2( n )，且 X 與 Y 相互獨(dú)立，記 ，則隨機(jī)變量 T 的密度函數(shù)為 其中 （p 0，q 0）是 （貝塔）函數(shù). 定義 4.8（P.131） 一個(gè)隨機(jī)變量 X 稱(chēng)為服從自由度為 n 的 t 分布，如果其密度函數(shù)為 ， 記作 X t ( n ) 。,t 分布是科塞特（W.S.Gosset）于 1908 年在一篇署名為“ 學(xué)生” （Student）的論文中首先提出來(lái)的，因此，t 分布也稱(chēng)為 “ 學(xué)生分布 ” 。 綜合定義 4.8 和命題 4.4 ，得 結(jié)論 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，X N( 0 , 1 )， Y 2( n )。令隨機(jī)變量 ，則 T 服從自由度為 n 的 t 分布，即 T t ( n ) 。 進(jìn)而有： 隨機(jī)變量 T 2 F ( 1 , n )。 這也說(shuō)明了t 分布與 F 分布的關(guān)系：若 r.v. T t ( n )，則 r.v. T2 F ( 1 , n )。,T分布的的密度函數(shù)的示意圖,由于 t 分布的密度函數(shù)滿(mǎn)足 t ( x ; n ) = t ( x ; n )，因而 t 分布的密度函數(shù)曲線(xiàn)的形狀關(guān)于縱軸（y 軸）對(duì)稱(chēng)；同時(shí)，t 分布的密度函數(shù)的曲線(xiàn)為單峰曲線(xiàn)，在 x = 0 處達(dá)到最大值；以 x 軸為水平漸進(jìn)線(xiàn) . 當(dāng)自由度 n 很大時(shí)，t 分布接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這是由于 ，且可以證明 ，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N ( 0 , 1 ) 是 t 分布的極限分布。,這也就是說(shuō)，當(dāng) t 分布的自由度 n 充分大（如 n 50）時(shí)，t 分布 t ( n ) 可以近似地看作是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；然而對(duì)于比較小的 n 值（如 n P ( X x 0 )， 即 t 分布的尾部比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 尾部具有更大的概率。,t分布的上分位點(diǎn),設(shè)Tt(n),對(duì)于(0,1)給定,稱(chēng)滿(mǎn)足條件:,的點(diǎn)tn()為t分布的上分位點(diǎn).,注:,對(duì)于 t 分布，也編制了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)用表（附表 5 ）。在附表 5 中，僅對(duì)充分小的 （ 0.10）的一些特殊值列出了 t 分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) t ( n ) （ 若 X t ( n )，則 P ( X t ( n ) ) = ）的值； 此時(shí)由于 1 的值較大（ 0.90），在附表 5 中是不可以直接查到 t 分布的水平 1 的上側(cè)分位數(shù) t1 ( n ) 的值，這時(shí)可以利用 t 分布具有對(duì)稱(chēng)的密度函數(shù)的性質(zhì)，得到 t1 ( n ) = t ( n ) 。 另外，由于 t 分布具有對(duì)稱(chēng)的密度函數(shù)，從而具有雙側(cè)分位數(shù) t / 2 ( n )，滿(mǎn)足 P ( X t / 2 ( n ) ) = ，其中 t / 2 ( n ) 由關(guān)系式 P ( X t / 2 ( n ) = / 2 來(lái)確定。且有 P ( X t / 2 ( n ) ) = P ( t / 2 ( n ) X t / 2 ( n ) ) = 1 .,當(dāng)自由度 n 充分大（如 n 50）時(shí)，t 分布 t ( n ) 可以近似地看作是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N( 0 , 1 ) ，于是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) u ，可以近似地得到 t 分布的水平 的上側(cè)分位數(shù) t ( n )，即 t ( n ) u 。 根據(jù) t 分布與 F 分布的關(guān)系：若 r.v. T t ( n )，則 r.v. T 2 F ( 1 , n )。當(dāng)手頭上只有一張 F 分布表，而沒(méi)有 t 分布表時(shí)，則可以利用 t 分布與 F 分布的關(guān)系來(lái)處理 t 分布的有關(guān)問(wèn)題 。,例 4.14 設(shè)隨機(jī)變量 X t (10 )， = 0.10，分別求水平 和 1 的上側(cè)分位數(shù)，以及水平 的（雙側(cè)）分位數(shù)。 解 查表得 t 0.10 ( 10 ) = 1.372，從而有 t 0.90 ( 10 ) = 1.372; 查表得 t 0.05 ( 10 ) = 1.812，且有 P ( X 1.812 ) = 0.90 。,作業(yè) P137 : 5.,4.4 抽樣分布 在統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中，經(jīng)常需要利用總體的樣本構(gòu)造出合適的統(tǒng)計(jì)量（或樞軸量），并使其服從或漸進(jìn)服從某一已知的確定分布。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中泛稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量（或樞軸量）的分布為抽樣分布。 討論抽樣分布的途徑有兩個(gè)。 一種是精確地求出抽樣分布，并稱(chēng)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)推斷為小樣本統(tǒng)計(jì)推斷； 另一種是讓樣本容量趨于無(wú)窮，并求出抽樣分布的極限分布，然后在樣本容量充分大的情形下，利用該極限分布作為抽樣分布的近似分布，進(jìn)而對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，并稱(chēng)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)推斷為