powerpoint演示文稿-代數(shù)系統(tǒng)的基本概念.ppt

數(shù)學(xué)模型：針對(duì)某個(gè)具體問題選用適宜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去進(jìn)行較為確切的描述。 代數(shù)結(jié)構(gòu)：由對(duì)象集合及運(yùn)算組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一類特殊的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 格和布爾代數(shù)-硬件設(shè)計(jì)和通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的工具； 半群-自動(dòng)機(jī)和形式語(yǔ)言研究； 關(guān)系代數(shù)-關(guān)系型數(shù)據(jù)庫(kù)； 有限域-通訊中編碼的基礎(chǔ)。,第5章 代數(shù)系統(tǒng)的基本概念,5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì) 5.2 代數(shù)系統(tǒng) *5.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu) 5.4 例題選解 習(xí) 題 五,5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì),定義5.1.1 設(shè)A是集合，函數(shù)f：AnA稱為集合A上的n元代數(shù)運(yùn)算（operators），整數(shù)n稱為運(yùn)算的階（order）。 當(dāng)n=1時(shí)，f：AA稱為集合A中的一元運(yùn)算。 當(dāng)n=2時(shí)，f：AAA稱為集合A中的二元運(yùn)算。,集合和它上面的運(yùn)算所遵從的算律構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)。 集合中的代數(shù)運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是集合中的一類函數(shù)。,一般地，二元運(yùn)算用算符 ，*，等等表示，并將其寫于兩個(gè)元素之間，如ZZZ的加法。 F(2,3)=+(2,3)=2+3=5 注意到RanfA，即運(yùn)算結(jié)果是A中的元素，這稱為運(yùn)算的封閉性。另外，運(yùn)算是函數(shù)，要具備函數(shù)所具有的對(duì)每一個(gè)自變?cè)形ㄒ坏南竦奶匦浴?【例5.1.1】 下面均是一元運(yùn)算的例子。 （1）在Z集合上（或Q，或R）， f：ZZ， xZ，f(x)=-x。 （2）在A=0, 1集合上，f：AA， pA， f(p)=p，表示否定。 （3）在R+集合上，f：R+R+， xR+，f(x)= 1/x （但在R上，倒數(shù)不是一元運(yùn)算，因?yàn)?無像）。,【例5.1.2】 下面均是二元運(yùn)算的例子。 （1）在Z集合上（或Q，或R），f：ZZZ， x,yZ2，f(x,y)=x+y(或f(x,y)=x-y 或f(x,y)=xy)，如f(2,3)=5。 （2）A為集合，P(A)為其冪集。f：P(A)P(A)P(A)。 f可以是、-、 。 （3）A=0,1。f：AAA。f可以是、。,（4）AA=f | f：AA?！?(復(fù)合)”是AA上的二元運(yùn)算。 當(dāng)A是有窮集合時(shí)，運(yùn)算可以用運(yùn)算表給出。如A=0,1,2,3,4,5，二元運(yùn)算“ ” 的定義見表5.1.1。,表 5.1.1,0 1 2,事實(shí)上，對(duì)于表5.1.1，我們可觀察看出其運(yùn)算為 (x,y)=x y (mod3) 其中，是普通乘法。 而對(duì)于表5.1.2，此時(shí)的*運(yùn)算應(yīng)是在集合0,1上的（邏輯合取運(yùn)算符）。,表 5.1.2,下面介紹二元運(yùn)算的性質(zhì)。 定義5.1.2 設(shè)*， 均為集合S上的二元運(yùn)算。 (1)若xyz(x,y,zSx*(y*z)=(x*y)*z)，則稱*運(yùn)算滿足結(jié)合律。 (2)若xy(x,ySx*y=y*x)，則稱*運(yùn)算滿足交換律。 (3)若xyz(x,y,zSx*(y z)=(x*y) (x*z)，則稱*運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足左分配律； 若xyz(x,y,zS(y z)*x=(y*x) (z*x)， 則稱*運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足右分配律。 若二者均成立，則稱*運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足分配律。,（4）設(shè)*， 均可交換，若x，yA，有 x*(x y)=x x (x*y)=x 則稱運(yùn)算*和 運(yùn)算滿足吸收律。 （5）若 x(xA，x*x=x)，則稱*運(yùn)算滿足冪等律。,【例5.1.3】 加法、乘法運(yùn)算是自然數(shù)集上的二元運(yùn)算，減法和除法便不是。但是減法是有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算，除法卻仍不是。加法、乘法滿足結(jié)合律、交換律，乘法對(duì)加法、減法滿足分配律，減法不滿足這些定律。乘法“ ” 對(duì)加法“+” 運(yùn)算滿足分配律（對(duì)“-” 也滿足）。但加法“+” 對(duì)乘法“ ” 運(yùn)算不滿足分配律。,【例5.1.4】 設(shè)A是集合，在A的冪集P(A)上的二元運(yùn)算并、交滿足交換律、結(jié)合律、吸收律、冪等律且彼此滿足分配律。 【例5.1.5】 設(shè)A=a,b，A上的運(yùn)算*、 分別如表5.1.3、5.1.4所示。,表 5.1.3 表5.1.4,解 從*運(yùn)算表可知，*是可交換的。因?yàn)?(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a 所以*是可結(jié)合的。 從運(yùn)算表可知，是可交換的。因?yàn)?(aa)b=ab=a a(ab)=aa=a (ab)b=ab=a a(bb)=ab=a 所以是可結(jié)合的。,（1） b(a*b)=bb=b (ba)*(bb)=a*b=b （2） a(a*b)=ab=a (aa)*(ab)=a*a=a b(a*a)=ba=a (ba)*(ba)=a*a=a b(b*b)=ba=a (bb)*(bb)=b*b=a a(a*a)=aa=a (aa)*(aa)=a*a=a a(b*b)=aa=a (ab)*(ab)=a*a=a 所以對(duì)*是可分配的。（由于運(yùn)算滿足交換律成立，因此右分配也成立。）,（3）b*(ab)=b*a=b (b*a)(b*b)=ba=a 故*對(duì)是不可分配的。 又由a*(ab)=a*a=a及上面（1）（2）（3）式可知和*滿足吸收律。由運(yùn)算表可知，滿足冪等律，而*不滿足冪等律。 下面我們來定義與集合A中的二元運(yùn)算有關(guān)的集合A中的特異元素。,定義5.1.3 設(shè)*是集合S中的一種二元運(yùn)算，如果存在erS(elS)且對(duì)任意元素xS均有x*er=x(el*x=x)，則稱元素er(el) 為S中關(guān)于運(yùn)算*的右幺元(左幺元)或右單位元(左單位元)。 定理5.1.1 設(shè)*是S中的二元運(yùn)算且er與el分別是對(duì)于*的右幺元和左幺元，則er=el=e，使對(duì)任意元素xS有x*e=e*x=x，稱元素e為關(guān)于運(yùn)算*的幺元(identityelements)且唯一。,證明 因?yàn)閑r和el分別是*的右幺元和左幺元，故有 el*er=el，el*er=er，所以er=el， 令其為e，有x*e=e*x=x 設(shè)另有一幺元為右幺元e，那么 e=e*e=e 故e對(duì)*是唯一的幺元。,【例5.1.6】 在實(shí)數(shù)集R中，對(duì)加法“+“運(yùn)算，0是幺元； 在實(shí)數(shù)集 R 中，對(duì)乘法“運(yùn)算，1是幺元； 對(duì)于全集E的子集的并“運(yùn)算，是幺元； 對(duì)于全集E的子集的交“運(yùn)算，E是幺元; 在命題集合中，對(duì)于吸取“運(yùn)算，矛盾式是幺元； 在命題集合中，對(duì)于合取“運(yùn)算，重言式是幺元； 在AA=f | f：AA中，對(duì)于復(fù)合“運(yùn)算，IA是幺元。