2014年五一高考壓軸題突破班導學1-數(shù)學 函數(shù) 倒數(shù) 數(shù)列 幾何等

2014 年五一高考壓軸題突破班導學 （第一次 數(shù)學部分 ） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。每個班型導學共由 2 次書面資料構成。 清北學堂集中培訓課程導 學 （ 2014 年 五一 集中培訓課程使用） QBXT/JY/DX2014/4-1-12 2014-4-5 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年五一高考壓軸題突破班導學 （ 數(shù)學部分 ） 一、課程重點及難點概述 . 3 二、清北導學 . 4 1.函數(shù)與導數(shù) . 4 1.1 重點及難點 . 4 1.2 知識點 . 4 2.數(shù)列 . 8 2.1 重點及難點 . 8 2.2 知識點 . 8 3.解析幾何 . 9 3.1 重點及難點 . 9 3.2 知識點 . 9 4 概率統(tǒng)計、立體幾何等 . 12 4.1 重點及難點 . 12 4.2 知識點 . 12 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 一、 課程重點及難點概述 本課程 面向 高三學生 ， 從函數(shù)與導數(shù)，數(shù)列，解析幾何等章節(jié)，結合不等式 在 高考壓軸題中的應用，重點剖析高考壓軸題的?？贾R點及解題方法，幫助考生制勝高考壓軸題。 解答題的難題主要集中在函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列和解析幾何三大分支，近年來概率統(tǒng)計和立體幾何比例有所增加；其中各個知識點都可以涉及不等式，尤其是放縮法使得有些試題的難度較大。 通過對各省各年數(shù)學高考壓軸題進行統(tǒng)計分析，其中 2009 年 39 套， 2010 年 35 套， 2011年 35 套， 2012 年 35 套， 2013 年 37 套，結果如下表所示： 年份 函數(shù) 及導數(shù) 數(shù)列 解析幾何 其他 2009 38 26 37 16 2010 35 13 33 24 2011 34 22 30 19 2012 35 17 33 20 2013 40 14 35 22 注：函數(shù)內(nèi)容為：函數(shù)基本性質(zhì)（不涉及導 數(shù)）；其他部分的內(nèi)容為：立體幾何和概率與統(tǒng)計，這些試題大多數(shù)在倒 數(shù)第二、三題。 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 二、清北導學 1.函數(shù)與導數(shù) 1.1 重點及難點 函數(shù)壓軸題通?？疾楹瘮?shù)的定義域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，設計的具體函數(shù)主要有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及由以上函數(shù)組成的復合函數(shù)等， 通常會與不等式相結合。 1.2 知識點 1函數(shù)值域求法： 分析法 ； 配方法 ； 判別式法 ； 利用函數(shù)單調(diào)性 ； 換元法 ； 利用均值不等式 2222 babaab ； 利用數(shù)形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）； 利用函數(shù)有界性（ xa 、 xsin 、 xcos 等）； 導數(shù)法 2復合函數(shù)的有關問題 （ 1）復合函數(shù)定義域求法： 若 f(x)的定義域為 a， b ,則復合函數(shù) fg(x)的定義域由不等式 ag(x)b 解出 ； 若 fg(x)的定義域為 a， b,求 f(x)的定義域，相當于 x a， b時，求 g(x)的值域 . （ 2）復合函數(shù)單調(diào)性的判定： 首先將原函數(shù) )( xgfy 分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù) )(xgu 與外函數(shù) )(ufy ； 分別研究內(nèi)、外函 數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性； 根據(jù) “同性則增，異性則減 ”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。 3分段函數(shù)： 值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。 