高中數(shù)學(xué)第二章平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（一）學(xué)案（無答案）新人教A版.docx

2.4平面向量的數(shù)量積24.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)？答案與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)梳理?xiàng)l件非零向量a與b，a與b的夾角為結(jié)論數(shù)量|a|b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法向量a與b的數(shù)量積記作ab，即ab|a|b|cos規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案如圖所示，a，b，過B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影與向量a在向量b方向上的投影相同嗎？答案由投影的定義知，二者不一定相同梳理(1)條件：向量a與b的夾角為.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a|cos(3)ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？答案向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號(hào)由什么來決定？答案由兩個(gè)非零向量的夾角決定當(dāng)090時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)當(dāng)90時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零當(dāng)90180時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù)梳理設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為，(1)abab0.(2)當(dāng)ab時(shí)，ab(3)aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.1向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量()2向量a在向量b上的投影一定是正數(shù)()3在等邊ABC中，向量與向量夾角為60.()提示向量與向量夾角為120.類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求：(1)；(2)；(3).考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)與的夾角為60.|cos6011.(2)與的夾角為120，|cos12011.(3)與的夾角為60，|cos6011.反思與感悟求平面向量數(shù)量積的兩個(gè)方法(1)定義法：若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式ab|a|b|cos.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件(2)幾何意義法：若已知一向量的模及另一向量在該向量方向上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求ab.跟蹤訓(xùn)練1已知|a|4，|b|7，且向量a與b的夾角為120，求(2a3b)(3a2b)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2642547cos120672268.類型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解ab|a|b|cos55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中條件不變，求|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos55，|2ab|5.|a2b|5.反思與感悟求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2|a|2，即|a|，勿忘記開方跟蹤訓(xùn)練2已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解方法一|ab|2(ab)2a22abb2192ab4，ab3.|ab|2(ab)2a22abb2192316，|ab|4.方法二|ab|2(ab)2a22abb2，|ab|2(ab)2a22abb2，|ab|2|ab|22a22b2212920.又|ab|2，|ab|216，|ab|4.類型三求向量的夾角例3(1)設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60，求向量a2mn與b2n3m的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解|n|m|1且m與n夾角是60，mn|m|n|cos6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.設(shè)a與b的夾角為，則cos.又0，故a與b的夾角為.(2)已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，求a與ab的夾角及a與ab的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，使|，四邊形OACB為菱形，OC平分AOB，這時(shí)ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60，即a與ab的夾角為60.AOC60，AOB120，又|，OAB30，即a與ab的夾角為30.反思與感悟(1)求向量的夾角，主要是利用公式cos求出夾角的余弦值，從而求得夾角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，ab三者之間的關(guān)系，然后代入求解(2)求向量的夾角，還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解(3)求向量的夾角時(shí)，注意向量夾角的范圍是0，跟蹤訓(xùn)練3已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，求a與b的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解(a2b)(ab)|a|22|b|2ab2.|a|b|2，ab2，設(shè)a與b的夾角為，cos，又0，.1已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，則ab等于()A1B2C3D4考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析ab12cos1，故選A.2在等腰直角三角形ABC中，若C90，AC，則的值等于()A2B2C2D2考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案B解析|cosABC2cos452.3已知|a|8，|b|4，a，b120，則向量b在a方向上的投影為()A4B4C2D2考點(diǎn)平面向量的投影題點(diǎn)求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影為|b|cosa，b4cos1202.4已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC60，則等于()Aa2Ba2C.a2D.a2考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120.()2aacos60a2a2.5已知向量a，b的夾角為60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解(1)cd(2ab)(a2b)2a22b23ab24213219.(2)|c2d|2(4a3b)216a29b224ab16491242197，|c2d|.1兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a0，b0,090時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a0，b0,90180時(shí))，還可以為0(當(dāng)a0或b0或90時(shí))2兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來，絕不可混淆3求投影有兩種方法(1)b在a方向上的投影為|b|cos(為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos.(2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為.4兩非零向量a，b，abab0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|.一、選擇題1(2017遼寧大連二十中高一月考)設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|b|c|，abc，則a與b的夾角為()A150B120C60D30考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角答案B解析由|a|b|c|且abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22ab|b|22ab|a|22|a|b|cos|a|2cos120.2已知|a|3，|b|4，且a與b的夾角150，則ab等于()A6B6C6D6考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案C3已知a，b方向相同，且|a|2，|b|4，則|2a3b|等于()A16B256C8D64考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案A解析|2a3b|24a29b212ab1614496256，|2a3b|16.4已知|a|6，|b|3，ab12，則向量a在向量b方向上的投影是()A4B4C2D2考點(diǎn)平面向量的投影題點(diǎn)求向量的投影答案A解析根據(jù)投影的定義，設(shè)a，b的夾角為，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos4，故選A.5已知平面上三點(diǎn)A，B，C，滿足|3，|4，|5，則的值等于()A7B7C25D25考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析由條件知ABC90，所以原式045cos(180C)53cos(180A)20cosC15cosA201516925.6設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則ab等于()A1B2C3D5考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.7在ABC中，AB6，O為ABC的外心，則等于()A.B6C12D18考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖，過點(diǎn)O作ODAB于D，可知ADAB3，則()36018，故選D.二、填空題8(2017全國)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案2解析方法一|a2b|2.方法二(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.9設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60，則(2e1e2)(3e12e2)_.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案10(2017四川綿陽南山中學(xué)高一月考)已知在ABC中，ABAC4，8，則ABC的形狀是_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用答案等邊三角形解析|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，因?yàn)?BAC180，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等邊三角形11在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)，若1，則AB的長(zhǎng)為_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案解析如圖，由題意可知，.因?yàn)?，所以()1，即221.因?yàn)閨1，BAD60，所以式可化為1|21.解得|0(舍去)或|，所以AB的長(zhǎng)為.12已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.則向量a在向量ab方向上的投影為_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案解析(2a3b)(2ab)4a23b24ab416394ab61，解得ab6，|ab|2a2b22ab1691213，|ab|，設(shè)a與ab的夾角為，a(ab)a2ab10，cos，則a在ab方向上的投影為|a|cos4.三、解答題13如圖，在ABCD中，a，b，.(1)用a，b表示；(2)若|a|1，|b|4，DAB60，分別求|和的值考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)ab.(2)因?yàn)閨a|1，|b|4，DAB60，所以|22|b|2ab|a|214cos60.所以|.(ab)|a|2ab|b|214cos604.四、探究與拓展14已知向量a，b滿足|a|1，a與b的夾角為，若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|xa2b|ab|恒成立，則|b|的取值范圍為()A2，) B1,1C1，) D(，1)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和法則題點(diǎn)求向量的數(shù)量積的最值答案C解析對(duì)不等式|xa2b|ab|兩邊平方得，(xa2b)2(ab)2，所以x2|a|24abx4|b|2|a|22ab|b|2，又a與b的夾角為，且|a|1，則有ab|a|b|cos|b|，所以有x24x|b|4|b|21|b|b|2，即x22|b|x3|b|21|b|0，此式對(duì)一