自控原理—第2章控制工程.ppt

第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 2-2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型 2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù) 2-4控制系統(tǒng)的信號流圖,2-1 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型,2-1-1、建立系統(tǒng)微分方程的方法 2-1-2、非線性元件微分方程的線性化,1. 線性元件的微分方程（舉例）,例 2-2,解：直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程由三部分組成： 電樞回路電壓平衡方程 電磁轉(zhuǎn)矩方程 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程,圖示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī), 要求取電樞電壓ua(t) 為輸入量, 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速m(t) 為輸出量, 列寫微分方程。圖中Ra、La分別是電樞電路的電阻和電感, Mc是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩.激磁磁通為常值。,電樞回路電壓平衡方程,Ea是電樞反電勢, 與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比, 方向與電樞電壓ua(t)相反 Ea = Cem(t) Ce反電勢系數(shù)（V/rad/s）,電磁轉(zhuǎn)矩方程,Cm電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) (Nm/A),電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程,Jm電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 kgm fm電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦 系數(shù)（Nm/rad/s）,消去Mm ,求出ia(t), 代入, 亦代入得：,當(dāng)電樞電路電感La較小, 忽略不計(jì)時(shí), 可簡化為,電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)(s),電動(dòng)機(jī)傳遞系數(shù),電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小時(shí),電動(dòng)機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用.,例 2-2,2-1-1建立系統(tǒng)微分方程的方法,建立系統(tǒng)的物理模型； 建立輸入-輸出量之間微分方程式 聯(lián)立每個(gè)部分的數(shù)學(xué)模型，消去中間變量，求出輸入-輸出之間的微分方程式。,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法,稱非線性微分方程的線性化. 非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小,這種線性化通常稱為小偏差線性化.,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將一個(gè)自變量的函數(shù) y =f(x)在預(yù)期工作點(diǎn)處(x0, y0)展開,進(jìn)行線性化.,設(shè)函數(shù) y =f(x)在(x0, y0)點(diǎn)連續(xù)可微,在該點(diǎn)附近用泰勒級數(shù)展開,當(dāng)增量(x-x0)較小時(shí),略去其高次冪項(xiàng),令,線性化方程: , K是比例系數(shù).,2-1-2. 非線性微分方程的線性化,將兩個(gè)自變量的函數(shù) y =f(x1, x2)在預(yù)期工作點(diǎn)處(x10, x20)展開,進(jìn)行線性化.,設(shè)函數(shù)在(x10, x20)點(diǎn)連續(xù)可微,同樣在該點(diǎn)附近用泰勒級數(shù)展開,當(dāng)增量較小時(shí),略去其高次冪項(xiàng),令,線性化方程:,2-2 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型,2-1、傳遞函數(shù) 2-2、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù),1.傳遞函數(shù)的定義,定義 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比,用G(s)表示.信號系統(tǒng)中稱系統(tǒng)函數(shù).,線性定常系統(tǒng)微分方程,2. 傳遞函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì) 復(fù)變量s的有理真分式,系數(shù)均為實(shí)數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì). 傳遞函數(shù)與輸入量的形式無關(guān).,傳遞函數(shù)與微分方程有相通性, 相互轉(zhuǎn)換. 傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t).,求例2-2電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)G(s).,解: 令,舉例,3. 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),定義,G(s)的分母多項(xiàng)式之根構(gòu)成系統(tǒng)的極點(diǎn),分子多項(xiàng)式之根構(gòu)成系統(tǒng)的零點(diǎn),即 pj 是極點(diǎn),zi 是零點(diǎn).,稱傳遞系數(shù)或根軌跡增益.,3. 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),把極點(diǎn)和零點(diǎn)畫在s平面上,即為系統(tǒng)的極點(diǎn)零點(diǎn)分布圖,簡稱極零圖。,其中用“X”表示極點(diǎn)，用“O”表示零點(diǎn)。