2014年自主招生數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)分析與題型分析

2014 年寒假 自主招生班型 導(dǎo)學(xué) （第一次） 資料 說(shuō)明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識(shí)點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第一次導(dǎo)學(xué)，后面的第二次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 5 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會(huì)發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請(qǐng)關(guān)注。 本次導(dǎo)學(xué)涉及知識(shí)模塊： 集合、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、排列組合、概率論、極限與導(dǎo)數(shù) 一、自 主 招 生 數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)分析 自主招生考試于 2003 年正式啟動(dòng)。早期自招考試由學(xué)校自主命題，風(fēng)格較為多樣化。2010 年開始，各大自 主 招 生 聯(lián)盟形成，并陸續(xù)將命題權(quán)交由考試院，命題風(fēng)格趨于統(tǒng)一。近 3 年來(lái)，自招試題有了明顯轉(zhuǎn)型，知識(shí)點(diǎn)從競(jìng)賽向課內(nèi)迅速靠攏，在高考考綱邊界附近游動(dòng)，保留一定數(shù)量的高考核心考點(diǎn)，但著力點(diǎn)和區(qū)分度主要放在高考自然延伸出的一些知識(shí)和解題方法上，突出對(duì)學(xué)生思維能力的考查，總體難度低于競(jìng)賽，但高于高考。 二、 自 主 招 生 數(shù)學(xué)題型分析 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假 集中培訓(xùn) 課程 使 用 ） QBXT/JY/DX2013/11-1-1 2013-11-30 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 從近幾年自招數(shù)學(xué) 的題型來(lái)看，有以下三種： 選擇題和解答題 的組合 、填空題和解答題的組合、 只有解答題；滿分一般是 100 分， 考試時(shí)間 90 分鐘。 從 所 考察知識(shí)點(diǎn)的角度來(lái)看，基本都屬于高考的范圍，但有 30%-50%的題目屬于 高考中不會(huì)出現(xiàn)的 題目類型 。 這些題目對(duì)思維的深度要求很高；同時(shí)也偏向于知識(shí)的綜合性，經(jīng)常以某一 部分 的知識(shí)為題目背景，考察的實(shí)質(zhì)卻是 另一個(gè) 內(nèi)容 ，要求 同學(xué)們 有較強(qiáng)的思維轉(zhuǎn)換能力和 抓住問(wèn)題主要方向 的能力。從題目難度來(lái)看， 與高考的一個(gè)很大不同是沒(méi)有送分題。其中約有一半與高考中高檔題類似 ；另外一半難度要 高 于高考，需要提前進(jìn)行備考訓(xùn)練。 三 、 自主招生 學(xué)習(xí)方法介紹 以下對(duì)自主招生 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法提出一些建議。大多數(shù)同學(xué) 對(duì)試卷 中已錯(cuò)題目 利用不足。事實(shí)上 試卷中的錯(cuò)題恰恰指明了 下一階段的努力方向。同學(xué)們 要做的就是分析 題目 丟分 原因 。丟分的原因?qū)儆?審題 錯(cuò)誤 還是計(jì)算錯(cuò)誤， 或者題目 步驟 書寫問(wèn)題 ， 或者是 由于 沒(méi)有相應(yīng)思路導(dǎo)致 無(wú)從下手 。當(dāng) 分析出題目 丟分 原因之后，解決辦法也就 隨之而來(lái) 。如果 屬于審題 錯(cuò)誤，下次讀 題 中 就放慢速度 ， 對(duì)題目的重要條件認(rèn)真分析 ；如果 屬于 計(jì)算錯(cuò)誤，下次做題 過(guò)程中的 計(jì)算 環(huán)節(jié) 就要 更加認(rèn)真， 時(shí)間 充裕 的話可以計(jì)算兩遍、三遍 或者進(jìn)行驗(yàn)算 ；如果是題目步驟扣分，就拿來(lái)標(biāo)準(zhǔn)答案，認(rèn)真分析 哪些步驟 漏寫或者表達(dá)不清并學(xué)習(xí)相應(yīng)的表達(dá)方式 ；如果說(shuō)這道題沒(méi)有思路，就 進(jìn)行 對(duì)該種題型的 針對(duì)性訓(xùn)練 ， 并 在做題的過(guò)程中 ， 總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn) 和 方法。 自招的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與高考 有很大不同。