2010年高考試題——文科數(shù)學（廣東卷、江蘇卷）解析版.doc

絕密啟用前 試卷類型：b2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（文科解析）本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.答卷時，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室、座位號填寫在答題卡上。用2b鉛筆將試卷類型（b）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.作答選作題時，請先用2b鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。5.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則集合a. b. c. d. 解：并集，選a.2.函數(shù)的定義域是a. b. c. d. 解：，得，選b.3.若函數(shù)與的定義域均為r，則a. 與與均為偶函數(shù) b.為奇函數(shù)，為偶函數(shù)c. 與與均為奇函數(shù) d.為偶函數(shù)，為奇函數(shù)解:由于,故是偶函數(shù),排除b、c4已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則s5=w_w w. k#s5_u.c o*mw_w*w.k_s_5 u.c*o*m a35 b33 c31 d295若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)滿足條件 (8)=30，則= a6 b5 c4 d36若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側，且與直線相切，則圓的方程是w_w w. k#s5_u.c o*m a b w_w*w.k_s_5 u.c*o*m c d【解析】由題意知，圓心在y軸左側，排除a、c在，故，選d.7.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是a. b. c. d. 8“0”是“0”成立的 a充分非必要條件 b必要非充分條件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m c非充分非必要條件 d充要條件9如圖1， 為正三角形，則多面體的正視圖(也稱主視圖)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m10.在集合上定義兩種運算和如下 那么a. b. c. d.解：由上表可知：,故，選a。二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分。（一）必做題（1113題）11.某城市缺水問題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對全市居民某年的月均用水量進行了抽樣調查，其中4位居民的月均用水量分別為（單位：噸）。根據(jù)圖2所示的程序框圖，若分別為1，1.5，1.5，2，則輸出的結果為 .解析：第一（）步：第二（）步： 第三（）步：第四（）步：，第五（）步：，輸出12某市居民20052009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出y（單位：萬元）的統(tǒng)計資料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出y1012根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是 13 ，家庭年平均收入與年平均支出有 y=x-3 線性相關關系.13已知a，b，c分別是abc的三個內角a，b，c所對的邊，若a=1，b=，a+c=2b，則sina= . w_w w. k#s5_u.c o*m（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形abcd中，dcab,cb,ab=ad=,cd=,點e,f分別為線段ab,ad的中點，則ef= 解：連結de，可知為直角三角形。則ef是斜邊上的中線，等于斜邊的一半，為.15.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，曲線與的交點的極坐標為 .16（本小題滿分14分）設函數(shù)，且以為最小正周期（1）求；w_w（2）求的解析式；（3）已知，求的值w_w*w.k_s_5 u.c*o*m17.（本小題滿分12分）某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計554510018.（本小題滿分14分）如圖4，弧aec是半徑為的半圓，ac為直徑，點e為弧ac的中點，點b和點c為線段ad的三等分點，平面aec外一點f滿足fc平面bed,fb=（1）證明：ebfd（2）求點b到平面fed的距離. （1）證明：點e為弧ac的中點 19.（本題滿分12分）某營養(yǎng)師要求為某個兒童預訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素c;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質和54個單位的維生素c.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？解：設為該兒童分別預訂個單位的午餐和個單位的晚餐，設費用為f，則f，由題意知：畫出可行域：變換目標函數(shù)：20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式.w_w w. k#s5_u.c o*m（1）求，的值；（2）寫出在上的表達式，并討論函數(shù)在上的單調性；（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（2）當時，當時，當時，f(x)= c. 當時，此時：21.（本小題滿分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知曲線，點是曲線上的點（n=1,2,）.（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求試點的坐標；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）設與為兩個給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點的坐標，證明：w絕密啟用前 2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學試題注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）。本卷滿分160分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將本卷和答題卡一并交回。2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符。4.請在答題卡上按照晤順序在對應的答題區(qū)域內作答，在其他位置作答一律無效。作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整，筆跡清楚。5.如需作圖，須用2b鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。參考公式：錐體的體積公式: v錐體=sh，其中s是錐體的底面積，h是高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應的位置上.1、設集合a=-1,1,3，b=a+2,a2+4,ab=3，則實數(shù)a=_.【答案】1解析 考查集合的運算推理。3b, a+2=3, a=1.2、設復數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_.【答案】2 解析 考查復數(shù)運算、模的性質。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i與3+2 i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_ _.【答案】 解析考查古典概型知識。4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長度小于20mm?！敬鸢浮?0 解析考查頻率分布直方圖的知識。100（0.001+0.001+0.004）5=305、設函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xr)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=_【答案】-1 解析考查函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=1。6、在平面直角坐標系xoy中，雙曲線上一點m，點m的橫坐標是3，則m到雙曲線右焦點的距離是_【答案】4 解析考查雙曲線的定義。，為點m到右準線的距離，=2，mf=4。7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出s的值是_【答案】63 解析考查流程圖理解。輸出。8、函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_【答案】21 解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得，所以。9、在平面直角坐標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_來源【答案】（-13，13） 解析考查圓與直線的位置關系。 圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為p，過點p作pp1x軸于點p1，直線pp1與y=sinx的圖像交于點p2,則線段p1p2的長為_。【答案】 解析 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結合思想。線段p1p2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段p1p2的長為11、已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_?！