2014年寒假自主招生班型導學4物理-電路 電場 磁場等

2014年寒假自主招生班型導學 （第 四 次） （物理） 資料說明 本 導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。每個班型導學共由 4 次書面資料構成。此次發(fā)布的為第四次導學。 4 次導學的相應關聯(lián)以及課程詳細授課內容，請參見相應班型的詳細授課大綱。寒假授課即將開始，除現(xiàn)場授課及答疑外，歡迎大家參加寒假之后的在線答疑活動。祝大家在寒假中收獲良多，學習進步！ 自主招生郵箱： 數學競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014年寒假集中培訓 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-4-1A 2013-12-25發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014年寒假自主招生班型導學（物理 2） 導學內容大綱 . 3 重點與難點 . 5 導學知識點 . 6 9. 電路 . 6 9.1 歐姆定律 . 6 9.2 復雜電路計算 . 6 10. 電場 . 7 10.1 庫侖定律 . 7 10.2 電場強度 . 8 10.3 電勢和電勢能 . 8 10.4 靜電場中的導體和電介質 . 9 10.5 電容和電容器 . 10 11. 磁場 . 10 11.1 磁感應強度 . 10 11.2 安培力 . 11 11.3 洛倫茲力 . 12 12. 電磁感應 . 12 12.1 楞次定律 . 12 12.2 法拉第電磁感應定律 . 13 12.3 動生、感生電動勢 . 13 13. 交流電 . 14 13.1 交流電的最大值、平均值和有效值 . 14 13.2 電阻、電感、電容對交變電流的作用 . 14 14. 幾何光學 . 14 14.1 幾何光學理論基礎 . 14 14.2 成像基本公式 . 15 15. 波動光學 . 19 15.1 光的干涉 . 19 15.2 光的衍射 . 20 15.3 光的偏振 . 20 16. 近代物理 . 20 16.1 光的量子性 . 20 16.2 不確定關系 . 21 16.3 原子結構 . 21 16.4 原子核 . 22 16.5 狹義相對論 . 23 16.6 時間膨脹與長度收縮 . 23 16.7 洛倫茲變換 . 24 16.8 同時的相對性 . 25 16.9 相對論力學 . 25 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 導學習題 . 26 9. 電路 . 26 10. 磁場 . 27 11. 電磁感應 . 30 12. 交流電 . 32 13. 幾何光學 . 33 14. 波動光學 . 35 15. 近代物理 . 36 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 導學 內容大綱 9.電路 無限電阻網絡等效電阻 閉合電路的歐姆定律 (多電源 )、一段含源電路的歐姆定律 歐姆定律的微觀解釋 基爾霍夫定律 10.電場 電荷守恒定律 庫侖定律 靜電力常量、真空介電常量、相對介電常量 點電荷的場強、電勢 場強疊加原理 無限大均勻帶電面的場強 均勻帶電球殼殼內的場強和殼外的場強公式 電場中的導體、靜電屏蔽 電場、電勢疊加原理 電容 平行板電容器的電容公式 電容器的連接 電容器充電后的電能 11.磁場 無限長直導線中電流的磁場的表示式 圓線圈中電流的磁場在軸線上表示式 無限長螺線管中的電流的磁場的表示式 真空磁導率 霍爾效應 12.電磁感應 感生電動勢與動生電動勢 感應電場 (渦旋電場 ) 自感系數 帶電粒子在電磁場中運動 導體棒在雙導軌電磁場中綜合問題 13.交流電 交流電的最大值、平均值和有效值 電阻、電感、電容對交變電流的作用 變壓器和原理、原幅線圈電壓電流的關系 14.幾何光學 折射、全反射 光的色散、折射率與光速的關系 平面鏡成像 球面鏡成像公式及作圖法 薄透鏡成像公式及作圖法 15.波動光學 光的干涉 光的衍射 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 光的偏振 16.量子論初步 能量量子化，普朗克常數 光電效應、愛因斯坦光電效應方程 能級 康普頓效應 光子的能量與動量 光的波粒子二象性、粒子的波粒二象性、物質波、概率波 17.原子核 粒子散射實驗、原子的核式結構 氫原子的能級結構、光子的發(fā)射和吸收 原子核的組成、天然放射現(xiàn)象、衰變、半衰期 核能，質量虧損，愛因斯坦的質能方程 18.狹義相對論 愛因斯坦假設 時間和長度的相對論效應 相對論動量 0221mvp mvvc 相對論能量 22 0221mcE m cvc 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 重點 與 難點 本次導學主要涉及模塊為 電磁 學 、光 學 和近代物理 。 電磁 學部分按照研究內容劃分，主要包括 電路 、 電場 、 磁場以及電磁感應 等內容，是歷次自主招生考試以及高考中的重點 ， 對2013 年華約、北約、卓越三個聯(lián)盟的自主招生真題分析顯示， 電磁 學部分所占比例分別為30%、 25%、 40%， 光 學部分所占比例分別為 15%、 4%、 4%，近代物理部分所占比例分別為 10%、 4%、 4%。這些比例表明 電磁 學部分 在自主招生考試中占據相當大的比例，而 光 學以及近代物理部分 肯定有所涉及。 電路部分， 在歷年自招考試中并未出現(xiàn)單獨考察 復雜電路計算 的題目 ， 但不排除以后考察的可能性， 需要 學生 掌握 基爾霍夫定律 ，靈活運用電路 對稱性 、 疊加原理 化簡電路并求解。 靜電場部分， 庫侖定律 是靜電場基本定律，此外電場強度還可用 高斯定理 計算。靜電場中的導體涉及 靜電屏蔽 ，該部分理解容易，但應用中變化較多。 磁場部分，主要題型是通過 安培力 或 洛倫茲力 將題目與運動學、動力學結合，也是電磁學的重點和難點。此外，對磁場還要求能使用 比奧 -薩法爾定律 計算磁感應強度。 電磁感應部分，經常將感應電動勢通過的安培力與運動學、動力學結合，重點在于掌握法拉第電磁感應定律 ，理解 動生、感生電動勢 。 幾何光學部分，需要掌握大量的 成像公式 ，從基本成像公式出發(fā)可解決絕大部分幾何光學題目。此外掌握一定的 光路作圖 技巧在解決幾何光學問題時也十分有益。 波動光學部分，需要理解與 光的波動性 相關的 干涉 、 衍射 現(xiàn)象及相關公式，波動光學題目在 自招考試中 中所占比例不高，理解現(xiàn)象并掌握公式即可解決絕大部分問題。 原子和原子核部分，需要掌握原子結構及 核反應 相關知識。光譜規(guī)律要掌握 氫原子光譜波長公式。 狹義相對論部分，需要掌握 洛倫茲變換 、 時間膨脹 和 長度收縮 變換公式，理解 “固有 ”概念并在解題中正確使用變換公式。由于狹義相對論理論性較強，理解頗有難度。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 導學 知識點 9. 電路 9.1 歐姆定律 (1) 電阻定律 導體的電阻跟它的長度 l 成正比，跟它的橫截面積 S 成反比，即 SlR ，式中， 是導體的電阻率，它與導體的溫度 T 有如下關系： )1(0 T ，其中 0 為導體在 0 時的電阻率， 為導體的電阻溫度系數。 某些金屬、合金及化合物，當溫度降到某一特定溫度時，電阻率趨于零，這種現(xiàn)象叫做超導現(xiàn)象。 (2) 歐姆定律 電路中任意兩點間的電勢差等于連接這兩點的支路上各電路元件上電勢降的代數和。這里需要注意電勢降的正負號。在電路的任意一個閉合回路上，電勢降的代數和為零。 閉合電路的歐姆定律： rRI ， 為電源電動勢， R 為外電阻， r 為電源內阻。