,定義5.1.4 設(shè)*是集合S中的一種二元運(yùn)算，如果存在rS(lS)且對(duì)任意元素 xS均有x*r=r(l*x=l)，則稱元素r(l)是S中關(guān)于運(yùn)算*的右零元(左零元)。 定理5.1.2 設(shè)*是S中的二元運(yùn)算且r與l分別是對(duì)于*的右零元和左零元，則r=l=，使對(duì)任意元素xS有x*=*x=，稱元素是S中關(guān)于運(yùn)算*的零元(zero)且唯一。,證明 因?yàn)閞和l分別是*的右零元和左零元，故有l(wèi)*r=l，l*r=r，所以r=l。令其為，有 x*=*x= 設(shè)另有一零元為右零元，那么 =*= 故對(duì)S中的*運(yùn)算是唯一的零元。 證畢 同樣，需強(qiáng)調(diào)零元是針對(duì)于哪個(gè)運(yùn)算的。,【例5.1.7】 在實(shí)數(shù)集 R 中，對(duì)加法“+“運(yùn)算，沒有零元； 在實(shí)數(shù)集 R 中，對(duì)乘法“運(yùn)算，0是零元； 對(duì)于全集E的子集的并“運(yùn)算，E是零元； 對(duì)于全集E的子集的交“運(yùn)算，是零元; 在命題集合中，對(duì)于吸取“運(yùn)算，重言式是零元； 在命題集合中，對(duì)于合取“運(yùn)算，矛盾式是零元。,【例5.1.8】 設(shè)Sa,b,c，S上*運(yùn)算由運(yùn)算表(如表5.1.5所示)確定，那么b是右零元，a是幺元。 我們注意到，關(guān)于同一運(yùn)算可能同時(shí)有幺元和零元，甚至可能有這樣的元素，它關(guān)于同一運(yùn)算既是左（右）幺元，又是右（左）零元，,例如表5.1.5第一行（不計(jì)表頭）改為三個(gè)a時(shí)，那么*運(yùn)算有左零元a和右幺元a。,表 5.1.5,定義5.1.5 設(shè)*是集合S中的一種二元運(yùn)算，且S中對(duì)于*有e為幺元，x, y為S中元素。若x*ye，那么稱x為y的左逆元，y為x的右逆元，若x對(duì)于*運(yùn)算既有左逆元又有右逆元，則稱x是左、右可逆的。若x左右均可逆，稱x可逆。 顯然對(duì)于二元運(yùn)算*，若*是可交換的，則任何左（右）可逆的元素均可逆。,定理5.1.3 設(shè)*是集合S中的一個(gè)可結(jié)合的二元運(yùn)算，且S中對(duì)于*有e為幺元，若xS是可逆的，則其左、右逆元相等，記作x -1，稱為元素x對(duì)運(yùn)算*的逆元（inverseelements）且是唯一的。（x的逆元通常記為 x -1；但當(dāng)運(yùn)算被稱為“加法運(yùn)算“（記為+）時(shí)，x的逆元可記為-x。） 由逆元定義知，若x-1存在，則 x-1*x=x*x-1=e。,證明 設(shè)xr和xl分別是x對(duì)*運(yùn)算的右逆元和左逆元，故有 xl*x=x*xr=e 由于*可結(jié)合，于是 xl=xl*e=xl*(x*xr)=(xl*x)*xr=e*xr=xr 故xl=xr。 假設(shè)x1 -1，x2 -1均是對(duì)*的逆元，則 x 1-1 = x 1-1 *e= x 1-1 *(x* x2 -1) = (x 1-1 *x)* x2 -1 =e* x2 -1= x2 -1 由x1 -1 =x 2 -1 ，故唯一性成立。,定理5.1.4 設(shè)*是集合S中的一個(gè)可結(jié)合的二元運(yùn)算，且e為S中對(duì)于*的幺元，x有逆元x-1，則(x -1 ) -1 =x。 證明 (x -1 ) -1 =(x -1 ) -1 *e = (x -1 ) -1 *(x -1 *x)=(x -1 ) -1 *x -1 )*x=e*x=x。得證。 由以上討論可得結(jié)論： （1）e -1 =e。 （2）并非每個(gè)元素均可逆。,【例5.1.9】 （1）在自然數(shù)集合N上，對(duì)于數(shù)乘“運(yùn)算，只有數(shù)1有逆元1，對(duì)于數(shù)加“+“運(yùn)算，只有數(shù)0有逆元0?？傊?，任何代數(shù)結(jié)構(gòu)其幺元恒有逆元，逆元為其自身。 （2）在整數(shù)集合I上（+，的定義同上），I上每個(gè)元素均有加法逆元，但除1以外的數(shù)都沒有乘法逆元。對(duì)任意xI，x的逆元是-x。