高中數(shù)學(xué)課時(shí)提升作業(yè)十2.1.2.1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（含解析）新人教A版選修.docx

課時(shí)提升作業(yè) 十橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2015廣東高考)已知橢圓x225+y2m2=1(m0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=()A.9B.4C.3D.2【解析】選C.由題意得:m2=25-42=9,因?yàn)閙0,所以m=3.2.(2016煙臺(tái)高二檢測(cè))橢圓x225+y29=1與x29-k+y225-k=1(0k9)的關(guān)系為()A.有相等的長(zhǎng)、短軸B.有相等的焦距C.有相同的焦點(diǎn)D.有相等的離心率【解析】選B.對(duì)于橢圓+=1(0kb0)有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x+2y=2上,則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(3,0)B.(0,3)C.(5,0)D.(0,5)【解析】選A.直線x+2y=2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn),又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以a=2,b=1,所以c=.所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0).4.(2016南昌高二檢測(cè))橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為()A.14B.55C.12D.5-2【解析】選B.因?yàn)锳,B分別為左右頂點(diǎn),F1,F2分別為左右焦點(diǎn),所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以離心率e=55.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為()A.22B.2-12C.2-2D.2-1【解析】選D.設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),因?yàn)镕1(-c,0),所以P(-c,yP)代入橢圓方程得+yP2b2=1,所以=,又因?yàn)閎2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又0eb0)的長(zhǎng)軸,若把線段AB分為100等份,過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】選D.設(shè)F2為橢圓的右焦點(diǎn),根據(jù)橢圓的定義及對(duì)稱性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故結(jié)果應(yīng)為502a+|F1P50|=101a.【誤區(qū)警示】本題在求解過程中,易忽視|F1P50|,結(jié)果選C而致錯(cuò).二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016武漢高二檢測(cè))已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心率為13,則橢圓方程為.【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)橢圓的方程為+=1(ab0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故橢圓的方程為+=1.答案:+=17.(2016濟(jì)南高二檢測(cè))已知橢圓x25+y2m=1的離心率e=105,則m的值為.【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,易知m0且m5.若0m5,則a2=m,b2=5.由=1-=,得m=.所以m的值為3或.答案:3或8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為.【解題指南】設(shè)P(x0,y0),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合橢圓的范圍解出.【解析】由題意,F(-1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則有x024+y023=1,解得=31-x024,因?yàn)?(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+31-x024=x024+x0+3,此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=-2,因?yàn)?2x02,所以當(dāng)x0=2時(shí),取得最大值+2+3=6.答案:6【誤區(qū)警示】解題中容易不考慮x0的取值范圍,而直接求出二次函數(shù)的最值,而導(dǎo)致錯(cuò)誤.三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的23,求橢圓的離心率.【解析】設(shè)橢圓方程為+=1(ab0),則M(c,b).代入橢圓方程,得+=1,所以=,所以=53,即e=53.【一題多解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a,b,c.則焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,b),則MF1F2為直角三角形.在RtMF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=+b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以=.所以e2=1-=,所以e=53.10.(2016濰坊高二檢測(cè))如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若F1AB=90,求橢圓的離心率.(2)若=2,=32,求橢圓的方程.【解析】(1)若F1AB=90,則AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e=22.(2)由題意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=,設(shè)B(x,y).由=2(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.將B點(diǎn)坐標(biāo)代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.又由=(-c,-b)=b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓方程為+=1.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016武漢高二檢測(cè))橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓C與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于B(0,2),且=42+4,則橢圓C的方程為()A.x24+y22=1B.x26+y24=1C.x28+y24=1D.x216+y28=1【解析】選C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),所以=(c,-2)(a,-2)=ac+4=4+4,所以解得a2=8,b2=4.所以橢圓C的方程為+=1.2.(2016長(zhǎng)春高二檢測(cè))如圖,F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),且F2AB是等邊三角形,則橢圓的離心率為()A.32B.12C.22D.3-1【解析】選D.由題意知A.把A代入橢圓+=1(ab0),得+=1,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得e4-8e2+4=0,所以e2=42.因?yàn)?e1,所以e=-1.二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1,離心率00,所以a21,所以1a2,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)2b0)的右焦點(diǎn),直線y=b2與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且BFC=90,則該橢圓的離心率是.【解題指南】利用kBFkCF=-1計(jì)算得出離心率的值.【解析】將直線y=與橢圓的方程聯(lián)立得B,C,F(c,0),則kBF=,kCF=,因?yàn)锽FC=90,所以kBFkCF=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=.答案:63三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知橢圓x29+y24=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),設(shè)P(x0,y0),則=(-x0,-y0),=(-x0,-y0).所以=(-5)+.又x029+y0