注意，歐姆定律只對純電阻電路 適用。 9.2 復雜電路計算 不能通過電阻串并聯(lián)公式求解的電路為復雜電路，如電橋電路等，求解復雜電路的基本原理是 基爾霍夫定律 。對復雜電路還可通過基爾霍夫定律推得一些變換規(guī)律從而 化簡 電路。 （ 1） 基爾霍夫定律 第一定律：穩(wěn)恒電流電路中電荷分布不隨時間改變，對電路中任一節(jié)點（三條或三條以上支路匯合點）， 流進的電流等于流出的電流 。若規(guī)定流進電流為負，流出電流為正，則各支路電流代數和為零，即 0iI 。 第二定律：穩(wěn)恒電流電路中任一閉合回路，電勢增量的代數和為零，即0 iii RI 。式中規(guī)定 i 和 Ii 的符號按如下規(guī)則選取：選定閉合回路的繞行方向后，與繞行方向一致的 Ii 為正，相反為負；沿繞行方向從負極到正極 i 為負，從正極到負極 i 為正。 （ 2） 疊加原理 若電路中有多個電源，則通過電路中任一支路的電流等于 各個電源單獨存 在且 其他電源短路 時，在該支路產生的電流之和。 利用疊加原理，計算一個多電源電路時，可以分別考慮各電源的單獨作用，然后再疊加起來，常用來解決電路中含多個電源導致電阻連接不易判斷的問題。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 （ 3） 無源二端網絡等效電阻 任何電阻網絡不管是簡單或是復雜的，只要有 兩個引出端 ， 內部無電源 ，則稱為無源二端網絡。若網絡兩端之間電壓為 U，從一端流進另一端流出的電流為 I，則 IUR 稱為二端網絡的電阻。 i. 對稱性化簡法 一個復雜網絡，若能找到一些完全對稱的點，在網絡兩端加上電壓后，其電勢相等，因而把這些點 “短路 ”或 “斷路 ”均不影響網絡中的電流分布， 從而不影響網絡的等效電阻。 ii. 電流分布法 設電流 I 從二端網絡的 A 端流入， B 端流出，根據基爾霍夫第一定律解出網絡各支路電流（與電流 I 的比例關系），任選 A 到 B 的一條支路計算電勢差，由 IUR ABAB確定 RAB。 iii. Y-變換法 將三個支路連接成具有三個節(jié)點的回路，稱為三角形（ ）連接；若將三個電阻的一端連接，則只有一個節(jié)點，稱為星形（ Y）連接。為簡化電路結構，兩種連接可相互轉換。 用 Y 連接替代 連接：312312312333123122312231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR 用 連接替代 Y 連接：132133132132232132112RRRRRRRRRRRRRRRRRR （ 4） 無限多 電阻元件構成的二端網絡 對無限多電阻元件構成的二端網絡求解，一種方法是用歸納法并令歸納結果中 k ；另一種方法是根據無限網絡的對稱性求解；還有一種方法是利用 “ 11 ”的極限思想列寫方程求解。 10. 電場 10.1 庫侖定律 庫倫定律是電磁場理論的基本定律之一。其內容是： 真空 中兩個靜止的點 電荷 之間的作用力與這兩個電荷所帶 電量 的乘積成 正比 ，與它們 距離 的平方成 反比 ，作用力的方向沿著這兩個點電荷的連線，同名電荷相斥，異名電荷相吸。即221rqqkF 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 10.2 電場強度 （ 1） 電場強度 電場的客觀存在可由電場對處于其中的任意電荷的作用力來體現(xiàn)，為了從力的角度描繪這個客觀存在的場，引入電場強度這一物理量，其定義為qFE 。 其中， q 為試驗電荷。為了確定空間每點的電場性質，試驗電荷必須是點電荷。電場強度在電場確定后就已經確定了，與試驗電荷無關。 （ 2） 疊加原理 電場強度是矢量，方向與該點正電荷受力方向相同。當空間有多個電荷產生的場強時，空間某點的場強等于各個電荷單獨存在時在該點場強的矢量和，這叫做場強的疊加原理。 （ 3） 高斯定理 通過一個任意閉合曲面的電通量 e 等于該面包圍的所有電荷電量的代數和的 K4 倍（或 01 倍）。 高斯定理說明靜電場是有源場。利用高斯定理可以求出某些具有對稱性電場的電場強度。 （ 4） 幾種特殊帶電體的場強 i. 點電荷：2rQKE ii. 均勻帶電球殼：RrrQKRrE,02， r 為空間點到球心距離， R 為球殼半徑。 iii. 均勻帶電球體：RrrQKRrr rqKE,)(22 ， r 為空間點到球心距離， R 為球殼半徑，q(r)為半徑 r 的球體內帶電荷量。 iv. 無限大帶電薄板：02E ， 為電荷密度。 v. 無限大帶電厚板：0E ， 為電荷密度。 10.3 電勢和電勢能 類比重力場中重力做功，靜電場中靜電力做功等于電勢能的減少，有 BAAB WWA 。要確定電勢能的大小，還需要選擇一個零勢能參考點。通常，如果帶電體系局限在有限大小的空間里，選擇無窮遠處的電勢能為零。那么10rqqKWQ 。 電勢能除了與電場有關，還與 q0 有關。因此，用 Wp 與 q0 的比值描繪電場，稱之為電清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 勢。電勢為標量0qWU 。 對點電荷電場，電勢 rqKU 。點電荷組 qi(i=1,2,n) ，空間任一點的電勢 U 等于各點電荷單獨存在時該點的電勢 Ui 的代數和，即 ni iini i rqKUU11。 10.4 靜電場中的導體和電介質 （ 1） 靜電平衡 以金屬導體為例，當其置于靜電場時，自由電子發(fā)生定向運動，導體的兩端面出現(xiàn) 等量異性電荷 ，這個現(xiàn)象稱為靜電感應。當靜電感應電荷產生的電場與外電場疊加使得 導體內部場強為零 時 ，電荷分布不再變化，場強分布不再變化，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。 靜電平衡的條件是：導體內部場強處處為零。 靜電平衡的導體具有以下特點： i. 導體是 等勢體 ，導體表面是 等勢面 。 ii. 凈電荷 只分布在導體 表面 ，表面 曲率大 處表面 電荷密度也大 。 iii. 導體表面附近場強與導體表面垂直，其大小與導體表面對應點的電荷面密度 的關系為 )(40 EKE 。 （ 2） 靜電屏蔽 導體的 外殼 對它的 內部 起到 “保護 ”作用，使它的內部不受 外部電場 的影響，這種現(xiàn)象稱為靜電屏蔽。根據靜電平衡導體的特性我們可以很容易得到靜電屏蔽這一結論。 （ 3） 電偶極子 兩個帶 電量相等 ，但 符號相反 且 相隔很近 的點電荷組成的系統(tǒng)稱為電偶極子，電偶極子用 電偶極矩 矢量來描繪，其大小等于一個點電荷的電量與相隔距離的乘積，方向由 負電荷指向正電荷 。 （ 4） 靜電場中的電介質 電介質就是絕緣體。電介質根據分子結構分為兩類，一類介質分子的 正負電荷中心重合 ，稱為 無極分子 ，另一類介質分子的 正負電荷中心不重合 ，形成電偶極子。無外電場時無極分子介質對外不顯電性，有極分子電偶極子由于熱運動排列雜亂無章，對外也不顯電性。當外加靜電場時，無極分子正負電荷中心沿電場線方向錯開，形成電偶極子；有極分子電偶極子收到電場力力矩，轉向電場方向。兩種介質都會順著電場方向形成電偶極子，從而在介質 表面 甚至 內部 產生 凈電荷 ，這種現(xiàn)象稱為電介質的 極化 。極化產生的電荷稱為極化電荷或束縛電荷。 極化電荷也會產生電場，且與外電場方向相反，從而削弱原電場，引入電介質的相對介電常數 r 這一物理量描繪電介質削弱原 電場的性質。設真空中場強 E0，均勻電介質充滿這清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 一空間時場強rEE 0 ，從而得到 EEr 0 。 10.5 電容和電容器 （ 1） 孤立導體電容 孤立導體電容定義為 UqC 。注意，電容是導體的固有屬性，與是否帶電無關。對球形導體， RqKU ，所以球形導體電容為 KRC 。 （ 2） 常見電容器及其電容 當一導體被另一導體 完全屏蔽 ，則這兩個導體組成電容器。電容器電容的定義為UqC ， U 為兩導體間電勢差。常見的電容器有 平行板電容器 、 球形電容器 和圓 柱形電容器 。它們的電容為： 平行板電容器： KdSC 4 ， S 為平板面積， d 為兩平板間距。 球形電容器：)( 12 21 RRK RRC ， R1為內球半徑， R2為外球殼內半徑。 圓柱形電容器： )ln(2 12RRKLC ， R1為內柱半徑， R2為外筒內半徑。 （ 3） 靜電場的能量 對 n 個點電荷組成的點電荷組，電場的能量 ni iinn UqUqUqW 111 21)(21 ，其中 Ui為 除 qi外 其他點電荷在 i 點處的電勢之和。 對電容器，其儲存的能量為CQW 22，單位體積的能量（能量密度） 2021 Ee 。 11. 磁場 11.1 磁感應強度 （ 1） 磁場 磁鐵和磁鐵，電流和磁鐵以及電流和電流間的相互作用是通過場的形式產生的，這種場叫做磁場。磁場是 無源場 ，磁感線無頭無尾，對任意封閉曲面有多少磁感線穿入必有多少穿出，即 封閉曲面磁通量為零（磁場高斯定理） 。自然界中沒有單獨存在的 N 極或 S 極。 （ 2） 磁感應強度 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 將一稱為 電流元 的、長度為 L 的載流導線放在磁場中某一點，電流元所受到的力與 L、載流 I 及其 方位 有關。當電流元在某一方位時所受力最大，這個最大力為 Fm與 IL 之比為一定值，這一比值即為該點的磁感應強度，即 LIFB m 。磁感應強度 B 的方向由受力為零且穩(wěn)定平衡時的電流方向 I 給出。 （ 3） 畢 -薩定律 一個電流元 IL 在相對電流元的位置矢量 r 的 P 點所產生的磁感應強度 B 的大小為2sinrLIK ， 為電流元 IL 的方向與 r 的夾角。 B 的方向由右手螺旋法則確定。若令40K ， 170 AmT104 為真空磁導率，則畢薩定律可寫為 20 sin4 rLIB 載流回路是由許多個電流元組成，求出每個電流元在 P 點產生的磁感應強度， 求和疊加 后得到整個回路在 P 點的磁感應強度。 （ 4） 幾種特殊載流體的磁感應強度 i. 圓電流軸線：2/32220)(2 Rx IRB ， x 為軸線上點到圓心距離， R 為圓電流半徑。 ii. 無限長直導線： rIB 20 ， r 為所求點到直導線距離。 iii. 無限長均勻載流圓柱體：RrrIRrrjB,2,200， j 為電流密度， R 為圓柱半徑。 iv. 無限長直螺線管內： nIB 0 ， n 為單位長度繞線匝數。 11.2 安培力 （ 1） 安培力 長為 L，電流強度為 I 的載流導線處磁感應強度為 B ，電流元與磁感應強度夾角為 ，則電流元受的安培力 sinLIBF ，方向由 左手定則 確定。 任意長度、任意形狀的載流導線可 分解 為若干小段直導線，各段受的安培力的 矢量和 即為整個導線所受的安培力。 （ 2） 磁偶極子 稱面積很小的載流線圈為 磁偶極子 ，用 磁偶極矩 Pm來描繪它。磁偶極矩的大小為平面清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 線圈的面積與所載電流強度的乘積，即 ISPm ，方向滿足右手螺旋法則。線圈所受力矩為sinBPM m ， 為線圈法線與磁感應強度的夾角。 11.3 洛倫茲力 （ 1） 洛倫茲力 帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力為 sinqvBF ， 為帶電粒子速度與磁感應強度的夾角。洛倫茲力方向與粒子 速度方向垂直 ，洛倫茲力不做功，不能改變電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。 （ 2） 帶電粒子在勻強磁場中的運動 若 Bv / ，勻速直線運動。 若 Bv ，勻速圓周運動。圓周半徑qBmvR，運動周期qBmT 2。 若 v 和 B 成夾角 ，把速度 分解 為 平行 與磁感應強度的分量 cosv 和 垂直 于磁感應強度的分量 sinv ，粒子運動為兩種運動的疊加，即 螺旋運動 。螺旋半徑qBmvR sin，每個螺旋的周期qBmT 2，螺距qBmvvTh 2c o sc o s 。 （ 3） 磁聚焦 設從磁場 A 點射出一束很窄的帶電粒子流，其速率 v 相差無幾，與 B 的夾角 都很小，則 vvv cos/ ， vvv sin 。由于速度的垂直分量不相等，粒子將在磁場作用下沿不同半徑做螺旋運動。由于水平分量近似相等，運動周期與速度無關亦相等，故經歷時間 T 后，它們又都在前進qBmvh 2后相遇于 A 點，這與光經過透鏡后聚焦的現(xiàn)象相似，所以叫磁聚焦。 12. 電磁感應 12.1 楞次定律 閉合回路中感應電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場 阻止 引起感應電流的磁通量的變化，這個結論就是楞次定律。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 在使用楞次定律判斷感應電流方向時，首先判斷穿過閉合回路 磁感線沿什么方向 ， 磁通量 如何變化（ 增加 /減少 ），然后根據 楞次定律 確定 感應電流激發(fā)的磁場 應沿什么方向（與原磁場 反向 /同向 ）。最后根據 右手定則 從感應電流產生的磁場方向確定感應電流方向。 12.2 法拉第電磁感應定律 閉合回路中感應電動勢 與穿過回路的 磁通量的變化率 t 成正比，即tK 。式中 K 為比例系數，取決于 、 和 t 的單位，如果 的單位用 Wb， t 的單位用 s， 的單位用 V，則 K=1。式中負號代表感應電動勢方向。最終有 t 。 12.3 動生、感生電動勢 （ 1） 磁通量變化方式 磁通量 iii SB c os變化有下列 三種情況 ： i. B 不變， 不變，但電路中的一部分切割磁感線運動使回路面積改變，從而使 改變。 ii. B 不變， S 不變，但回路在磁場中轉動使得回路所包圍的面與 B 的夾角 改變，從而使 改變。 iii. S 不變， 不變，但磁感應強度改變，從而使得 改變。 （ 2） 動生電動勢 前兩種磁通量變化方式是由于回路的一部分或整體在 磁場中運動 使得通過回路的磁通量改變而產生感應電動勢，稱為動生電動勢。 動生電動勢所對應的 非靜電力是洛倫茲力 ， 切割磁感線運動 產生的動生電動勢 sinBlv ， 是速度與磁感應強度的夾角。動生電動勢方向根據洛倫茲力方向判斷，也可根據楞次定律判斷。 （ 3） 感生電動勢 第三種磁通量變化方式是由于磁場變化使得通過回路的磁通量改變而產生感應電動勢，稱為感生電動勢。 感生電動勢對應的非靜電力是感生電場對電荷的作用力。感生電場為無源場，感生電場對電荷的力是非保守力。 對無限長螺線管內的感生電場，有RrtBrRRrtBrE,2,22感 。 R 為螺線管半徑。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 13. 交流電 13.1 交流電的最大值、平均值和有效值 交流信號是時間的函數，它的幅度是隨時間而變化的，在變化的過程中所出現(xiàn)的最大瞬間值叫交流電的最大值。 因為交流電是以正弦變化的，電流每時都在變化，當在正弦的頂點是最大。 有效值是指交流電在一個周期內所做的功與直流電所做的功等效這一觀點來定義的。 13.2 電阻、電感、電容對交變電流的作用 交流電也可以通過線圈，但是線圈的電感對交流電有阻礙作用，這個阻礙叫做感抗。交流電越難以通過線圈，說明電感量越大，電感的阻礙作用就越大；交流電的頻率高，也難以通過線圈，電感的阻礙作用也大。實驗證明，感抗和電感成正比，和頻率也成正比。如果感抗用 XL 表示，電感用 L 表示，頻率用 f 表示，那么其計算公式為： XL = 2fL = L 感抗 的單位是歐。知道了交流電的頻率 f(Hz)和線圈的電感 L(H)，就可以用上式把感抗計算出來。