,（3）在有理數(shù)集合Q上（+，的定義同上），Q上每個(gè)元素x，都有加法逆元-x，除0以外的每個(gè)元素x都有乘法逆元x -1 =1/x。 （4）在P(A)中，對(duì)于運(yùn)算，其幺元為，每個(gè)元素B（B）均無逆元；對(duì)于運(yùn)算，其幺元為A，每個(gè)元素B（BA）均無逆元。 （5）在集合AA（其中AAf|f：AA）中， 為函數(shù)的合成運(yùn)算，恒等函數(shù)IA為幺元，從而A中所有雙射函數(shù)都有逆元，所有單射函數(shù)都有左逆元，所有滿射函數(shù)都有右逆元。,定理5.1.5 設(shè)*是S上的二元運(yùn)算，e為幺元，為零元，并且|S|2，那么無左（右）逆元。 證明 首先，e，否則S中另有元素a，a不是么元和零元，從而 *ae*aa 與a不是零元矛盾，故e得證。 再用反證法證無左（右）逆元，即可設(shè)有左(右)逆元x，那么 =x*=e (=*x=e) 與e矛盾，故無左（右）逆元。得證。,【例5.1.10】 有理數(shù)集合Q上的加法“+”運(yùn)算與乘法“”運(yùn)算，10的加法逆元是 -10，乘法逆元是1/10；而-10的加法逆元是10，乘法逆元是-1/10。 當(dāng)一個(gè)集合中每一元素都有逆元時(shí)，可以認(rèn)為該集合上定義了一個(gè)一元求逆運(yùn)算。與逆元概念密切相關(guān)的是可約性概念。,定義5.1.6 設(shè)*是集合S中的一個(gè)二元運(yùn)算，aS，a，如果a滿足：對(duì)任意 x，yS 均有 （1）a*x=a*yx=y （2）x*a=y*ax=y 則稱元素a對(duì)*是可約（可消去）的(cancelable)，當(dāng)a滿足(1)式時(shí)，也稱a是左可約（左可消去）的，當(dāng)a滿足(2)式時(shí)，也稱a是右可約（右可消去）的。,特別地，若對(duì)任意x，y， zS，有 （x*y=x*z）xy=z （y*x=z*x）xy=z 則稱運(yùn)算*滿足消去律（可約律）。,定理5.1.6 若*是S中滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算，且元素a有逆元(左逆元，右逆元)，則a必定是可約的(左可約的，右可約的)。 證明 設(shè)a的逆元為a-1 ，對(duì)任意元素x, yS，設(shè)a*x=a*y及x*a=y*a，可得 a -1 *(a*x)=a -1 *(a*y) (x*a)*a -1 =(y*a)*a -1 即 (a -1 *a)*x=(a -1 *a)*y x*(a*a -1 )=y*(a*a -1 ) 均可推得x=y。因此，a是可約的。,當(dāng)S是有窮集合時(shí)，其上的二元運(yùn)算常可用運(yùn)算表給出，運(yùn)算的一些性質(zhì)可直接由運(yùn)算表看出。 (1)二元運(yùn)算滿足可交換性的充分必要條件是運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱。 (2)二元運(yùn)算滿足冪等性的充分必要條件是運(yùn)算表主對(duì)角線上的每個(gè)元素與它所在行、列的表頭元素相同。,(3)二元運(yùn)算有幺元的充分必要條件是該元素對(duì)應(yīng)的行和列依次與該表表頭的行、列相一致。 (4)二元運(yùn)算有零元的充分必要條件是運(yùn)算表中該元素所對(duì)應(yīng)的行、列元素均與該元素相同。 (5)二元運(yùn)算中a與b互為逆元素的充分必要條件是運(yùn)算表中位于a所在行、b所在列的元素及b所在行、a所在列的元素都是幺元。,【例5.1.11】 N4是整數(shù)中模4同余產(chǎn)生的等價(jià)類集合，N4=0,1,2,3， N4上運(yùn)算+4，4定義為 m+4n=(m+n)mod 4 m4n=(mn)mod 4 其中m，n0,1,2,3，運(yùn)算表如表5.1.6、5.1.7所示。,解 由表5.1.6可知，0為幺元， 1-1 =3，2-1 =2，無零元。 由表5.1.7可知，1為幺元， 3-1 =3，0,2無逆元，0為零元。,補(bǔ)充（1）設(shè)Z是整數(shù)集，g：Z2Z是一個(gè)運(yùn)算 x*y=xgy=g(x,y)=x+y-xy 說明運(yùn)算*是否為可交換的、可結(jié)合的，確定關(guān)于運(yùn)算*的幺元、零元和所有可逆元素的逆元。 