4函數(shù)的奇偶性 （ 1） 函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的 必要條件 ； （ 2） )(xf 是奇函數(shù) f( x)= f(x)； )(xf 是 偶 函數(shù) f( x)= f(x) （ 3） 奇函數(shù) )(xf 在原點有定義，則 0)0( f ； （ 4） 在關于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性； （ 5） 若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性； 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 5函數(shù)的單調(diào)性 （ 1） 單調(diào)性的定義： )(xf 在區(qū)間 M 上是增函數(shù) , 21 Mxx 當 21 xx 時有 12( ) ( )f x f x ； )(xf 在區(qū)間 M 上是 減 函數(shù) , 21 Mxx 當 21 xx 時有 12( ) ( )f x f x ； （ 2） 單調(diào)性的判定 定義法：一般要將式子 )()( 21 xfxf 化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號； 導數(shù)法（見導數(shù)部分）； 復合函數(shù)法； 圖像法。 注：證明單調(diào)性主要用定義法和導數(shù)法。 6函數(shù)的周期性 （ 1） 周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意 x ，若有 )()( xfTxf （其中 T 為非零常數(shù)），則稱函數(shù) )(xf 為周期函數(shù)， T 為它的一個周期。 所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。 （ 2）三角函數(shù)的周期 2:sin Txy ； 2:cos Txy ； Txy :tan ； |2:)c o s (),s in ( TxAyxAy|:ta n Txy （ 3） 與周期有關的結論 )()( axfaxf 或 )0)()2( axfaxf )(xf 的周期為 a2 ； 7基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì) （ 1） 冪函數(shù)： xy （ )R ； （ 2） 指數(shù)函數(shù)： )1,0( aaay x ； （ 3） 對數(shù)函數(shù) : )1,0(lo g aaxy a ； （ 4） 正弦函數(shù) : xy sin ； （ 5） 余弦函數(shù)： xy cos ； （ 6） 正切函數(shù)： xy tan ； （ 7） 一元二次函數(shù)： 02 cbxax ； （ 8） 其它常用函數(shù)： 正比例函數(shù)： )0( kkxy ； 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 反比例函數(shù)： )0( kxky ； 勾 函數(shù) ： )0( axaxy ； 8二次函數(shù)： （ 1） 解析式： 一般式： cbxaxxf 2)( ； 頂 點式： khxaxf 2)()( ， ),( kh 為頂點； 零點式： )()( 21 xxxxaxf 。 （ 2） 二次函數(shù)問題解決需考慮的因素： 開口方向； 對稱軸； 端點值； 與坐標軸交點； 判別式； 兩根符號。 二 次 函 數(shù) cbxaxy 2 的 圖 象 的 對 稱 軸 方 程 是 abx 2 ， 頂 點 坐 標 是 a bacab 442 2， 。 9函數(shù)圖象： （ 1） 圖象作法 ： 描點法 （特別注意三角函數(shù)的五點作圖） 圖象變換法 導數(shù)法 （ 2） 圖象變換： 平移變換： ) )()( axfyxfy ， )0( a 左 “+”右 “ ”； ) )0(,)()( kkxfyxfy 上 “+”下 “ ”； 對稱變換： )(xfy )0,0( )( xfy ； )(xfy 0y )(xfy ； )(xfy 0x )( xfy ； )(xfy xy ()x f y ； 翻轉(zhuǎn)變換： ) |)(|)( xfyxfy 右不動，右向左翻（ )(xf 在 y 左側(cè)圖象去掉）； ) |)(|)( xfyxfy 上不動，下向上翻（ | )(xf |在 x 下面無圖象）； 10函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明 （ 1） 證明函數(shù) )(xfy 圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 的對稱點仍在圖像上； （ 2）證明函數(shù) )(xfy 與 )(xgy 圖象的對稱性，即證明 )(xfy 圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在 )(xgy 的圖象上，反之亦然； 注： 曲線 C1:f(x,y)=0 關于點（ 0,0）的對稱曲線 C2 方程為： f( x, y)=0； 曲線 C1:f(x,y)=0 關于直線 x=0 的對稱曲線 C2 方程為： f( x, y)=0； 曲線 C1:f(x,y)=0 關于直線 y=0 的對稱曲線 C2 方程為： f(x, y)=0； 曲線 C1:f(x,y)=0 關于直線 y=x 的對稱曲線 C2 方程為： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （ x R） y=f(x)圖像關于直線 x= 2ba 對稱； 特別地： f(a+x)=f(a x) （ x R） y=f(x)圖像關于直線 x=a 對稱； 11函數(shù)零點的求法： （ 1） 直接法（求 0)( xf 的根）； （ 2） 圖象法； （ 3） 二分法 ； （ 4） 零點定理：若 y=f(x)在 a,b上滿足 f(a)f(b)0； 6圓的方程的求法： （ 1） 待定系數(shù)法； （ 2） 幾何法 . 