廣東版（第01期）-2014屆高三名校數(shù)學（理）試題分省分項匯編：專題06 數(shù)列（解析版）

無限精彩在大家 www.TopS 一基礎(chǔ)題組 1.【 廣東省佛山市南海區(qū) 2014 屆高三 8 月質(zhì)檢（理） 】 已知 na為等差數(shù)列，其前 n 項和為nS，若3 6a ，3 12S ，則公差 d 等于 （ ） A. 1 B.53 C. 2 D.3 2.【 廣東省十校 2014 屆高三第一次聯(lián)考（理） 】 已知等差數(shù)列 na中，2 5a ，4 11a ，則前 10 項和 10S（ ） A.55 B.155 C.350 D .400 3.【 廣東省深圳市高級中學 2014 屆高三第一次月考（理） 】 設(shè)nS為等比數(shù)列 na的前 n 項和，已知 3432Sa，2332Sa，則公比 q （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【答案】 B 【解析】 試題分析：3432Sa，2332Sa，兩式相減得3 4 33a a a，434aa， 無限精彩在大家 www.TopS 431aq a ，故選 B. 考點： 等比數(shù)列的性質(zhì) 4.【 廣東省珠海市 2014 屆高三 9 月摸底考試（理） 】 設(shè) 等比數(shù)列na的公比2q，則44Sa 5.【 廣東省汕頭市金山中學 2014 屆高三上學期摸底考試（理） 】 在等比數(shù)列 na中 , 21 a且 2764 4aaa ,則3a的值是 . 6.【 廣東省惠州市 2013 屆高三模擬考試一（理） 】 在等差數(shù)列 na中，有6 7 8 12a a a ，則此數(shù)列的前 13 項 之和為 . 【答案】 52 無限精彩在大家 www.TopS 7.【廣東省惠州市 2014屆高三第一次調(diào)研考試（理）】 已知等差數(shù)列 na,滿足381, 6aa,則此數(shù)列的前 10項的和10S . 二 能力 題組 1.【 廣東省汕頭四中 2014 屆高三上學期第一次月考（理） 】 設(shè)等差數(shù)列 na的公差 d 0，1 4ad若ka是1a與2ka的等比中項，則 k （ ） A.3 或 -1 B.3 或 1 C. 3 D.1 2.【 廣東省十校 2014 屆高三第 一次聯(lián)考（理） 】 兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖 4 中的實心點個數(shù) 1， 5， 12， 22， 被稱為五角形數(shù)，其中第 1 個五角形數(shù)記作1 1a，第 2 個五角形數(shù)記作2 5a ，第 3 個五角形數(shù)記作3 12a ，第 4 個五角形數(shù)記作4 22a ，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若 145na ，則 無限精彩在大家 www.TopS n 1 5 12 22 3.【 廣東省深圳市高級中學 2014 屆高三第一次月考（理） 】 若數(shù)列 na的通項公式是( ) ( )nan ,則 a a a L . 三 拔高 題組 1.【 廣東省惠州市 2013 屆高三第一次模擬考試（理） 】 已知函數(shù) ( ) logmf x x（ m 為常數(shù)， 01m），且數(shù)列 ()nfa 是首項為 2 ，公差為 2 的等差數(shù)列 . （ 1） 若 ()n n nb a f a ，當 22m時，求數(shù)列 nb 的前 n 項和 nS ； 無限精彩在大家 www.TopS （ 2） 設(shè) lgn n nc a a，如果 nc 中的每一項恒小于它后面的項，求 m 的取值范圍 . ，得 0 1 2 3 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2nnnSn 11 (1 ( ) )12 ()1 21 ( )2nnn 6 分 11( 2 ) ( ) 42 nnSn 7 分 無限精彩在大家 www.TopS 考點： 1.數(shù)列的求 和； 2.數(shù)列的單調(diào)性； 3.不等式恒成立 . 2.【 廣東省惠州市 2013 屆高三第一次模擬考試（理） 】 已知 函數(shù) 2( ) 1f x a b xx 在 3x處的切線方程為 58yx. (1)求函數(shù) ()fx的解析式； (2)若關(guān)于 x 的方程 () xf x ke 恰有兩個不同的實根，求 實數(shù) k 的值； (3)數(shù)列 na 滿足12 (2)af，1 ( ) ,nna f a n N ，求1 2 3 2 0 1 31 1 1 1S a a a a 的整數(shù)部分 . 