解：顯然，運(yùn)算*是封閉的。由于x，y的對(duì)稱性，因此*是可交換的。 由于(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz) 故*是可結(jié)合的。 由于運(yùn)算*是可交換的，故如果對(duì)于x Z存在左幺元，這也是右幺元，即是x的幺元。設(shè)x的幺元為e，則有e+x-ex=x，即e(1-x)=0，要使此式對(duì)任何x都成立，只有e=0。所以Z中任何元的幺元是e=0。,如果對(duì)于xZ，x有零元，則有+x-x=，即有x(1- )= 0 ，要使此式對(duì)任何x都成立，只有 =1 。所以對(duì)于任何x Z，其零元 =1。 由于Z中的幺元e=0，故若aZ的逆元x存在，則x*a=e=0，即x+a-xa=0。故x(a-1)=a，顯見a1，故x=a/(a-1)=1+1/(a-1)，對(duì)整數(shù)x，由此給出1/(a-1)是整數(shù)，即(a-1)=1，故x=2，a=2；x=0，a=0，說明Z中僅有0，2分別由逆元0，2。 （2）設(shè)*為實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算，任何xR有x*y=x+y-2xy，說明*是否為可交換的、可結(jié)合的，確定關(guān)于運(yùn)算*的幺元、零元和所有冪等元及可逆元素的逆元。,5.2 代 數(shù) 系 統(tǒng),定義5.2.1 代數(shù)結(jié)構(gòu)是由以下三個(gè)部分組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)： （1）非空集合S。 （2）集合S上的若干運(yùn)算。 （3）一組刻畫集合上各運(yùn)算所具有的性質(zhì)。 代數(shù)結(jié)構(gòu)常用一個(gè)多元序組S，*，來表示，其中S是集合，*，為各種運(yùn)算。S稱為基集，各運(yùn)算組成的集合成為運(yùn)算集，代數(shù)結(jié)構(gòu)也稱為代數(shù)系統(tǒng)。,【例5.2.1】 （1）以實(shí)數(shù)集 R 為基集，數(shù)加運(yùn)算“為二元運(yùn)算組成一代數(shù)系統(tǒng)，記為R，。 （2）以全體nn實(shí)數(shù)矩陣組成的集合M為基集，矩陣加“ ”為二元運(yùn)算，組成一代數(shù)系統(tǒng)，記為M， 。,（3）以集合A的冪集P(A)為基集，以集合并、交、補(bǔ)為其二元運(yùn)算和一元運(yùn)算，組成一代數(shù)結(jié)構(gòu)，記為P(A), 。有時(shí)為了突出全集E及空集在P(A)中的特殊地位，也可將這一代數(shù)結(jié)構(gòu)記為P(A), , A,。這個(gè)系統(tǒng)就是常說的冪集代數(shù)系統(tǒng)。以上的(1)，(2)，(3)均稱為具體代數(shù)系統(tǒng)，其運(yùn)算滿足的性質(zhì)未列出。,（4）設(shè)S為一非空集合，*為S上滿足結(jié)合律、交換律的二元運(yùn)算，那么S, *為代數(shù)結(jié)構(gòu)，稱為一個(gè)抽象代數(shù)系統(tǒng)，即一類具體代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象。例如R, +，M, ，P(A),，P(A),都是S, *的具體例子。 （5）R,+,-,Z,+,-,均是代數(shù)系統(tǒng)，但我們不能寫Z,R,N,-，因?yàn)樗鼈儾皇谴鷶?shù)系統(tǒng)，它們的運(yùn)算不封閉。,定義5.2.2 如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)的階數(shù)也相同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)具有相同的構(gòu)成成分，也稱它們是同類型的代數(shù)系統(tǒng)。 例如命題代數(shù)與冪集代數(shù)：P(A),-, A,與R,+,-,0,1(這里“-“指一元運(yùn)算相反數(shù))。,定義5.2.3 設(shè)*是S上的n元運(yùn)算（n1，2，），TS，如果對(duì)任意元素x1，x2，xnT，*(x1，x2，xn)T，稱*運(yùn)算對(duì)T封閉（c1osed）。 