概率與數理統(tǒng)計第9講.ppt

,概率論與數理統(tǒng)計 第九講,3.4 邊緣分布,3.4.1 邊緣分布函數,二維隨機向量 (X,Y) 作為一個整體, 有分布函數 F( x, y)，其分量 X與Y 都是隨機變量，有各自的分布函數，分別記成 FX(x) 和 FY(y)，,分別稱為X的邊緣分布函數和Y的邊緣分布函數；稱 F(x, y) 為 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數。,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)， FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X與Y的邊緣分布函數實質上就是一維隨機變量X或Y的分布函數。稱其為邊緣分布函數的是相對于 (X,Y) 的聯(lián)合分布而言的。 同樣地，(X, Y) 的聯(lián)合分布函數 F(x, y)是相對于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。,注意:,求法,則 X 的邊緣概率分布為,Y 的邊緣概率分布為,設(X, Y ) 是二維離散型隨機向量，聯(lián)合概率分布為,3.4.2 二維離散型隨機向量的邊緣分布,解：,例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。,把這些數據補充到前面表上,解：,例2： (打開書P59),求例3.2.2中 (X,Y) 的分量X和Y的邊緣分布。,PX=0 = PX=0, Y=0+PX=0, Y=1 = 0.00013+0.19987 = 0.20000, PX=1 = PX=1, Y=0+PX=1, Y=1 = 0.00004+0.79996 = 0.80000, PY=0 = PX=0, Y=0+PX=1, Y=0 = 0.00013+0.00004 = 0.00017, PY=1 = PX=0, Y=1+PX=1, Y=1 = 0.19987+0.79996 = 0.99983.,把這些數據補充到例3.2.2的表中，得,3.4.2 連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度,若 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，則,X的邊緣概率密度為,Y 的邊緣概率密度為,例3：若(X,Y)服從矩形區(qū)域 axb，cyd 上均勻分布，則邊緣概率密度分別為,注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機變量。 但對其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結論。,例4：設(X,Y)服從單位圓域 x2+y21上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。,解:,當|x|1時,當-1x1時,( 注意積分限的確定方法 ),熟練時，被積函數為零的部分可以不寫。,由X 和Y 在問題中地位的對稱性, 將上式中的 x 改為 y，得到 Y 的邊緣概率密度,例5：設(X, Y)的概率密度為,求 (1). c的值; (2). 邊緣密度。,= 5c/24=1,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意積分限,注意取值范圍,注意積分限,注意取值范圍,即,例6：設 (X, Y) 求X和Y 的邊緣概率密度。,解： 由,說明,對于確定的 1, 2, 1, 2, 當 不同時, 對應不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機向量時，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機向量各分量之間的關系。,X與Y之間的關系的信息是包含在 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度函數之內的。 在下一章將指出：對于二維正態(tài)分布而言，參數 正好刻畫了X和Y之間關系的密切程度。 因此，僅由X和Y的邊緣概率密度 (或邊緣分布) 一般不能確定 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度函數 (或概率分布)。,3.5 條件分布,第一章中，我們介紹了條件概率的概念 ,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,將其推廣到隨機變量：,設有兩個隨機變量 X與Y，在給定Y 取某個或某些值的條件下，求X的概率分布。這個分布就是條件分布。,3.5.1 條件分布的概念,例如：考慮某大學的全體學生，從中隨機抽取一個學生，分別以 X和Y 表示其體重和身高。則 X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布。,體重X,身高Y,體重X 的分布,身高Y 的分布,現(xiàn)在限制180Y190(cm)，在這個條件下求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在180cm和190cm間的那些人都挑出來， 然后在挑出來的學生中求其體重的分布。,容易想象：這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣。,例如：在條件分布中體重取大值的概率會顯著地增加 。,3.5.2 離散型隨機變量的條件分布,定義1: 設 (X, Y) 是二維離散型隨機向量，對固定的 j，若 P(Y=yj) 0，則稱,為在Y=yj 條件下, 隨機變量X的條件概率分布。,條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質。例如：,i=1,2, ,對固定的 i，若P(X=xi) 0，則稱,為在X=xi條件下, 隨機變量Y 的條件概率分布。,例 1:,求書中p59, 例3.2.1中Y 的條件分布。,解：在例3.4.1中已求出X 的邊緣分布(見上表)。,在X=0條件下，,在 X=1 條件下，,解：,例 2：求例3.2.2中被調查者吸煙的條件下得肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。,3.5.3 連續(xù)型隨機變量的條件概率密度,設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量，由于對任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，這時要使用極限的方法得到條件概率密度。,給定y，對于任意固定的正數 ，若概率 P( y- 0，于是，對于任意 x，,是在條件 y-Y y+ 之下，X的條件分布。,定義2：設X和Y是隨機變量，給定 y, 若對任意固定正數，P( y- 0，且對任意實數 x，極限,存在，則稱此極限為在條件 Y=y下X的條件分布函數，記成 FX|Y(x|y)。,若存在 fX|Y(x|y), 使得,則稱 fX|Y(x|y)為在條件 Y=y 下X的條件概率密度函數，簡稱條件概率密度。,同理，當 fX (x) 0 時，,定理1：設隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，Y的邊緣概率密度為fY (y)。若f (x, y) 在點(x, y) 處連續(xù), 當 fY (y) 0 時，,證明：,求 P(X1|Y=y)。,為此, 需求出,例3：設(X,Y) 的概率密度是,由于,于是，對 y 0,故對 y 0,P(X1|Y=y),例4：設 (X,Y) 服從單位圓上均勻分布，即其概率密度為,求,解： X的邊緣密度為,當 |x|1時, 有,即 ：當|x|1時, 有,X作為已知變量,X已知下Y 的 條件密度,解：概率密度不為零的區(qū)域如右圖所示。,例 5：設二維隨機向量(X,Y)的概率密度為,求條件概率密度和條件概率,當 y(0,1 時， fY (y) 0，,當 x(-1,1)時，fX(x)0，,例 6：設店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為 Y, 當日銷售量為 X, 假定一天中不再往柜臺上補充貨物, 于是 XY。根據歷史資料，(X,Y)的概率密度為,求 (1).給定Y=y條件下, X的條件概率密度； (2).給定Y=10條件下, X5的概率； (3).如果Y=20件呢?,解: (1).,y(0,20 時，fY(y)0，,這個結果表明：當 y(0, 20 時，X的條件分布是 0, y 上的均勻分布。,(2). 當 Y=10