【答案】 （ 1） 2( ) = 1f x x x；（ 2） 1ke或23k e ；（ 3） S 的整數(shù)部分為 1 【解析】 試題分析： （ 1） 利用 (3) 5(3) 7ff，借助待定系數(shù)法求解函數(shù) ()fx的解析式；（ 2）利用分離參數(shù)法明確 2k ( 1) xx x e ，然后通過構(gòu)造函數(shù)借助求導(dǎo)法研究函數(shù)的單調(diào)性，最后作出直線 yx 和函數(shù) 2F ( x ) ( 1 ) xx x e 的大致圖象，判斷滿足條件的范圍；（ 3）通過已知條件整理得到 無限精彩在大家 www.TopS 令 F(x)=0 ，得121, 2xx 7 分 當 x 變化時， F(x) 、 F(x) 的變化情況如下表： 當 1x 時， F(x)取極小值 1e；當 2x 時， F(x)取極大值23e 8 分 作出直線 yx 和函數(shù) 2F ( x ) ( 1 ) xx x e 的大致圖象，可知當 1ke或23k e 時， 它們有兩個不同的交點，因此方程 () xf x ke 恰有兩個不同的實根， 9 分 （ 3） 12 ( 2 ) 3af,得1 3 12a ，又 21 ( ) 1n n n na f a a a . 221 2 1 ( 1 ) 0n n n n na a a a a ， 1 1nnaa 10 分 無限精彩在大家 www.TopS 3.【 廣東省汕頭四中 2014 屆高三上學期第一次月考（理） 】 設(shè)數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn，且 ， n=1， 2， 3 （ 1）求1a，2a； （ 2）求nS與 1 2nSn 的關(guān)系式，并證明數(shù)列 11nS是等差數(shù)列； （ 3）求1 2 2 0 1 1 2 0 1 2S S S S 的值 試題解析： （ 1）解：當 n=1 時，由已知得 ，解得 ， 無限精彩在大家 www.TopS 4.【 廣東省韶關(guān)市 2014 屆高三摸底考試（理） 】 已知數(shù)列 na的前 n 項和nS滿足：( 1)1nnaSaa （ a 為常數(shù)，且 0, 1aa） （ 1）求 na的通項公式； （ 2）設(shè) 2 1nnnSb a ，若數(shù)列 nb 為等比數(shù)列，求 a 的值； （ 3）在滿足條件（ 2）的情形下，設(shè)11111n nnc aa，數(shù)列 nc的前 n 項和為nT ,求證：12 3nTn 【答案】（ 1） nnaa；（ 2） 13a；（ 3）證明過程詳見解析 . 【解析】 試題分析：本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和問題，考查學生的計算能力 和分析問題的能力以及推理論證的能力 .第一問，是由nS求na；第二問，先把第一問的結(jié)論代入，整理出nb表達式， 無限精彩在大家 www.TopS 5.【 廣東省佛山市南海區(qū) 2014 屆高三 8 月質(zhì)檢（理） 】 已知數(shù)列 na 的前 n 項和為2= 2 4 + 1nS n n ，數(shù)列 nb 的首項 1=2b ，且 點 1( , )nnbb 在直線 2yx 上 （ 1）求數(shù)列 na ， nb 的通項公式； 無限精彩在大家 www.TopS （ 2）若n n nc a b，求數(shù)列 nc的前 n 項和nT （ 2）由（ 1）知，當 1n 時，1 1 1 14c a b； -8 分 當 2n 時， 1( 4 2 ) 2 ( 2 1 ) 2nnn n nc a b n n ， -9 分 所以 當 1n 時，1114Tc； 當 2n 時， 311 2 3 . . . 1 4 5 2 . . . ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnnT c c c c n n 則 4 1 22 2 8 5 2 . . . ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n - -10 分 - 得： 3 5 6 2 21 4 5 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2nnnTn -12 分 即 523 2 22 ( 2 1 )1 4 5 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 621n nnnT n n ， -13分 顯然，當 1n 時， 121 ( 2 1 1 ) 2 6 1 4T ， 無限精彩在大家 www.TopS 所以2( 2 1 ) 2 6nnTn -14 分 . 考點： 1.等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項求法； 2.錯位相減法 6.【 廣東省佛山市南海區(qū) 2014 屆高三 8 月質(zhì)檢（理） 】 已知實數(shù)組成的數(shù)組1 2 3( , , , , )nx x x x滿足條件： 10n iix ； 11n iix （ 1） 當 2n 時，求1x，2x的值； （ 2）當 3n 時，求證：1 2 33 2 1x x x ； （ 3）設(shè)1 2 3 na a a a ,且1 naa ( 2)n，求證：111 ()2ni i ni a x a a 無限精彩在大家 www.TopS （ 2）證明：當 3n 時， 由已知1 2 3 0x x x ,1 2 3 =1x x x. 