【例5.2.2】 設(shè)E為非負(fù)偶數(shù)集，M為非負(fù)奇數(shù)集，那么定義于N上的數(shù)加運(yùn)算對(duì)E封閉，對(duì)M不封閉，數(shù)乘運(yùn)算對(duì)E和M都封閉。,定義5.2.4 設(shè)S,*是代數(shù)系統(tǒng)，如果有非空集合T滿足 （1）TS （2）運(yùn)算*對(duì)T封閉 則稱T,*為代數(shù)系統(tǒng)S,*的子代數(shù)系統(tǒng)，或子代數(shù)（subalgebra）。 根據(jù)定義，子代數(shù)必為一代數(shù)系統(tǒng)，*運(yùn)算所滿足的性質(zhì)顯然在子代數(shù)中仍能得到滿足。 【例5.2.3】 在例5.2.2中，對(duì)N，+而言， E，+為其子代數(shù)，N，0，為其平凡子代數(shù)，M，不構(gòu)成其子代數(shù)。,5.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu),定義5.3.1 設(shè)S,*及T,。均為代數(shù)系統(tǒng)，如果函數(shù)f:ST對(duì)S中任何元素a，b，有 f（a*b）f（a）。f（b） （5.3.1） 稱函數(shù)f為（代數(shù)系統(tǒng)S到T的）同態(tài)映射，或同態(tài)（homomorphism），當(dāng)同態(tài)f為單射時(shí)，又稱f為單一同態(tài)；當(dāng)f為滿射時(shí)，又稱f為滿同態(tài)；,當(dāng)f為雙射時(shí)，又稱f為同構(gòu)映射，或同構(gòu)（isomorphism）。當(dāng)兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)間存在同構(gòu)映射時(shí)，也稱這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，記為ST。當(dāng)f為S,*到S,*的同態(tài)（同構(gòu)）時(shí),稱f為S的自同態(tài)（自同構(gòu)）。式（5.3.1）稱為同態(tài)f的同態(tài)方程。,【例5.3.1】 （1）設(shè)f: RR 為f（x）=ex（ R 為實(shí)數(shù)集），那么,f為R,+到R,的同態(tài)。因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有 f（x+y）e x+y =exey=f（x）f（y） 由f的定義還可知f為單一同態(tài)。 但是當(dāng)f： RR+ 為f（x）ex（ R+ 為正實(shí)數(shù)集），那么f為 R,+到R+, 的同構(gòu)映射，換言之 R,+與R+, 同構(gòu)。,（2）設(shè)h: RR 為h(x)=2x，那么h為 R,+到R,+的自同態(tài)，因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)x，y，有 h（x+y）=2（x+y）2x+2y=h（x）+h（y） 并且h為自同構(gòu)。 識(shí)別和證明兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否同構(gòu)是十分重要的代數(shù)學(xué)基本技能。,【例5.3.2】 有代數(shù)系統(tǒng)Z,和代數(shù)系統(tǒng)B,其中是普通乘法，定義見表5.3.1，B=1,0,-1。定義映射f:ZB,nZ,n0 n=0 n0,則a,bZ,有,a,b同正或同負(fù),a,b至少有一個(gè)為0,a,b異號(hào),f(a)=f(b)0,f(a),f(b)至少有一個(gè)為0,f(a)f(b) 且非0,a,b同正或同負(fù),a,b至少有一為0,a,b異號(hào),所以f(ab)=f(a)f(b)。f是Z,到B,的同態(tài)，且f(Z)=B。 需要指出的是，同態(tài)映射并不是唯一的。如例5.3.1中的（1）的同態(tài)映射可取不同的底數(shù)。,表 5.3.1,【例5.3.3】 設(shè)A=a,b,c,dB=0,1,2,3,*,+4定義見表5.3.2和5.3.3。證明：A,*和B,+4是同構(gòu)的。