敬鸢浮?解析 考查分段函數(shù)的單調性。12、設實數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是 。來源【答案】27 解析 考查不等式的基本性質，等價轉化思想。，的最大值是27。13、在銳角三角形abc，a、b、c的對邊分別為a、b、c，則=_?！敬鸢浮? 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應用，等價轉化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結論對于角a、b和邊a、b具有輪換性。當a=b或a=b時滿足題意，此時有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則s的最小值是_?！敬鸢浮?解析 考查函數(shù)中的建模應用，等價轉化思想。一題多解。設剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，s的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當時，s的最小值是。二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xoy中，點a(1,2)、b(2,3)、c(2,1)。(1) 求以線段ab、ac為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設實數(shù)t滿足()=0，求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14分。（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為d，兩條對角線的交點為e，則:e為b、c的中點，e（0，1）又e（0，1）為a、d的中點，所以d（1，4） 故所求的兩條對角線的長分別為bc=、ad=；（2）由題設知：=(2,1)，。由()=0，得：，從而所以?；蛘撸?，16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求證：pcbc；(2) 求點a到平面pbc的距離。解析 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。（1）證明：因為pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc。由bcd=900，得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd。因為pc平面pcd，故pcbc。（2）（方法一）分別取ab、pc的中點e、f，連de、df，則：易證decb，de平面pbc，點d、e到平面pbc的距離相等。又點a到平面pbc的距離等于e到平面pbc的距離的2倍。由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因為pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f。易知df=，故點a到平面pbc的距離等于。（方法二）體積法：連結ac。設點a到平面pbc的距離為h。因為abdc，bcd=900，所以abc=900。從而ab=2，bc=1，得的面積。由pd平面abcd及pd=1，得三棱錐p-abc的體積。因為pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc。又pd=dc=1，所以。由pcbc，bc=1，得的面積。由，得，故點a到平面pbc的距離等于。17、（本小題滿分14分）某興趣小組測量電視塔ae的高度h(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿bc的高度h=4m，仰角abe=，ade=。(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出h的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？解析 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。（1），同理：，。 adab=db，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度h是124m。（2）由題設知，得，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，-最大。故所求的是m。18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a、b，右焦點為f。設過點t（）的直線ta、tb與橢圓分別交于點m、，其中m0,。（1）設動點p滿足,求點p的軌跡；（2）設，求點t的坐標；（3）設,求證：直線mn必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設點p（x，y），則：f（2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點p的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：m（2，）、n（，）直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點t的坐標為。（3）點t的坐標為直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當時，直線mn方程為： 令，解得：。此時必過點d（1，0）；當時，直線mn方程為：，與x軸交點為d（1，0）。所以直線mn必過x軸上的一定點d（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線mn的方程為，過點d（1，0）。若，則，直線md的斜率，直線nd的斜率，得，所以直線mn過d點。因此，直線mn必過軸上的點（1，0）。19、（本小題滿分16分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；（2）設為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡，得：，當時，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對滿足題設的，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當時，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。20、（本小題滿分16分）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有0，使得，則稱函數(shù)具有性質。(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質； (ii)求函數(shù)的單調區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質。給定設為實數(shù)，且，若|0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調性知、，從而有|，符合題設。當時，于是由及的單調性知，所以|，與題設不符。當時，同理可得，進而得|，與題設不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。數(shù)學（附加題）21.選做題本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。a 選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線于點c，若da=dc，求證：ab=2bc。解析 本題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結od，則：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）證明：連結od、bd。因為ab是圓o的直徑，所以adb=900，ab=2 ob。因為dc 是圓o的切線，所以cdo=900。又因為da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，從而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。b 選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xoy中，已知點a(0,0)，b(-2,0)，c(-2,1)。設k為非零實數(shù)，矩陣m=,n=，點a、b、c在矩陣mn對應的變換下得到點分別為a1、b1、c1，a1b1c1的面積是abc面積的2倍，求k的值。解析 本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設得由，可知a1（0，0）、b1（0，-2）、c1（，-2）。計算得abc面積的面積是1，a1b1c1的面積是，則由題設知：。所以k的值為2或-2。c 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值。解析 本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉化問題的能力。滿分10分。解：，圓=2cos的普通方程為：，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。d 選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）設a、b是非負實數(shù)，求證：。解析 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。（方法一）證明：因為實數(shù)a、b0，所以上式0。即有。（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得當時，從而，得；當時，從而，得；所以。必做題第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22、 （本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20