電感的單位是 “亨利（ H） ”我們可利用電流與線圈的這種特殊性質來制成不同大小數值的電感器件，以組成不同功能的電路系統(tǒng)網絡 . 交流電是能夠通過電容的，但是將電容器接入交流電路中時，電容器極板上所帶電荷對定向移動的電荷具有阻礙作用，物理學上把這種阻礙作用稱為容抗，用字母 Xc 表示。所以電容對交流電仍然有阻礙作用。電容對交流電的阻礙作用叫做 容抗 。 Xc = 12fC 電容量大，交流電容易通過電容，說明電容量大，電容的阻礙作用?。唤涣麟姷念l率高，交 流電也容易通過電容，說明頻率高，電容的阻礙作用也小。 14. 幾何光學 14.1 幾何光學理論基礎 （ 1） 光線與幾何光學 表示光傳播方向的幾何線稱為光線。光線是一個抽象的數學概念，不是從實際光束中借助有孔光闌分出的一個狹窄部分。因為在孔小到一定程度時將會發(fā)生衍射現(xiàn)象，不可能分出無限窄的一條光束。 在光學成像問題中，借助光線概念和基本實驗定律及集合定律，可以進行一切必要的計算而不涉及光的本性問題，這部分以實驗定律和集合定律為基礎的光學稱為幾何光學。 （ 2） 基本實驗定律 光的直線傳播定律 ：光在均勻介質中是沿直線傳播的，即在均勻介質中，光線為一直線。 光的獨立傳播定律 ：自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時，對每一光線的獨立傳播清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 15 頁 S S1 S2 S3 S4 S5 O 不發(fā)生影響 。 光的反射定律 ：入射光線、入射點出反射面的法線和反射光線在同一平面內，且入射光線與法線的夾角 i1等于反射光線與法線的夾角 i2。 光的折射定律 ：入射光線、折射光線和入射點處分界面的法線在同一平面內，且入射光線和折射光線分別位于法線兩側，入射角 i1和折射角 i2滿足 1 1 2 2sin sinn i n i 。其中， n1和 n2分別是介質 1 和介質 2 的折射率。 全反射現(xiàn)象：光由光密介質射入光疏介質時，由折射定律知折射角大于入射角。對應折射角為 90時的入射角稱為臨界角 ic，有 arcsinc ni n 疏密。當入射角大于臨界角 ic時，折射光線不再存在，入射光全部反射，這種現(xiàn)象叫全反射現(xiàn)象。 （ 3） 費馬原理 均勻介質中，光線行徑的 幾何路徑長度 s 與 介質折射率 n 的乘積稱為光在該介質中所走的 光程 ，用 表示，即 ns 。又 cns s ctv，即光程可認為是相同時間內光在真空中通過的路程。 費馬原理指出：光在指定的兩點間傳播，實際的光程總是一個 極值 。也就是說，光沿光程值為最小、最大或恒定的路徑傳播。費馬原理是幾何光學中一個最普遍的基本原理，在折射率連續(xù)變化的介質中費馬原理的應用十分重要。 14.2 成像基本公式 （ 1） 物方空間和像方空間 對某一光學系統(tǒng)，未經它變換前的實際入射單心光束所在的空間稱為 物方空間 ，經系統(tǒng)變換后的實際出射單心光束所在的空間稱為 像方空間 。所有的物方量，如物距 S、物方焦距f 都永遠屬于物方空間，所有的像方量都永遠屬于像方空間。 （ 2） 正負號法則 在成像公式中涉及物距 s、像距 s、球面曲率半徑 r、物方焦距 f 和像方焦距 f等，均可正可負，需用一種標準來指定其 正負號的取法。這里需要說明的是正負號法則 不止一種 ，選取任一種法則都可得到正確的結論， 使用何種法則由個人習慣決定 。這里給出一種可行的正負號法則： i. 軸向線段：從球面頂點算起，沿光軸向左的線段為負值，向右的線段為正值。 ii. 橫向線段：從光軸算起，向上的橫向線段為正，向下的為負。 iii. 示意圖中線段長度均已絕對值標記，如物距 s 為負，則示意圖中標記為（ -s）。 若使用這種正負號法則，則 s0，物為虛物； s0，像為實像； s0，像為虛像。 （ 3） 平面反射成像 平面鏡成像物與像關于平面鏡對稱。平面鏡是最簡單的、不改變光束單心性的、能完善成像的光學系統(tǒng)。單平面鏡反射成像很簡單，像與物關于平面鏡對稱。 由兩個以上的平面鏡組成的光學系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會出現(xiàn)生成復像的現(xiàn)象。成像時遵循依次清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 16 頁 成像原則，即某一平面鏡成的像是其他平面鏡的物，直至所有像與物都確定。 兩面平面鏡 AO 和 BO 成 60角放置，用，很容易確定像的位置： 以 O 為圓心、 OS為半徑作圓； 過 S 做 AO 和 BO 的垂線與圓交于 S1和 S2； 過 S1和 S2作 BO 和 AO 的垂線與圓交于 S3和 S4； 過 S3和 S4作 AO 和 BO 的垂線與圓交于 S5， S1S5便是 S 在兩平面鏡中的 5 個像。 （ 4） 平面折射成像 i. 單平面折射成像 平面折射成像時，入射角 i0時，折射光束幾乎仍保持為單心，入射角越大，折射光束的像散越顯著。當入射角 i0時，像的深度 y與實際深度 y 的關系為 21nyyn 。 ii. 棱鏡折射與色散 入射光線經棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖的幾何關系知 1 2 1 2 1 1( ) ( )i i i i i i 其中 12sin sini n i ， 21sin sini n i 。 當 1i ， 很小時， 12i ni ， 21ni i 即 =(n-1) 厚度不計頂角 很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言， 與入射角大小無關，各成像光線經光楔后都偏折同樣的角度 ，所以作光楔折射成像光路圖時可畫成一使光線產生偏折角的薄平板，如右圖。設物點 S離光楔 L， 則像點 S在 S 的正上方 ()h l n l 。 當棱鏡中折射光線相對于頂角 對稱成等腰三角形時， 11ii ， 22ii 。 11sin sin sin 2i i n 2 a rc s in ( s in )2n 或 sin sin22n 這為棱鏡的最小偏向角 ，此式可用來測棱鏡的折射率。 由于同一種介質對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以白光經過棱A B C E F i1 i2 i2 i1 D G 折射率 h L S S 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 17 頁 鏡折射后產生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)象。陽光在水滴上經兩次折射和一次反射如圖 1。形成內紫外紅的虹；陽光經小滴兩次折射和兩次反射如圖 2，形成內紅外紫的霓。由于霓經過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。 （ 5） 單球面折射成像 i. 單球面對 近軸光線 的 折射成像公式 為 n n n ns s r ，式中 s 是物距， s是像距，r 是球面曲率半徑， n 和 n分別為單折射球面的物方折射率和像方折射率。定義成像公式中僅與折射率和球面曲率半徑有關的量 nnr 為 光焦度 ，單位是 米 -1或 屈光度 ，數值乘以 100 就是眼鏡片的度數。 ii. 物距 s時的像距稱為像方焦距， 單球面折射像方焦距 nfrnn ；像距 s時的物距稱為物方焦距， 單球面折射物方焦距 nfrnn 。 iii. 高斯成像公式 ： 1ffss 。 iv. 垂直于光軸的線段 y 經系統(tǒng)變換后仍是垂直于光軸的線段 y，且 y可正可負，這時像長 y與物長 y 的比值為垂軸放大率 。 單球面折射垂軸放大率 y nsy n s 。