,表 5.3.2,表 5.3.3,證明 設(shè)f:AB,f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3 顯然f是雙射，又*，+4均是可交換的。 f(a*b)=f(b)=1 f(a)+4f(b)=0+41=1 f(a*c)=f(c)=2 f(a)+4f(c)=0+42=2 f(a*d)=f(d)=3 f(a)+4f(d)=0+43=3 f(a*a)=f(a)=0 f(a)+4f(a)=0+40=0 f(b*b)=f(c)=2 f(b)+4f(b)=1+41=2,f(b*c)=f(d)=3 f(b)+4f(c)=1+42=3 f(b*d)=f(a)=0 f(b)+4f(d)=1+43=0 f(c*c)=f(a)=0 f(c)+4f(c)=2+42=0 f(c*d)=f(b)=1 f(c)+4f(d)=2+43=1 f(d*d)=f(c)=2 f(d)+4f(d)=3+43=2 故f是A,*到B,+4的同構(gòu)。,同構(gòu)是一個(gè)重要的概念，由上例可以說明不同形式的代數(shù)系統(tǒng)，如果它們之間存在同構(gòu)，可以抽象地將它們看為本質(zhì)上是一樣的代數(shù)系統(tǒng)，不同之處只是所使用的符號(hào)不一樣。 注意到例5.3.3中，A對(duì)于*運(yùn)算，a是幺元，b、d互逆，a、c均以自身為逆元；B對(duì)于+4運(yùn)算，0(=f(a)是幺元，1(=f(b)、3(=f(d)互逆，0(=f(a)、2(=f(c)均以自身為逆元。,定義5.3.2 設(shè)f為代數(shù)系統(tǒng)S,*到T,。的同態(tài)映射，那么稱f(S)為f的同態(tài)象（image under homomorphism）。 定理5.3.1 設(shè)f為代數(shù)系統(tǒng)S,*到T,。的同態(tài)，那么同態(tài)象f（S）與。構(gòu)成T,。的一個(gè)子代數(shù)。 證明 只要證f(S）對(duì)運(yùn)算。封閉即可。為此設(shè)a，b為f（S）中任意兩個(gè)元素，且f（a）=a,f（b）=b，那么 a。b=f（a）。f（b）=f（a(b）f（S） 故f（S）對(duì)運(yùn)算。封閉，f（S），。為T的子代數(shù)。,定理5.3.2 設(shè)f是代數(shù)系統(tǒng)S,*到T,。的滿同態(tài)（這里*,。均為二元運(yùn)算），那么 （1）當(dāng)運(yùn)算*滿足結(jié)合律、交換律時(shí)，T中運(yùn)算。也滿足結(jié)合律、交換律。 （2）如果S,*關(guān)于*有幺元e，那么f（e）是T,。中關(guān)于。的幺元。 （3）如果x -1 是S,*中元素x關(guān)于*的逆元，那么 f（x -1 ）=(f(x) -1 是T,。中元素f(x)關(guān)于。的逆元。 （4）如果S,*關(guān)于*有零元，那么f（）是T,。中關(guān)于。的零元。,證明 僅證（2）、（3）。 （2）設(shè)S,*有關(guān)于*的幺元e。考慮T中任一元素b,因?yàn)閒是滿射，所以必存在一個(gè)元素aS使b=f(a)，那么 b。f（e）=f（a）。f（e）=f（a*e）=f（a）=b f（e）。b=f（e）。f（a）=f（e*a）=f（a）=b 因此f（e）為T中關(guān)于。的幺元。,（3）設(shè)S,*中元素x有關(guān)于*的逆元x -1 ，考慮 f（x）與f（x -1 ），那么 f（x）。f（x -1 ）=f（x*x -1 ）=f（e） f（x -1 ）。f(x）=f（x -1 *x）=f（e） 這就是說,T中f（x）有關(guān)于。的逆元f（x -1 ）,即 （f（x） -1 f（x -1 ） 這表明，同態(tài)也是保持一元求逆運(yùn)算的。 （4）關(guān)于零元的證明可仿上進(jìn)行，留給讀者完成。,需要強(qiáng)調(diào)指出，上述定理中滿同態(tài)的條件是必要的，否則性質(zhì)只在同態(tài)像上有效，決不能隨意擴(kuò)大到T,。上，下面將舉例說明這一點(diǎn)。對(duì)于具有多個(gè)代數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)同類型系統(tǒng)，同態(tài)是指相應(yīng)的n個(gè)同態(tài)方程均成立。一般同態(tài)無法保持消去律。