教學(xué)目的掌握第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容.ppt

2 第二型曲面積分,教學(xué)目的： 掌握第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式 教學(xué)內(nèi)容： 曲面的側(cè)；第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式 (1) 基本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計(jì)算公式 (2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計(jì)算公式，掌握兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的側(cè) 第二型曲面積分概念 第二型曲面積分的計(jì)算 兩類曲面積分的聯(lián)系, 曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),(單側(cè)曲面的典型),一、曲面的側(cè),設(shè)連通曲面 S 上處處有連續(xù),設(shè) M0 為曲面 S 上一點(diǎn)，確定,方向?yàn)檎较?，另一個(gè)方向?yàn)樨?fù)方向.,L 為 S 上任一經(jīng)過點(diǎn) M0 且不超出 S 邊界的閉曲線.,設(shè)點(diǎn) M 從 M0 出發(fā)，沿 L 連續(xù)移動(dòng)， M 在 M0 點(diǎn)與M0,變動(dòng)的切平面（或法線）,曲面在M0 點(diǎn)的一個(gè)法線,有相同的法線方向，,當(dāng)點(diǎn) M 連續(xù)移動(dòng)時(shí)，其法線方向,也連續(xù)變動(dòng)，最后當(dāng) M 沿 L 回到M0 時(shí)，若這時(shí) M 的,法線方向仍與 M0 點(diǎn)的法線方向一致，則稱此曲面 S 為,雙側(cè)曲面；若與 M0 的法線方向相反，則稱 S 為單側(cè)曲,面,1. 問題的提出,從給定曲面 S 的負(fù)側(cè)流向正側(cè)，,設(shè)某流體以一定的速度,求單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)曲面 S 的流量 E,如果流體的流速是不變的常向量 v ，,S 是平面，其正側(cè)的單位法向量為,no ,時(shí)間內(nèi)流經(jīng)曲面 S 的流量 E 為：,E = v no S,S 的面積記為 S ，則單位,二、第二型曲面積分的概念,將曲面 S 任意分成 n 塊,設(shè)該點(diǎn)的單位法向量為：,流經(jīng)該點(diǎn)的流速為,在小曲面塊 Si 的正側(cè)上,任取一點(diǎn),Si i = 1, 2, . . . , n,則單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)小曲面 Si的流量近似地等于,其中 Si 為小曲面Si 的面積.,記,它們是 Si 的正側(cè)分別在坐標(biāo)面,面積的近似值，于是單位時(shí)間,yz , zx 和 xy 上投影區(qū)域,內(nèi)流經(jīng)小曲面 Si 的流量,也近似地等于,故單位時(shí)間內(nèi)由曲面 S 的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的 總流量,第二型曲面積分的定義,設(shè) P , Q , R 為定義在雙側(cè)曲面 S 上的函數(shù)，在 S 所,指定的一側(cè)作分割 T ，把 S 分為 n 個(gè)小曲面 S1 , S2,. . . , Sn , 記,分別表示 Si 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影區(qū)域的面積, 在 Si,上任取一點(diǎn),若,存在，則稱此極限為函數(shù) P , Q , R 在曲面 S 所指定,一側(cè)上的第二型曲面積分，也稱為對坐標(biāo)的曲面積分,或,記作,常簡記為,若令,則第二型曲面積分也記作向量形式：,由第二型曲面積分的定義，流體以速度,從曲面 S 的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量,稱為P 在有向曲面S上對坐標(biāo) y, z 的曲面積分;,稱為Q 在有向曲面S上對坐標(biāo) z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面S上對坐標(biāo) x, y 的曲面積分;,若以 -S 表示曲面 S 的另一側(cè)，則由定義可得,3. 第二型曲面積分的性質(zhì), 若曲面 S 由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面,Si i = 1, 2, . . . , n 所組成，則,定理22.2,取上側(cè),是 S 上的連續(xù)函數(shù), 則,設(shè)光滑曲面,三、第二型曲面積分的計(jì)算,注：,積分,的計(jì)算，必須先將曲面,表示成：,再代公式計(jì)算,證:,S 取上側(cè),說明:,如果積分曲面 S 取下側(cè), 則,若曲面 S 是母線平行于 z 軸的柱面（垂直于 xy 坐,標(biāo)面）,則,(前正后負(fù)),將曲面 S 表示為,若曲面 S 是母線平行于 x 軸的柱面（垂直于 yz 坐,標(biāo)面）,則,積分,的計(jì)算方法：,(右正左負(fù)),若曲面 S 是母線平行于 y 軸的柱面（垂直于 zx 坐,標(biāo)面）,則,積分,的計(jì)算方法：,將曲面 S 表示為,解,例1. 計(jì)算曲面積分,其中 S 為球面,外側(cè)在第一和第五卦限部分.,把 S 分為上下兩部分,思考：,例. 計(jì)算,其中 S 是以原點(diǎn)為中心, 邊長為 2 的正立方,體的整個(gè)表面的外側(cè).,解,其中 S1 是 S 的頂部,取上側(cè),S2 是S 的底部,取下側(cè),由對稱性，有,例. 計(jì)算,其中 S 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所圍的四面,體表面的外側(cè).,解:,設(shè) S1 是,取上側(cè),S2 是S 的底部,取下側(cè),在 xy 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy,先計(jì)算積分,由對稱性,例. 計(jì)算,其中 S 是球面,取外側(cè)為正向.,解:,設(shè) S1 是上半球面,取上側(cè),S2 是下半球面,取下側(cè),在 xy 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域,先計(jì)算積分,同理可得,所以,設(shè)光滑曲面 S ，其指定一側(cè)的法方向余弦為：,則沿曲面