首先 ， 備考時(shí)間 相對(duì) 較短； 其次 ，可供 參考的真題非常有限，只有 10 套左右，無(wú)法進(jìn)行大量 練習(xí)；第三，每年的 自招 題目在考察范圍和難度上波動(dòng) 性較大 。 因此在自招備考時(shí)，對(duì)真題的利用要更高效，對(duì)每道題 目 盡可能多挖掘 一些內(nèi)涵 ； 解答完 每 道題后，要重新 梳 理一下題目 過(guò)程， 找到 思路的觸發(fā)點(diǎn)，爭(zhēng)取遇到類似的題目 時(shí) 能 舉一反三。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 四 、 自 主 招 生 知識(shí)補(bǔ)充，例題分析 1. 集合與命題 【知識(shí)補(bǔ)充】 容斥原理： ()A B C A B C A B B C A C A B C 例 1： 某班共有 36 人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為 26、 15、 13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有 6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有 4 人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有 人 解析： 設(shè)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)的有 m 人， 利用容斥原理得到 3 6 2 6 1 3 1 5 4 6 0m . 例 2：（ 2007 復(fù)旦）“ 12a ”是“直線 ( 2) 3 1 0a x ay 與直線 ( 2 ) ( 2 ) 3 0a x a y 相互垂直”的 . A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分也不必要 解析： ( 2 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) 0a a a a 14 ( 2 )( ) 02aa 2. 函數(shù)與方程 【知識(shí)補(bǔ)充】 三次方程韋達(dá)定理 設(shè)三次方程 32 0ax bx cx d 的三個(gè)根為 1 2 3,x x x ，則有 1 2 31 2 2 3 1 31 2 3bx xacx x x x x xadx x xa 例 1： （ 2008 復(fù)旦）方程 2( 8 1 5 )( 2 )31x x xx 有幾個(gè)解 解析： 2( 8 1 5 )( 2 ) 0x x x 或 31x. 例 2： （ 2005 上海交大） 22 8 1ax x by x 的最大值為 9，最小值為 1，求實(shí)數(shù) ,ab的值 . 解析： 22 8 1ax x by x 2( ) 8 0y a x x y b 方程有根得到 0 64 4( ) ( ) 0y a y b ( 1 ( 9 ) 0yy 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 3. 不等式 【知識(shí)補(bǔ)充】 1）常用不等式及其推廣 對(duì) ,ab R，有 22 21122a b a b abab 推廣到 n 個(gè)正實(shí)數(shù)，有 2 2 21 2 1 2 12121 1 1nn n nna a a a a a na a anna a a 2）柯西不等式 設(shè) 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,nna a a a b b b b是實(shí)數(shù)，則有 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n n ba a a b b b a b a b a b 當(dāng)且僅當(dāng) 0( 1, 2, , )ib i n 或存在一個(gè)數(shù) k ，使得 ( 1, 2, , )iia kb i n 時(shí)，等號(hào)成立。 證明： 若 1, 2,ia i n 全部為零，則不等式 顯然成立 ； 若 ia 不全為零，構(gòu)造二次函數(shù) 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( )n n n nf x a a a x a b a b a b x b b b 又因?yàn)?2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nnf x a x b a x b a x b 所以二次函數(shù) ()fx的判別式 0 即 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 ( ) 4 ( ) ( ) 0n n n na b a b a b a a a b b b 柯西不等式推論一 2 2 2 21 2 1 21 () nna a a a a an 證明： 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 )nna a a a a a 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )nnn a a a a a a 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 柯西不等式推論二 設(shè) iaR ，則有 2111nniii iana 例 1： 已知 2 3 1x y z ，求 2 2 2x y z的最小值。 