因?yàn)橥瑯?gòu)映射是雙射， 所以不僅保持性質(zhì)而且可逆，此時(shí)可將兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)視為一個(gè)，只是運(yùn)算、元素符號(hào)不同。下面我們要討論同態(tài)核的概念。,定義5.3.3 如果f為代數(shù)系統(tǒng)S,*到T,。的同態(tài)，并且T中有幺元e，那么稱下列集合為同態(tài)f的核（kernel of homomorphism），記為K（f）。 K（f）=x|xSf（x）e 關(guān)于同態(tài)核我們有定理5.3.3。 定理5.3.3 設(shè)f為代數(shù)系統(tǒng)S,*到T,。的同態(tài)，如果K（f），那么 K（f）,* 為S,*的子代數(shù)。,證明 只要證K（f）對(duì)*運(yùn)算封閉即可。設(shè)K（f）中任意元素x,y，于是f（x）= f（y）=e。 考慮 f（x*y）=f（x）。f（y）=e。e=e 因此x*yK（f），故K（f）,*為S,*的子代數(shù)。 至此我們看到，一個(gè)同態(tài)映射f可導(dǎo)致兩個(gè)子代數(shù)，一個(gè)是T,。的子代數(shù)f（S）,。, 另一個(gè)是S,*的子代數(shù)K（f）,*。,5.4 例 題 選 解,【例5.4.1】 設(shè)*和+是集合S上的兩個(gè)二元運(yùn)算，并滿足吸收律。 證明：*和+均滿足冪等律。 證明 x，yS，因?yàn)槲章沙闪?，所?x*x=x*（x+（x*y）=x x+x=x+（x*（x+y）=x 因此，*和+均滿足冪等律。,【例5.4.2】 設(shè)*和+是集合S上的兩個(gè)二元運(yùn)算， x，yS，均有x+y=x。 證明：*對(duì)于+是可分配的。 證明 x，y，zS，因?yàn)閤+y=x，所以 x*（y+z）=x*y 而 （x*y）+（x*z）=x*y 故x*（y+z）=（x*y）+（x*z） 左分配律成立。,又因?yàn)?（y+z）*x=y*x 而 （y*x）+（z*x）=y*x 故 （y+z）*x=（y*x）+（z*x） 右分配律成立。 因此，*對(duì)于+是可分配的。,【例5.4.3】 （1）設(shè)N4=0，1，2,3，f：N4N4定義如下:,當(dāng)x+14,當(dāng)x+1=4,令F=f0,f1,f2,f3，其中f0為N4上的恒等函數(shù)。易證F,。為一代數(shù)系統(tǒng)，且 fi。fj=f i+ 4j ， 試證F,。與N 4,+4同構(gòu)。 （2）證明代數(shù)系統(tǒng)N,+與N,不同構(gòu)。,解 (1)證明：建立雙射h:FN4，使 h（fi）i（i=0，l，2，3） 由于對(duì)任何fi,fjF， 故h為一同構(gòu)映射,F,。與N4,+4同構(gòu)得證。,(2)證明：(用反證法)設(shè)N,+與N,同構(gòu)， f為任一同構(gòu)映射。不失一般性，設(shè)有n，n2，f(n)為一質(zhì)數(shù)p。于是 p=f（n）=f(n+0)=f(n)f(0) （5.4.1） p=f（n）=f(n-1+1)=f(n-1)f(1) （5.4.2） 由f（n）為質(zhì)數(shù)，據(jù)式（5.4.1）,f（n）=1或f（0）=1；據(jù)式（5.4.2），f（n-l）=1或 f（1）=1。,【例5.4.4】 代數(shù)系統(tǒng)0，1，是否是代數(shù)系統(tǒng)N，+的同態(tài)象？（說明理由） 解 是。理由如下： 作映射f：N0，1，nN，令f（0）=0， f（n）=1（n0），則 n，mN,當(dāng)n，m0時(shí)，f（n+m）=1=11=f（n）f（m） 當(dāng)n=0，m0時(shí)，f（n+m）=1=01=f（n）f（m） 當(dāng)n0，m=0時(shí)，f（n+m）=1=10=f（n）f（m） 當(dāng)n=0，m=0時(shí)，f（n+m）=0=00=f（n）f（m） 即n，mN，均有f（n+m）=f（n）f（m），故f是N，+到0，1，的同態(tài)，因?yàn)閒是滿射，所以0，1，是N，+的同態(tài)象。,習(xí) 題 五,1.設(shè)集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,問下面定義的二元運(yùn)算*關(guān)于集合S是否封閉？ （1）x*y=x-y （2）x*y=x+y-xy （3）,（4）x*