且有 ，實物成實像，虛物成虛像，正物成倒像； ，實物成虛像，虛物成實像，正物成正像； | ，得放大像； | |0為虛像 ，s0為實像 。 （ 7） 薄透鏡成像 透鏡由兩個 共軸球面 構成，若透鏡的厚度與球面的曲率半徑相比不能忽略，則成為 厚透鏡 ；若可略去不計，則稱為 薄透鏡 。 i. 設薄透鏡由兩個曲率半徑分別為 r1和 r2的折射球面組成，透鏡的折射率為 n，左右兩側介質的折射率分別為 n1 和 n2，則 近軸條件 下薄透鏡的成像公式為2 1 1 212n n n n n ns s r r ii. 薄透鏡的 光焦度 ： 1 2 112n n n nrr iii. 焦距 ： 11212nfn n n nrr ， 21212nfn n n nrr iv. 高斯成像公式 ： 1ffss ，對置于空氣中的薄透鏡，由 n1=n2=1，成像公式變?yōu)? 1 1s s f v. 垂軸放大率 ： 12nsyy n s vi. 焦平面與副光軸 薄透鏡中， 過焦點且垂直于主光軸 的平面為 焦平面 ， 過光心與焦平面相交 的直線都可作為透鏡的 副光軸 。 作透鏡光學系統(tǒng)的光路時，任意一條光線均可使用焦平面與副光軸作出其折射光線。方法如下： 先取入射光線與焦平面的交點 B，過光心 O 和該交點 B 作直線 OB，則 OB 為透鏡對該入射光線的副光軸， B 稱為透鏡對該入射光線的副焦點。類似過焦點光線的折射規(guī)律， 折射光線平行于 OB。 （ 8） 共軸光具組成像 多個光學元件組成的共軸光學系統(tǒng)稱為共軸光具組。在近軸條件下，共軸光具組成像問題可采用 逐次成像法 ，即把前一個元件所成的像視作后一個元件的物，依次套用成像公式進行求解。 （ 9） 視角、視角放大 物體的兩端對 人眼光心所張的角度 叫做 視角 ，視角的大小跟物體的 尺寸及物體到人眼的距離有關。當兩物點（或同一物體上的兩點）對人眼視角大小 I（約 2.910-4md）時，才能清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 19 頁 被人眼區(qū)分。 在看小物體時，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當其小于人眼近點距離時，視網膜上所成的像反而模糊不清。為此，必須使用光學儀器來增大視角。 右圖是人眼 （ E）通過放大鏡觀察物體 AB 的像 BA ，當人眼靠近光心時視角。 BOABOB BABOA 若物體很靠近焦點，且成像于明視距離，則： 25BO cm ， BO f A B ABB O f 若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖， BE=25cm，則視角： 25ABAEB cm 把用光學儀器觀察虛像所得視角 與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角 的比值叫做光學儀器的視角放大率。用 表示 視角放大率 ，即有 15. 波動光學 15.1 光的干涉 光的相干迭加： 兩列波的迭加問題可以歸結為討論空間任一點電磁振動的矢量迭加，所以，合振動平均強度為 221 2 1 2 2 12 c o s ( )I A A A A 其中 1A 、 2A 為振幅， 1 、 2 為振動初相位。 21222 1 1 222 21122 , 0 , 1 , 2 , ( )( 2 1 ) , 0 , 1 , 2 , ( )4 c os2j j I A Aj j I A AA A I A 其 他 且 AB E清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 20 頁 15.2 光的衍射 光繞過障礙物偏離直線傳播而進入幾何陰影，并在屏幕上出現(xiàn)光強不均勻分布的現(xiàn)象，叫做光的衍射。 15.3 光的偏振 光的偏振：振動方向對于傳播方向的不對稱性叫做偏振，它是橫波區(qū)別于其他縱波的一個最明顯的標志。光波電矢量振動的空間分布對于光的傳播方向失去對稱性的現(xiàn)象叫做光的偏振。只有橫波才能產生偏振現(xiàn)象，故光的偏振是光的波動性的又一例證。在垂直于傳播方向的平面內，包含一切可能方向的橫振動，且平均說來任一方向上具有相同的振幅，這種橫振動對稱于傳播方向的光稱為自然光（非偏振光）。凡其振動失去這種對稱性的光統(tǒng)稱偏振光。 16. 近代物理 16.1 光的量子性 （ 1） 光電效應 電子在光的作用下從金屬表面發(fā)射出來的現(xiàn)象稱為 光電效應 。逃逸出的電子稱為光電子。光電效應是光的量子性的直接反映。 為解釋光電效應，愛因斯坦提出光量子（簡稱光子）概念， 單個光子的能量 E 與頻率的 關系 為 Eh ，式中 h 為 普朗克常數 。 光電效應方程 為 212mh mv W ，即入射光子的能量等于剛從材料打出的光電子的初始動能加光電子逃逸所需的 逃逸功 。 光電效應方程說明，光電效應的產生 只與光子能量有關 ，而 與光線強弱無關 ，即單個光子能量達到一定值后，即使光線很弱也能產生光電子；而單個光子的能量未達到臨界值時，即使光線很強也不能產生光電子。 （ 2） 光子的質量和動量 光子的質量22Ehm cc，但 光子的靜止質量為零 。光子的動量 E h hp cc 。 （ 3） 康普頓效應 當 X 射線或 射線被碳、石蠟等輕原子物質散射后，其波長會變長，這一現(xiàn)象稱為康普頓效應。 用 表示入射射線方向與散射射線方向的夾角，則波長變化量 與角 的關系為 (1 cos )k 式中 k=0.0241，是一個通過實驗測出的常數，等于散射角為 90時的波長變化。 （ 4） 光壓 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 21 頁 從光子具有動量這一假設出發(fā)還可直接說明光壓的作用。光壓指光子流產生的壓強，計算公式為 (1 )P c 式中 為入射光強， 為壁的反射系數。 16.2 不確定關系 （ 1） 波粒二象性與物質波 理論和實驗結果表明，所有實物粒子都同時具有波動性和粒子性，也就是物質的波粒二象性。描述粒子特征的物理量（能量 E 和動量 p）與描述波動特征的物理量（頻率 與波長 ）的關系為 Eh ， hp 由此所有實物粒子都可看作物質波，其波長為 hp ，稱為 德布羅意波長 。 （ 2） 不確定關系 海森伯從量子理論推得，測量一個微粒的 位置 時，如果 不確定范圍是 x，那么同時測量其 動量 也有一個 不確定范圍 p，它們之間的關系為 p x h ，式中 h 為普朗克常數。 能量與時間之間也存在不確定關系。一個體系（如原子體系）處于某一狀態(tài)，如果時間有一段 t 不確定，那么它的能量也有一個范圍 E 不確定，兩個不確定范圍的關系為 E t h 16.3 原子結構 （ 1） 原子的核式結構 1911 年盧瑟福提出了原子的 核式結構 模型：原子中的正電荷與幾乎全部質量都集中在原子中心的一個很小的核里，這帶正電的原子核對每個電子施以庫倫吸引力，使分布在核外的電子繞核旋轉。由實驗數據估計出 原子核的大小約為 10-15m， 原子的大小約為 10-10m。 （ 2） 氫原子光譜規(guī)律 1889 年里德伯發(fā)現(xiàn)氫原子光譜的所有波長有一個普遍的經驗公式，為 1 2 1 1 122121 1 1( ) 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ,R n n n n nnn 式中， R=1.096776107m-1，稱為里德伯常數。上式稱為里德伯方程。對每一個 n1，里德伯方程構成一個譜線系： n1=1 n2=2,3,4 賴曼系（紫外區(qū)） n1=2 n2=3,4,5 巴耳末系（可見光區(qū)） n1=3 n2=4,5,6 帕邢系（紅外區(qū)） n1=4 n2=5,6,7 布喇開系（遠紅外區(qū)） n1=5 n2=6,7,8 普豐特系（遠紅外區(qū)） （ 3） 波爾模型理論 i. 