解析： 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) 1x y z x y z 2 2 2 114x y z 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 3x y z，即 1 1 3,1 4 7 1 4x y z 時(shí)， 2 2 2x y z取最小值 114 . 例 2： （ 2004 復(fù)旦） 求證：3 3 31 1 11323 n . 證明： 因?yàn)?31 1 1 1 1()( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1m m m m m m m m mm 1 1 1 1 1() 211 mmm m m 而且 1 1 1 122m m m m m 所以有 31 1 111mmm 所以 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 111 1 3 2 4 1 123 nnn 2 1 1232 1nn 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 4. 三角函數(shù)，解三角形 【知識(shí)補(bǔ)充】 倒數(shù)關(guān)系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 平方關(guān)系 22sin cos 1 221 tan sec 221 cot csc 三倍角公式 3sin 3 3 sin 4 sin 3co s 3 4 co s 3 co s 萬(wàn)能公式 22 tan 2sin1 tan 2 221 tan 2cos1 tan 2 22 tan 2tan1 tan 2 積化和差公式 1s i n c o s s i n ( ) s i n ( ) 2 1c o s s i n s i n ( ) s i n ( ) 2 1c o s c o s c o s ( ) c o s ( ) 2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 1s i n s i n c o s ( ) c o s ( ) 2 和差化積公式 s i n s i n 2 s i n c o s22 s i n s i n 2 c o s s i n22 c o s c o s 2 c o s c o s22 c o s c o s 2 s i n s i n22 例 1： （ 2013 華約） 已知 x 、 y 滿足1sin sin31cos cos5xyxy ，求 cos xy 與 sin xy 的值 解析： （ 1）將兩式的兩邊分別平方后相加得 2 2 2 2 2 211s i n s i n 2 s i n s i n c o s c o s 2 c o s c o s 2 2 c o s ( ) ( ) ( )35x y x y x y x y x y 計(jì)算可得 208cos 225xy （ 2）方法一：先將兩式分別相乘 得到 11s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n 2 s i n 2 s i n ( )22x x x y y x y y x y x y 因?yàn)?s i n 2 s i n ( ) s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) s i n ( )x x y x y x y x y x y x y 所以 1 1 1 1sin 2 sin 2 sin ( ) sin ( ) c os ( ) c os ( ) sin ( ) sin ( ) c os ( )2 2 2 217 1c os ( ) sin ( ) sin ( ) c os ( ) 1 sin ( ) sin ( )22 5 15x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y 計(jì)算得 15sin 17xy 方法二：先分別將兩式和差化積，相除得到 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 3tan 25xy 由萬(wàn)能公式得 22 t a n 152si n171 t a n2xyxy xy 例 2： （ 2013 北約） 對(duì)任意 ，求 63 2 c o s c o s 6 6 c o s 4 1 5 c o s 2 的值 解析： 6 3 23 2 3 3 2c o s 2 13 2 c o s c o s 6 6 c o s 4 1 5 c o s 2 3 2 ( ) c o s 4 c o s 2 s i n 4 s i n 2 6 ( 2 c o s 2 1 ) 1 5 c o s 224 c o s 2 1 2 c o s 2 1 2 c o s 2 4 2 c o s 2 3 c o s 2 2 c o s 2 1 2 c o s 2 6 1 5 c o s 2 1 0 例 3： （ 2005 復(fù)旦）在 ABC 中， tan : tan : tan 1 : 2 : 3A B C ，求 ACAB. 