高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓課時提升作業(yè)（十一）2.1.2.2橢圓方程及性質的應用檢測.docx

課時提升作業(yè)(十一)橢圓方程及性質的應用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.橢圓x216+y29=1中,以點M(-1,2)為中點的弦所在的直線斜率為()A.916B.932C.964D.-932【解析】選B.設直線與橢圓交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2,設直線為y=k(x+1)+2,聯(lián)立得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=,所以=-2.解得k=.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為()A.32B.26C.27D.42【解析】選C.設橢圓方程為+=1(ab0),聯(lián)立得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由=0得a2+3b2-16=0,而b2=a2-4代入得a2+3(a2-4)-16=0解得a2=7,所以a=.所以長軸長為2,選C.【補償訓練】直線l:y=x+a與橢圓x24+y2=1相切,則a的值為()A.5B.5C.5D.5【解析】選C.用判別式等于零求解.3.若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為()A.1B.-1C.-233D.以上都不對【解析】選C.表示橢圓上的點(x,y)與定點(2,0)連線的斜率.不妨設=k,則過定點(2,0)的直線方程為y=k(x-2).由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,得k=,所以kmin=-,即的最小值為-.4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點,若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】選D.由橢圓+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因為過點F的直線與橢圓+=1(ab0)交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=-1,則b2+ a2= a2b2,b2+ a2= a2b2,由-得b2(-)+ a2(-)=0,化簡得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直線的斜率為k=,即=.因為b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故橢圓方程為+=1.5.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點個數(shù)為()A.0B.1C.2D.需根據(jù)a,b的取值來確定【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,可推斷點(a,b)是以原點為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點,根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進而可知點P是橢圓內(nèi)的點,進而判斷可得答案.【解析】選C.因為直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,所以原點到直線ax+by+4=0的距離d=2,所以a2+b2b0).因為e=22,所以=22.由ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.答案:+=18.(2014江西高考)過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為.【解題指南】中點弦問題運用點差法求解.【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2).則即+=0,因為=-,所以a2=2b2,故c2=a2,即e=22.答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍.(2)求直線被橢圓截得的弦最長時直線的方程.【解題指南】求m的取值范圍,從方程角度看,需將問題轉化為關于x的一元二次方程解的判斷,而求弦最長時的直線方程,就是將弦長表示成關于m的函數(shù),求出當弦長最大時的m值,從而確定直線方程.【解析】(1)由消去y得,5x2+2mx+m2-1=0,因為直線與橢圓有公共點,所以=4m2-20(m2-1)0,解得-52m52.(2)設直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-m,x1x2=.所以|AB|=.因為=4m2-20(m2-1)0,所以-52mb0)的半焦距為c,原點到經(jīng)過兩點c,0,0,b的直線的距離為12c.(1)求橢圓的離心率.(2)如圖,是圓:x+22+y-12=52的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的方程.【解析】(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離d=,由d=c,得a=2b=2,解得離心率=.(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=.易知,AB不與x軸垂直,設其直線方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故橢圓E的方程為+=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.設F1,F2是橢圓C:x28+y24=1的焦點,在曲線C上滿足=0的點P的個數(shù)為()A.0個B.2個C.3個D.4個【解析】選B.因為=0,所以PF1PF2.所以點P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點,且半徑為c=2.又b=2,所以點P為短軸的端點,有2個.2.(2014福建高考)設P,Q分別為圓x2+y-62=2和橢圓x210+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是()A.52B.46+2C.7+2D.62【解題指南】兩動點問題,可以化為一動一靜,因此考慮與圓心聯(lián)系.【解析】選D.圓心M(0,6),設橢圓上的點為Q(x,y),則=,當y=-1,1時,=5.所以=5+=6.二、填空題(每小題5分,共10分)3.如圖,把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+|P7F|=.【解題指南】結合橢圓的對稱性解題,注意定義的靈活應用.【解析】設橢圓右焦點為F,由橢圓的對稱性知,|P1F|=|P7F|,|P2F|=|P6F|,|P3F|=|P5F|,所以原式=(|P7F|+|P7F|)+(|P6F|+|P6F|)+(|P5F|+|P5F|)+(|P4F|+|P4F|)=7a=35.答案:354.(2014遼寧高考)已知橢圓C:x29+y24=1,點M與點C的焦點不重合,若M關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則AN+BN=.【解析】根據(jù)題意,橢圓的左右焦點為F1(-,0),F2(,0),由于點M的不確定性,不妨令其為橢圓的左頂點M(-3,0),線段MN的中點為橢圓的上頂點H(0,2),則M關于C的焦點的對稱點分別為A(-2+3,0),B(2+3,0),而點N(3,4),據(jù)兩點間的距離公式得+=+=12.答案:12【誤區(qū)警示】在無法明確相關點的具體情況的時候,可以取特殊情形處理問題.避免對一般情況處理的復雜性.三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015全國卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,點(2,2)在C上.(1)求C的方程.(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸, l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】(1)由題意有a2-b2a=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程為+=1.(2)設直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.xM=,yM=kxM+b=.于是直線OM的斜率kOM=-,即kOMk=-.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.6.(2015山東高考)平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,且點3,12在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程.(2)設橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面積的最大值.【解題指南】(1)由離心率e和點可求a,b,c.(2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系求解面積的最大值.【解析】(1)因為點在橢圓C上,所以+=1.又因為橢圓C的離心率為e=,所以2c=a,4c2=3a2,結合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即橢圓C的方程為+y2=1.(2)(i)橢圓E:+=1.設P(x0,y0)是橢圓C上任意一點,則x02+4y02=4.直線OP:y=x與橢圓E:+=1聯(lián)立消y得x2=16,x2=4x02,所以Q(-2x0,-2y0).即=2.(ii)因為點P(x0,y0)在直線y=kx+m上,所以y0=kx0+m,點Q(-2x0,-2y0)到直線y=kx+m的距離為d=.將y=kx+m與+=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0可得m24+16k2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,所以=.直線y=kx+m與y軸交點為(0,m),所以OAB面積SOAB=|m|=,令=t,則SOAB=2=2.將y=kx+m與+y2=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0可得m21+4k2.由可知0b0)的左焦點為F,離心率為33,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為433.(1)求橢圓的方程.(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若+=8,求k的值.【解析】(1)設F(-c,0)(c0),由=33,知a=c,過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有+=1,解得y=6b3,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1.(2)設點C(