定態(tài)假設 原子中的電子繞核作圓周運動，并不向外輻射能量，其軌道半徑只能取一系列 不連續(xù) 值，清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 22 頁 對應的原子處于穩(wěn)定的能量狀態(tài)。 ii. 躍遷假設 電子從一個定態(tài)軌道（設對應的原子定態(tài)能量為 En2）躍遷到另一定態(tài)軌道（設定態(tài)能量為 En1）上時，會輻射或吸收一定頻率的光子，能量由這兩種定態(tài)的能量差決定，即 12nnh E E iii. 角動量量子化假設 電子繞核運動，其 軌道半徑不是任意 的，只有電子的軌道角動量滿足下列條件的軌道才是允許的。 1, 2 , 3 ,2hm v r n n 式中正整數 n 稱為量子數。 波爾模型只適用于氫原子或類氫原子。 16.4 原子核 （ 1） 原子核的電荷、質量和大小 原子核帶 正電 ，其電量 Q 等于基本電荷 e 的 整數 倍，即 Q=Ze。正整數 Z 稱為原子核的電荷數，也成為該元素的原子序數。原子核的質量幾乎是原子質量單位的整數倍，即 M 核 =Au。A 為原子核的質量數，一個原子質量單位定義為 1u=1.66056610-27kg。 原子核 接近球形 ，其半徑為 130R RA 。實驗測得 R0=1.210-15m。 所有原子核的質量密度幾乎相同，約為 21017kg/m3。 （ 2） 原子核衰變 i. 天然放射現(xiàn)象 天然放射現(xiàn)象指放射性元素自發(fā)的放出射線的現(xiàn)象。 1896 年貝克勒爾第一次在實驗室中觀察到這種現(xiàn)象。 天然放射現(xiàn)象有三種射線： 射線 、 射線 和 射線 。 射線是氦核（ 42He ）組成的粒子流， 射線是高速電子流， 射線是波長很短的電磁波。 ii. 放射性衰變規(guī)律 設 t=0 時原子核的數目為 N0，則 t 時刻尚未發(fā)生衰變的原子核數為 0 tN N e 。式中稱為 衰變常數 ，是反映衰變快慢的物理量。 放射性原子核衰變掉原有核的一半所需的時間稱為 半衰期 T，因此 ln 2 0.693T 。T 與 是放射性原子核的 特征常數 ，與原子所處的物理或化學狀態(tài)無關。 （ 3） 原子核的組成 原子核由質子和中子組成，質子和和中子統(tǒng)稱為核子。原子核的質量數 A 等于其核子數（質子數 Z+中子數 N），質子數 Z 即為原子序數。 質子數 Z 相同，中子數 N 不同的原子稱為 同位素 ；質量數 A 相同質子數 Z 不同的原子稱為 同量異位素 。 （ 4） 核反應 核反應是原子核受一個粒子撞擊而放出一個或幾個粒子的過程。核反應過程遵守 電荷守恒 、 核子數守恒 、 動量守恒 及 總質量和聯(lián)系的總能量守恒 。利用這些規(guī)律可列寫核反應方程。 核反應能 Q 定義為 反應后粒子的動能 超出 反應前粒子動能 的差值。根據 總質量和聯(lián)系的總能量守恒 ，由 反應前后核和粒子的靜質量 可得出反應能 Q 的計算公式。根據 動量守恒 ，清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 23 頁 也可由 入射粒子和出射粒子的動能及這兩種粒子運動方向角的夾角 得出反應能 Q。 21 2 1 2 ( ) ( ) Q M M M M c （ 5） 質能方程 i. 質能方程 愛因斯坦由相對論得出質能方程為 2E mc 。 ii. 質量虧損 在原子核的質量小于核內核子質量之和，原子核的質量 M 與組成它的核子的質量總和的差值稱為 質量虧損 。 ( ) ( )p n k H n am Z m N m M Z M N m M 式中， mp為質子質量， mn為中子質量， Mk為核質量， MH為氫原子質量， Ma為原子質量。 自由核子在結合成原子核時能量減少了 2E m c ，即有能量釋放出來，這能量即為該核的 結合能 。如果要將核子分解成自由核子，必須提供與結合能相同數值的能量?？梢?，核子間有引力相互作用，稱為 核力 ，核力只在 很短的距離內發(fā)生作用 。 原子核中平均 每個核子 的結合能稱為 平均結合能 ，用 表示， EA 。 16.5 狹義相對論 狹義相對論基于兩個基本假設： i. 相對性原理 ：物理定律在一切慣性系中都是相同的，因此在一慣性系中所做的任何物理實驗都不能確定這個慣性系的運動狀態(tài)。 ii. 光速不變原理 ：在任一慣性系中測得的光在真空中的速度都是 c，與光源的運動無關。 16.6 時間膨脹與長度收縮 假定列車（ K系）以勻速 V 相對地面行駛，車廂高度為 b。車廂底部有一光源，正對面頂部放一反光鏡，光在車廂內一個往返車廂內觀測者測得時間 2bt c 。 路基（ K 系）的觀測者看到光是鋸齒路徑，所用時間 2222 ()2l V ttbcc 。兩式消去 b 得 22211ttttVc 式中， =V/c，211 。 上式說明在一個慣性系中，運動的時鐘比靜止的時鐘走得慢，這就是 時間膨脹效應 。t是在相對時鐘靜止的參考系中測得的時間，稱為 固有時間 。 類似的，在兩個慣性系中用激光測量長度時， K系中長度 L與 K 系中長度 L 的關系為 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 24 頁 2 2211VLL L Lc 上式說明在相對于物體靜止的慣性系中測得的物體長度最長，在相對物體運動的慣性系中測得的長度沿運動方向會縮短，這就是 長度收縮效應 。 L是在與物體相對靜止的 K系中測得的長度，又稱為 固有長度 。 16.7 洛倫茲變換 設兩坐標原點 O、 O在 t=t=0時重合， K系以勻速 V 沿重合的 x 和 x軸正方向運動。設在 x 軸上 A 點發(fā)生一事件，對 K 系 x Vt x ，解得 221x Vtx Vc K 系和 K系的運動是相對的，因此有 221x Vtx Vc 消去 x可解得 2221t Vx ct Vc 消去 x 可解得 2221t Vx ct Vc 由于速度沿 x 方向，因而有 ,y y z z ,y y z z 以上公式稱為 洛倫茲變換和逆變換公式 。從洛倫茲變換出發(fā)可得到 速度變換公式 21 xx xvVv Vv c 22211yy xv V cv Vv c 22211zz xv V cv Vv c 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 25 頁 16.8 同時的相對性 設 K 系觀察到的 A、 B 兩事件分別在 a、 b 兩點處同時發(fā)生 tA=tB， a、 b 相距 x=xb-xa，那 K系觀察到 A、 B 兩事件發(fā)生的時間間隔為 2 2 2( ) ( ) ( ) 0B A B b A a a bV V Vt t t t x t x x xc c c 上式說明在一慣性系 同時但不同地 發(fā)生的兩件事，在另一慣性系觀察 不同時 發(fā)生。但有因果關系的兩事件的先后次序不會顛倒 ，這是因為狹義相對論理論要求所有運動速度、信號傳播速度及作用傳遞的速度都不能超過光速 c。 16.9 相對論力學 相對論中， 質量隨物體運動速度的變化規(guī)律 為 220 1m m V c， m0是物體靜止時的質量。 于是， 相對論中動量 的形式為 220 1P m V m V V c 這樣得到的動量守恒定律是滿足洛倫茲變換的。 相對論中運動物體的總能量 的形式為 2 2 2 20 1E m c m c V c 物體靜止時的能量稱為物體的 靜能 ，有 E0=m0c2。 物體的 動能為總能與靜能之差 ，有 EK=mc2-m0c2。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 26 頁 導學 習題 9. 電路 例 1 (2008 年清華大學 )如圖所示，有線網絡電路中，除最后一只電阻為 Rx，其余電阻阻值都是 R，那么要使 AB 兩點間等效電阻與網絡級數 n 無關， xR =_R. 