解析： A B C ，所以 t a n t a nt a n t a n ( ) t a n t a n 1BCA B C 3 3 ( t a n t a n )t a n t a n2 t a n t a n 1BCCB BC 可解得 tan 1A ， tan 2B , tan 3C ，由正弦定理即可求 ACAB. 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 5. 數(shù)列 【知識(shí)補(bǔ)充】 1） 累差迭加法求數(shù)列通項(xiàng) 若數(shù)列 na 滿足 1 ()nna a f n 的遞推式，其中 ()fn 是等差數(shù)列或等比數(shù)列，即當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項(xiàng)之間的差組成等差或等比數(shù)列時(shí)，則可用累差迭加法求通項(xiàng)。 2） 累商迭乘法求數(shù)列通項(xiàng) 當(dāng)數(shù)列 na 能寫成 1 ()nna a f n 的形式時(shí)，可利用累商迭乘法求數(shù)列通項(xiàng)。 3） 待定系數(shù)法 形如 1nna pa q 的數(shù)列，可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列 1 ()nna p a 來(lái)求解。 4） 特征方程法 形如 11n n na pa qa（其中 2n ， ,pq為常數(shù)）的數(shù)列 如果特征方程 2x px q的兩根為 12,xx，則當(dāng) 12xx 時(shí)，有 12nnna x x 當(dāng) 12xx 時(shí)，有 1()nna n x 其中 ,是由數(shù)列的初始值 12,aa確定的常數(shù)。 例 1： 已知 1 5a ， 21 2425nn naa a ，求數(shù)列 na 的通項(xiàng)公式 . 解析： 21 2425nn naa a 2112 5 2 4n n n na a a a 令 nna b x，帶入上式得到 221 1 12 2 5 5 2 4 0n n n n nb b x b b b x x 令常數(shù)項(xiàng) 2 5 24 0xx 得到 3x 或 -8. 令 3nnba，則 2112 11 0n n n nb b b b 21 2 11nn nbb b 211 2 11n n nb b b 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 令 1n nx b，得到 21 2 11n n nx x x 211 1 1 (1 1 1)nnxx 兩側(cè)取對(duì)數(shù)得 1ln (1 1 1) 2 ln (1 1 1)nnxx 且其首項(xiàng)為 1 1 1 1 3l n (1 1 1 ) l n (1 1 1 ) l n32x a 所以 1 13ln(11 1) 2 ln 2nnx 121311 1 ( )2 nnx 121 1311 1 ( )32 nna 1211 313( ) 12 nna ， 1,2,3n 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 6. 排列組合 例 1： （ 2013 華約 ）設(shè)集合 | 10A x xZ ， B 是 A 的子集，且 B 中的元素滿足： 各個(gè)數(shù)字互不相同； 任意兩個(gè)數(shù)字之和不等于 9 集合 B 中的兩位數(shù)與三位數(shù)各有多少個(gè)？ 解析： 集合 B 中的兩位數(shù)，十位數(shù)字為 1 的數(shù)，個(gè)位數(shù)字不能為 1 和 8，所以有 8 個(gè) 同理，十位數(shù)字為 2 的數(shù)，個(gè)位數(shù)字不能為 2 和 7，所以有 8 個(gè) ； 依次類推，集合 B 中的兩位數(shù)共有 9 8=72 個(gè) 集合 B 中的三位數(shù)，百位數(shù)字共有 9 種選擇選定了百位數(shù)字后，十位數(shù)字有 8 種選擇，個(gè)位數(shù)字有 6 種選擇，所以 B 中的三位數(shù)共有 9 8 6 432 個(gè) 集合 B 中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？ 解析： 09 的 10 個(gè)數(shù)字中共有 5 對(duì)和為 9 的數(shù)字，根據(jù)條件要求，有五位數(shù)，如 56789； 一個(gè)各個(gè)數(shù)字不同的六位數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)字的和為 9，故沒(méi)有六位數(shù)。 將集合 B 中的數(shù)從小到大排列，第 1081 個(gè)數(shù)是什么？ 解析： 在集合 B 中，兩位數(shù)與三位數(shù)共有 504 個(gè)；四位數(shù)中千位數(shù)字相同的數(shù)各有8 6 4=192 個(gè)因此第 1081 個(gè)數(shù)是千位數(shù)字為 4 的第一個(gè)數(shù)，它是 4012 例 2： （ 2013 北約） 在 66 棋盤上放 3 個(gè)完全相同的紅色的車和 3 個(gè)完全相同的黑色的車，若這 6 個(gè)車不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有 種