,j,零點(diǎn),極點(diǎn),4 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響,傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài),例: 已知輸入 r(t) = e -t，系統(tǒng)函數(shù),求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng) c(t), 并標(biāo)出自由分量和受迫分量.,解：,自由響應(yīng)分量自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)：,受迫響應(yīng)分量：,因?yàn)镚(s) 的極點(diǎn)為: s1= -2, s2= -3,4 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響,4 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài), 但影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重, 因而影響響應(yīng)曲線的形狀.,階躍響應(yīng),4 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響,零點(diǎn)距極點(diǎn)越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大 零點(diǎn)距極點(diǎn)越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小 如果零極點(diǎn)重合該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)繪圖,極點(diǎn)和零點(diǎn)繪圖,求系統(tǒng)的階躍響應(yīng),求系統(tǒng)的階躍響應(yīng),5. 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),比例環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸入輸出量成比例,無失真和時(shí)間延遲. 實(shí)例：電子放大器,齒輪,電阻(電位器).,K 增益,慣性環(huán)節(jié),T 時(shí)間常數(shù),特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件, 對突變的輸入, 其輸出不能立即復(fù)現(xiàn), 輸出無振蕩. 實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò), 直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié).,5. 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),微分環(huán)節(jié),理想微分 一階微分 二階微分,特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度,能預(yù)示輸入信號的變化趨勢. 實(shí)例：測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù).,5. 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),積分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例,當(dāng)輸入消失,輸出具有記憶功能. 實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù),模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等.,5. 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量,但須延遲一固定的時(shí)間間隔. 實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制.,延遲時(shí)間,2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖,1. 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制 2. 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化 3. 信號流圖的組成及性質(zhì) 4. 信號流圖的繪制 5. 梅森增益公式 6. 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) .,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(方塊圖)和信號流圖都是描述系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示。,2-3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖,1. 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制,信號線 帶有箭頭的直線, 箭頭表示信號的流向, 在直線旁標(biāo)記信號的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù).,表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系. 包含四種基本單元:,分支點(diǎn) （引出點(diǎn)或測量點(diǎn)） 表示信號測量或引出的位置, 同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣.,1. 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制,比較點(diǎn) （綜合點(diǎn)或合成點(diǎn)） 兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號進(jìn)行加減比較的元件. “+”表示相加, “-”表示相減, “+”號可省略不寫.,方框 （或環(huán)節(jié)） 對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換. 方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù).,1. 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制,結(jié)構(gòu)圖的繪制 (1) 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù), 并將它們用方框(塊)表示.,(2) 根據(jù)各元部件的信號流向, 用信號線依次將各方框連接起來, 便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖.,結(jié)構(gòu)圖也是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種！,解：,拉氏變換得：,例：,畫出RC電路的方塊圖.,解：,例：,畫出RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖.,考慮負(fù)載效應(yīng),例：,畫出RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖.,例：,畫出RC網(wǎng)絡(luò)(中間有隔離)的結(jié)構(gòu)圖.,解：,2. 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化,結(jié)構(gòu)圖的簡化原則,結(jié)構(gòu)圖的等效變換原則 變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變. 結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式 在控制系統(tǒng)中, 任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。