解析：滿足題意的條件對應最后四個電阻的等效電阻值為 xR ，即 1 1 12xxR R R R 得 31xR ( )R. 例 2 （ 2007 年上海交通大學 )圖中所示為一同學設計的通過電壓表讀數顯示物體質量的實驗裝置和電路示意圖，托盤和彈簧的質量均不計 .彈簧的上端與變阻器相連，托盤中無重物時，電壓表的讀數為零 .設變阻器的總電阻為 R，長度為 L，彈簧勁度系數為 k，不計摩擦，則物體質量 m 與電壓表讀數 U 間的關系為 _ 解析： 盤中放質量為 m 的物體后，彈簧壓縮量 x mg/k ，而電壓表示數 xU IR . 其中 0I E / ( R r R ) 得 0m kL U ( R r R ) / g R E 例 3 (2010 年北京大學 )正四面體 ABCD，每條邊的電阻均為 R，取一條邊的兩個頂點，如圖中 AB，問整個四面體的等效電阻ABR為多少 ? 解析 ：本題考查電路圖的簡化及電路結構的對稱性 由題意，等效的電路圖如圖所示 假設電流從 A 端流入， B 端流出，則 A 點開始電流分三路，其中 A-D-B 與 A-C-B 完全相同，則 D 點與 C 點等電勢，因此 CD 間無電流通過， CD清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 27 頁 線可除去 AB 間的電阻為： 11 1 1 222A B A D D B A C C B A B RR ( R R ) / / ( R R ) / / RR R R 10. 磁場 例 4 (2008 年南開大學 )如圖所示，在足夠大的空間范圍內，同時存在著豎直向上的勻強電場和垂直紙面向里的水平勻強磁場，磁感應強度 B=1.57T絕緣小球 1 帶正電，其電量與質量之比 11q m 4c kg/ ，所受重力與電場力的大小相等 ；小球 2 不帶電，靜止放置于固定的水平懸空支架上 小球 1 向右以 v0=23.59m/s 的水平速度與小球 2 正碰，碰后經過 0.75s 再次相碰 設碰撞前后兩小球帶電情況不發(fā)生改變 ，且始終保持在同一豎直平 在面內 (取 g=10m/s2)問： (1) 電場強度 E 的大小是多少 ? (2) 兩小球的質量之比 21mm 是多少 ? 解析： (1) 小球 1 所受的重力與電場力始終平衡 11mg=qE E=2.5N/C (2) 相碰后小球 1 做勻速圓周運動： 由 211 1 1 1vqvB m R得 11 1mvR qB 周期為 112 1mTsqB 兩小球運動時間 t=0.75s=3/4T 小球 1 只能逆時針經 34 個圓周時與小球 2 再次相碰 第一次相碰后小球 2 作平拋運動 21 12h R gt 12L=R vt v2=3.75m/s 兩小球第一次碰撞前后動量守恒，以水平向右為正方向 1 0 1 1 2 2m v m v m v 111 17 66q BRv.mm/s 兩小球質量之比 2 0 112m v vmv =11 例 5 (2013 北約自主招生 ) 如圖所示，在一豎直平面內有水平勻強磁場，磁感應強度 B 的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中 a 、 b 兩點在同一水平線上，兩點相距 l 。帶電量 0q ，質量為 m 的質點 P ，以初速度 v 從 a 對準 b 射出。略去空氣阻力，不考慮 P 與地面接觸的可能性，設定 q 、 m 和 B 均為不可改取的給定量。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 28 頁 (1) 若無論 l 取什么值，均可使 P 直線運動通過 b 點，試問 v 應取什么值？ (2) 若 v 為（ 1）問可取值之外的任意值，則 l 取哪些值，可使 P 必定會經過曲線運動通過 b 點？ (3) 對每一個滿足 (2)問要求的 l 值，計算各 種可能的曲線運動對應的 P 從 a 到 b 所經過的時間。 (4) 對每一個滿足 (2)問要求的 l 值，試問 P 能否從 a 靜止釋放后也可以通過 b 點？若能，再求 P 在而后運動過程中可達到的最大運動速率maxv。 清北解析： (1) 若 P 直線運動，洛倫茲力與重力平衡，則應滿足： 0 = 0 = (2) P 受到的合力為： 合 = = 0 = 質點 P 的運動可視為沿 ab 連線方向做速度為 0的勻速直線運動和速度為 的圓周運動的合運動（有的書中稱為 “漂移 ”圓周運動）。其周期： = 2 = 2 = 0 = 0 = 2222 ( = 1,2,3,) 可以看出，質點 P 每個周期的前進位移與初速度 無關。 (3) 分析過程同上。 = = 2 ( = 1,2,3,) (4) 若靜止釋放，則有 = 0，即 = 0。質點 P 一定可以通過 b 點。質點做直線運動與勻速圓周運動的疊加運動，最大速率為到達圓周運動速度方向與直線運動速度方向相同時，最大速率為： = 20 = 2 清北點評： 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 29 頁 此題涉及洛倫茲力、磁場圓周運動等知識點，題目有一定難度。對于后幾問，核心知識點為運動的 合成與分解 。針對 “運動的合成與分解 ”，高考中常遇到的解決方法是分解為互相垂直的速度分量，此題則 分解為直線運動和圓周運動 ，有了這個思想，則可以順利解決問題。否則可能需要很深的數學功底和復雜的數學計算。 例 6 (2012 年華約自主招生 )如圖所示，在 xOy 平面內有磁感應強度為 B 的勻強磁場，其中 (0, )xa 內有磁場方向垂直 xOy 平面向里，在 ( , )xa內有磁場方向垂直 xOy 平面向外，在 ( 0)x, 內無磁場 一個帶正電 q質量為 m 的粒子 (粒子重力不計 )在 x=0 處，以速度 v0沿 x 軸正方向射入磁場 (1) 若 v0 未知，但粒子做圓周運動的軌道半徑為 2ra ，求粒子與 x 軸的交點坐標 (2) 若無 (1)中 2ra 的條件限制，粒子的初速度仍為 v0(已知 )，問粒子回到原點 O 需要使 a 為何值 ? 解析：本題主要考查帶電粒子在磁場中的運動的熟練掌握 (1) 粒子以速度 v0 進入磁場，在洛倫茲力的作用下以 v0 做勻速速圓周運動 根據題中給出的磁場分布，知粒子在 (0, )xa的區(qū)域內洛倫茲力向上， ( , )xa區(qū)域內洛倫茲力向下 由 2ra 可知粒子水平方向位移為 a 時，速度方向為斜向右上，故粒子以這個速度進入右邊的磁場，順時針方向畫半圓 粒子運動軌跡如圖 設左邊圓周運動的圓心為 A，右邊圓周運動圓心為 C， ACH ， 則 2 4 5A c s i n B c s i n O D r s i n r s i n a ， 即 ， 解 得 2 2 2C H r c o s r ( - )a ，故 22 2 2 1H M r C H a 因此，粒子與 x 軸的的交點坐標為 2 2 2 1 2 1 2 1O M r s i n a a ( ) (2) 當 ra 時，則粒子將從 y 軸以水平向左的速度射出，而 0x 區(qū)域內無磁場，故 ra時粒子不可能回到原點 當 ra 時，軌跡如 (1)，當粒子到達 M 點后繼續(xù)運動，若 C 位于 x軸下方，則粒子會從 O 點下方射出 ；若 C 點位于 x 軸上方，粒子會從 O 點上方射出 ；當 ra時粒子的運動軌跡對 x 軸對稱，剛好能從 O 點射出，如圖 xyo a 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 30 頁 可知此時 2 0 5 = 60cos r / r . 得 由 200 mvqvB r得粒子在磁場勻速圓周運動的半徑 0mvr qB 此時 032 mva r sin qB 11. 電磁感應 例 7 (2013 北約自主招生 ) 如圖所示，每邊長為 a 的等邊三角形區(qū)域內有勻強磁場，磁場感應強度 B 的方向垂直圖平面朝外。