7點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法） （ 1） 點與圓的位置關系：（ d 表示點到圓心的距離） Rd 點在圓上； Rd 點在圓內(nèi)； Rd 點在圓外 . （ 2） 直線與圓的位置關系：（ d 表示圓心到直線的距離） Rd 相切； Rd 相交； Rd 相離 . （ 3） 圓與圓的位置關系：（ d 表示圓心距， rR, 表示兩圓半徑，且 rR ） rRd 相離； rRd 外切； rRdrR 相交； rRd 內(nèi)切； rRd0 內(nèi)含。 8、直線與圓相交所得弦長 ： 22| | 2AB r d 二 圓錐曲線 1 定義： （ 1） 橢圓： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 （ 2） 雙曲線： |)|2(,2| 2121 FFaaMFMF ； （ 3） 拋物線： |MF|=d 2結論 （ 1） 焦半徑：拋物線： 20 pxPF （ 2） 弦長公式： 4)(1(1 212212122 xxxxkxxkAB 注：拋物線： AB x1+x2+p； （ 3） 通徑（最短弦）： 橢圓、雙曲線：ab22； 拋物線： 2p （ 4） 過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為： 122 nymx （ nm, 同時大于 0 時表示橢圓， 0mn 時表示雙曲線）；當點 P 與橢圓短軸頂點重合時 21PFF 最大； （ 5） 雙曲線中的結論： 雙曲線 12222 byax （ a0,b0）的漸近線： 02222 byax ； 共漸進線 xaby 的雙曲線標準方程為 (2222 byax 為參數(shù)， 0）； 雙曲線為等軸雙曲線 2e 漸近線為 xy 漸近線互相垂直； （ 6） 焦點三角形問題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解 . 3直線與圓錐曲線問題解 法： （ 1） 直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構造一元二次方程求解。 注意以下問題： 聯(lián)立的關于 “x ”還是關于 “y ”的一元二次方程？ 直線斜率不存在時考慮了嗎？ 判別式驗證了嗎？ （ 2） 設而不求（代點相減法）： -處理弦中點問題 步驟如下： 設點 A(x1， y1)、 B(x2,y2)； 作差得 21 21 xx yyk AB； 解決問題 . 4求軌跡的常用方法： （ 1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （ 2）直接法（列等式）； （ 3）代入法（相關點法或轉(zhuǎn)移法）； （ 4） 待定系數(shù)法； （ 5）參數(shù)法； （ 6）交軌法 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 4 概率統(tǒng)計、立體幾何等 4.1 重點及難點 概率統(tǒng)計部分建立在排列組合基礎上主要考查古典概型，相互獨立事件，互斥時間等；立體幾何部分的難點在于求二面角的平面角，傳統(tǒng)的綜合法作二面角較難，空間向量的方法較繁，同時需要判斷二面角是銳角還是鈍角 ，需要考生有足夠的耐心 。 4.2 知識點 一立體幾何 1表（側(cè)）面積與體積公式： （ 1） 柱體： 表面積： S=S 側(cè) +2S 底 ； 側(cè)面積： S 側(cè) = rh2 ； 體積： V=S 底 h （ 2） 錐體： 表面積： S=S 側(cè) +S 底 ； 側(cè)面積： S 側(cè) = rl ； 體積： V=31 S 底 h （ 3） 臺體： 表面積： S=S 側(cè) +S 上底 S 下底 ； 側(cè)面積： S 側(cè) = lrr )( ； 體積： V=31 （ S+ SSS ） h； （ 4） 球體： 表面積： S= 24R ； 體積： V= 334R . 2位置關系的證明（主要方法）： （ 1） 直線與直線平行： 公理 4； 線面平行的性質(zhì)定理； 面面平行的性質(zhì)定理。 （ 2） 直線與平面平行： 線面平行的判定定理； 面面平行 線面平行。 （ 3） 平面與平面平行： 面面平行的判定定理及推論； 垂直于同一直線的兩平面平行。 （ 4） 直線與平面垂直： 直線與平面垂直的判定定理； 面面垂直的性質(zhì)定理。 （ 5） 平面與平面垂直： 兩平面所成二面角為直角； 面面垂直的判定定理。 注：理科還可用向量法。 清北學堂 高考壓軸題突破班 導學 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 3.求角：（步驟 - 。找或作角； 。求角） （ 1） 異面直線所成角的求法： 平移法：平移直線，構造三角形； 向量法 : ba,c osc os （ 2） 直線與平面所成的角： 直接法（利用線面角定義）； 向量法 : nAB ,c oss in （ 3）二面 角： 幾何 法； 向量法 : nm ,c osc os 4.求距離：（步驟 - 。找或作垂線段； 。求距離） 點到平面的距離 ： 等體積法； 向量法 ：| | n nABd . 5.結論： （ 1） 長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為 a， b， c，則對角線長為 222 cba ，全面積為 2ab+2bc+2ca