,串聯(lián)方框的簡化（等效）,由幾個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)。,時(shí)域,復(fù)頻域,并聯(lián)方框的簡化（等效）,時(shí)域,復(fù)頻域,解：,串聯(lián)方框的簡化（等效）,串聯(lián)方框的簡化（等效）,并聯(lián)方框的簡化（等效）,并聯(lián)方框的簡化（等效）,反饋連接方框的簡化（等效）,結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是輸出量的一部分，返回到輸入端與輸入量進(jìn)行比較，形成反饋。,G(s) 稱為前向通路的系統(tǒng)函數(shù)；,H(s) 稱為反饋通路的系統(tǒng)函數(shù)。,反饋連接方框的簡化（等效）,閉環(huán)連接方框的簡化,解：,閉環(huán)連接方框的簡化,閉環(huán)連接方框的簡化,反饋連接方框的簡化,解：,反饋連接方框的簡化,反饋連接方框的簡化,比較點(diǎn)的移動(dòng),引出點(diǎn)的移動(dòng),結(jié)構(gòu)框圖化簡舉例,A先前移至B點(diǎn),串聯(lián)和并聯(lián),B后移至C點(diǎn),結(jié)構(gòu)框圖化簡舉例,串聯(lián)和并聯(lián),B后移至C點(diǎn),反饋公式,結(jié)構(gòu)框圖化簡舉例,串聯(lián)和并聯(lián),B后移至C點(diǎn),3. 信號流圖的組成及性質(zhì),線性連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖是由點(diǎn)和有向線段組成的線圖, 用來表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系, 是系統(tǒng)框圖表示的一種簡化形式。,信號流圖的定義,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖中的術(shù)語定義,節(jié)點(diǎn)： 表示系統(tǒng)中變量或信號的點(diǎn)。 傳遞函數(shù)：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益。 支路： 連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的定向線段。,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖中的術(shù)語定義,輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的點(diǎn), 它對 應(yīng)的是自變量（即輸入信號）. 輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的點(diǎn), 它對 應(yīng)的是因變量（即輸出信號）.,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖中的術(shù)語定義,回路: 通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn), 并且與任何 其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次. 環(huán)路增益: 環(huán)路中各支路傳遞函數(shù)的乘積. 不接觸環(huán)路: 兩環(huán)路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn).,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖中的術(shù)語定義,前向通路: 從源點(diǎn)到阱點(diǎn)方向的通路上, 通過 任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的全部路徑. 前向通路增益: 前向通路中, 各支路傳遞函數(shù) 的乘積.,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖的性質(zhì),支路表示了一個(gè)信號與另一信號的函數(shù)關(guān)系, 信號只能沿著支路上的箭頭方向通過. 節(jié)點(diǎn)可以把所有輸入支路的信號疊加, 并把 總和信號傳送到所有輸出支路.,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖的性質(zhì),具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加 一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹罚梢园阉兂奢?出節(jié)點(diǎn)來處理。,3. 信號流圖的組成及性質(zhì),流圖的性質(zhì),4. 給定系統(tǒng), 信號流圖形式并不是惟一的. 流圖轉(zhuǎn)置以后, 其傳遞函數(shù)保持不變. 所謂轉(zhuǎn)置就是把流圖中各支路的信號傳輸方 向調(diào)轉(zhuǎn), 同時(shí)把輸入輸出節(jié)點(diǎn)對換。,4. 信號流圖的繪制,由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖,任何線性數(shù)學(xué)方程都可以用信號流圖表示. 對含有微分或積分的線性方程拉氏變換, 得到s的代數(shù)方程. 給系統(tǒng)的每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn), 按因果關(guān)系, 從左向右順序排列. 用表明增益的支路, 根據(jù)數(shù)學(xué)方程將各節(jié)點(diǎn)變量正確連接, 得到信號流圖.,4. 信號流圖的繪制,由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖,用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點(diǎn). 在比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)只需在比較點(diǎn)處設(shè)置一個(gè)節(jié)點(diǎn)便可. 例e, e2 點(diǎn). 在比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)需設(shè)置兩個(gè)節(jié)點(diǎn), 分別表示引出點(diǎn)和比較點(diǎn). 例 e1 點(diǎn).,4. 信號流圖的繪制,由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式用于求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,梅森公式的形式：, 流圖的特征行列式.,pk由源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路總增益.,n 源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)的前向通路總數(shù).,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式的形式：,= 1 -（所有不同環(huán)路的增益之和） +（每兩個(gè)互不接觸環(huán)路增益乘積之和） -（每三個(gè)互不接觸環(huán)路增益乘積之和） + ,k第k條前向通路特征行列式的余因子,它是 除去與第k條前向