每邊長為 a 的等邊三角形導體框架 ABC ，在 0t 時恰好與磁場區(qū)的邊界重合，而后以周期 T 繞其中心沿順時針方向勻速旋轉，于是在框架 ABC 中有感應電流。規(guī)定電流按 A B C A 方向流動時，電流強度取為正方向流動。設框架 ABC的總電阻為 R ，則從 0t 到 2 /6tT 時間內平均電流強度 1I _；從 0t 到 2 /2tT 時間內平均電流強度 2I _。 清北解析： = T/6時，三角形旋轉至如圖 ABC位置： ( A B C A 為正方向 ) 1 = 1 = 34 (13)2 316= 32 2 A 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 31 頁 T/2時，三角形旋轉位置同 T/6時，但端點不變： 2 = 2 = 34 (13)2 312= 36 2 例 8 (2013 華約自主招生 )如圖，電阻為 R 的長直螺線管，其兩端通過電阻可忽略的導線相連接一個質量為 m 的小條形磁鐵從靜止開始落入其中，經過一段距離后以速度 v 做勻速運動假設小磁鐵在下落過程中始終沿螺線管的軸線運動用無翻轉 （ 1） 定性分析說明：小磁鐵的磁性越強，最后勻速運動的速度就越小； （ 2） 小磁鐵做勻速運動時在回路中產生的感應電動勢約為多少？ 清北解析： (1) 根據楞次定律，小磁鐵的磁性越強，通過導線環(huán)的磁通量越大，因此下落過程中在導線環(huán)中產生的感應電流越大，這些感應電流產生的磁場也越強，從而對小磁鐵的阻礙也越大，小磁鐵向下運動的加速度越小，因此其極限速度就越小 (2) 解法一： 考慮勻速過程中，動能不變，則重力功率完全轉化為電路發(fā)熱功率： = 2 直接可得 = mgvR 解法二： 設小磁鐵做勻速運動時，下落距離 h ，在此過程中有 mgh Q 式中 Q 為小磁鐵下落時在螺線管中產生的焦耳熱，其大小為 2QtR 式中 是感應電動勢， t 是小磁鐵通過距離 h 所需的時間由小磁鐵勻速運動，因此有 2 hmgh Rv 聯(lián)立上面三式可得 mgRv 例 9 (2007 年上海交通大學 )如圖所示，有一與電容器 C 串聯(lián)的光滑矩形金屬軌道，軌道寬度為 L，與地面呈 角放置，軌道上有一質量為 m，其長度方向與軌道垂直的金屬桿 AB 可以在矩形軌道上自由滑動，整個系統(tǒng)處于與軌道平面垂直的均勻磁場 B 中，若金屬桿 AB原來處于離軌道底部距離為 d 的位置，忽略整個系統(tǒng)的電阻，求金屬桿從靜止開始滑動到矩形軌道底部所需要的時間 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 32 頁 解析：任意時刻棒切割磁感線產生的感應電動勢為： U=BLv 對棒有 mg sin BIL ma 而 CI Q / t C U / t C B L v / t C B L a 故 22a m g sin / ( m C B L ) 而 2 2d at / 得 222t d ( m C B L ) / ( m g s in ) 12. 交流電 例 10（ 2006 年同濟大學）某理想變壓器，當其輸入端接在電動勢為 E、內阻為 r 的交流電源上時，輸出端接上電阻為 R 的負載時， R 上可獲得最大功率，求： (1) 這時輸入電流多大？負載上的最大功率為多少？ (2) 負載獲得的最大功率時，變壓器的原副線圈電壓各為多少？ (3) 變壓器的變壓比為多少 ? 解析： (1)設原線圈中電流為 1I ，則負載上的功率 211P I E I r 當 1 2I E/ r 時， 2 4maxP E / r (2)由 22maxP U / R 得 2 05U . E R r 而 (3) 1 2 1 2n / n U / U r / R 例 11 (2007 年東南大學 )如圖所示，在磁感應強度為 B方向與紙面平行的勻強磁場中 ，一電阻為 R邊長為 l 的單匝正方形閉合導線框繞與磁場方向成 45角的 OO軸 (在紙面內 )以角速度 勻速轉動 .圖示時刻，線框的 ab 邊受到的安培力大小為 _，線框消耗的電功率為 _ 解析：此時線框中電動勢達最大值，值為 2mE B l ， mI E / R ，相應的線框 ab 邊受到的安培力 23F BIL B l / R . 此時線框消耗的瞬時電功率 2 2 2 4mP E / R B l / R 注：如果求一個周期內的電功率則應用有效值計算，因線框中電流為正弦交流電，故有效值2mE E / ，平均功率則為 2 2 4 2P B l / ( R ) . 11222 rU E rE / ( r ) E /U / U / R 故清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 33 頁 13. 幾何光學 例 12 (2010年南京大學 )一束間距為 R的光線沿平行于某一直徑的方向對稱地射入半徑為 R的均勻介質球中， (1)為何光不在后表面發(fā)生全反射 ? (2)假如有一束光的光路圖如圖，求均勻介質球的折射率 解析 ：本題考查全反射發(fā)生的條件及光的折射定律 (1)由于入射光線與后表面的出射光線所在的介質相同，而球中也為均勻介質，因此由光路的對稱性可知，后表面的出射角一定等于初始入射角，因此不會發(fā)生全反射 (2)如圖所示， 2 05R/sini .R，即 30i 同時 2 15i/由 sini nsin 得30 15sin nsin ，即 2 15 1 93n cos . 例 13 (2011 年北約自主招生 )如圖所示，置于空氣中的等腰直角三棱鏡 ABC 的斜面長 4l ，其中 BD 段長 l ，棱鏡材料折射率為 n (1)如圖中實線所示，從 D 點正入射的細光束在直角面 ABAC 外側均無透射光，試求 n 的取值范圍 (2)取 n 為 (1)問所得最小值，略去入射光在鏡內經過三次或三次以上的反射光線 如圖中虛線所示，對于從斜上方 30 入射到 D 點的細光束，試問在直角面 AB 外側和在直角面 AC 外側是否有透射光 ? 解析： 本題考查全反射及光路圖 (1)由題意可得 145sin sinC n，解得 2n (2)鏡內的出射光能發(fā)生全反射現(xiàn)象時的入射角，對從 D 點斜入射的光路如圖所示 則有 1130 2sin n sin sin解得1 24arcsin ，從而得1 1 1 09 0 1 8 0 4 5 9 0 4 5 4 5 ( ) ，因此，這表明 AB 表面外側無透射光 ；而反射的光線射至 AC 內側面上，入射角為2 1 1 1 09 0 1 8 0 9 0 9 0 9 0 4 5 ( ) ，故 AC 表面外側有透射光 例 14 (2013 華約自主招生 )如圖所示， 在光學用直導軌型支架上，半徑為 R 的球面反射鏡放置在焦距為 f 的凸透鏡右側，其中心位于凸透鏡的光軸上，并可沿凸透鏡的光軸左右調節(jié) (1) 固定凸透鏡與反射鏡之間的距離 l ，將一點光源放置于凸透鏡的左側光軸上，調節(jié)光源在光軸上的位置，使該光源的光線經凸透鏡 反射鏡 凸透鏡后，成實像于點光源處問該點光源與凸透鏡之間的距離 d 可能是多少？ (2) 根據 (1)的結果，若固定距離 d ，調節(jié) l 以實現(xiàn)同樣的實驗目的，則 l 的調節(jié)范圍是多少？ 清北解析： 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 34 頁 (1) 可分下列三種情況討論： 第一種情況： 通過調節(jié)光源與透鏡之間的 d 值（ df ） 如圖所示 當 v R l 即：由光源發(fā)出的任意光線穿過透鏡后，點光源成實像于透鏡右側光軸上 的 C 點，而 C點正好處在反射鏡的球心位置上，光線會沿反射鏡的半徑方向入射到它上面，并將沿同一 路徑反射回去，所有這樣的光線都將會聚于光源所在點 由 1 1 1d v f ，解得 f l