所以1 2 3 1 1 2 3 33 2 2 ( )x x x x x x x x 13xx 131xx . 9 分 （ 3）證明：因為1 ina a a，且1 naa ( 1, 2 , 3 , , )in. 所以1( ) ( )i i na a a a 1( ) ( )i i na a a a 1 naa, 即112n i na + a a a a ( 1, 2 , 3 , , )in . 11 分 1niii axn1i 1 1 11122nni i i n iiia x a x a x 111 ( 2 )2ni n ii a a a x 111 (22 nn i ii a a a x )111 ()2 nnii a a x 1 112 nniia a x 11 ()2 naa. 14 分 . 考點：絕對值不等式 . 7.【 廣東省十校 2014 屆高三第一次聯(lián)考（理） 】 設(shè)nS為數(shù)列 na的前 n 項和，對任意的nN ， 都有 ( 1)nnS m m a (m 為 正 常數(shù) ) （ 1）求證：數(shù)列 na是等比數(shù)列； （ 2）數(shù)列 nb滿足11112 , , ( 2 , )1 nnnbb a b n n Nb 求數(shù)列 nb的通項公式； 無限精彩在大家 www.TopS （ 3）在滿足（ 2）的條件下，求數(shù)列 )1cos(2 1 nb nn 的前 n 項和 nT 數(shù)列 na是首項為 1，公 比為1mm的等比數(shù)列 3 分 （ 2）解：1122ba 4 分 無限精彩在大家 www.TopS = 2124 2)12(41)41(2412 nn n =3 2)12(32643624 nn n=3 2)76(282 nn 9 2)76(282/ nnS 11 分 無限精彩在大家 www.TopS 8.【 廣東省珠海市 2014 屆高三 9 月摸底考試（理） 】 若正數(shù)項數(shù)列na的前 項和為 nS，首項 11a，點 1,nnP S 在曲線2( 1)yx上 . （ 1）求 23,aa； 無限精彩在大家 www.TopS （ 2）求數(shù)列na的通項公式 na； （ 3）設(shè) 11n nnb aa , nT表示數(shù)列nb的前項和 ,若 nTa恒成立，求 nT及實數(shù) a的取值范圍 . （ 2）由21 ( 1)nnSS 得1 1nnSS . 所以數(shù)列 nS是以1為首項， 1 為公差的等差數(shù)列 所以1 +( 1) 1nS S n ， 即2nSn 由公式11=12n nnSnaS S n ，得1 =12 1 2nna 所以21nan （ 3）因為 111( 2 1 ) ( 2 1 )n nnb a a n n ，所以0nb， 1 1 11 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )nT nn 無限精彩在大家 www.TopS 考點： 1.數(shù)列前 n 項和與通項公式之間的關(guān)系； 2.等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列的通項公式；3.裂項相消法 . 9.【 廣東省廣州市越秀區(qū) 2014 屆高三入學摸底考試（理） 】 已知數(shù)列 na滿足1 12a ，1 112nnnaa nN . （ 1）求數(shù)列 na的通項公式； （ 2）令nnb na， 數(shù)列 bn的前 n 項和 為 Tn，試比較 Tn與 321nn的大小，并予以證明 . 試題解析： （ 1） 當 2n 時，1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a 無限精彩在大家 www.TopS 231 1 1 12 2 2 2n 231 1 1 12 2 2 2n 11114212212nn . 又1 12a 也適合上式，所以 *1 ()2n nanN. 證明如下：當 3n 時， 0 1 12 ( 1 1 )n n n nn n n nC C C C 0 1 1 2 2 2 1nnn n n nC C C C n n . 綜上所述，當 1n 或 2n 時， 321n nT n ；當 3n 時， 321n nT n . 考點： 1.累加法； 2.錯位相減法； 3.二項式定理 10.【 廣東省東莞市 2013 屆高三模擬考試一（理） 】 已知數(shù)列na的首項 15,a前 n項和為 nS，且521 nSS nn （ 1）證明：數(shù)列 1na是等比數(shù)列； （ 2）令212() nnf x a x a x a x ，求函數(shù)()fx在點 1x處的導(dǎo)數(shù)(1)f,并比較 無限精彩在大家 www.TopS 2 (1)f與223 13nn的大小 . 錯位相減得， 221 1 nn nT 無限精彩在大家 www.TopS 11.【 廣東省汕頭市金山中學 2014 屆高三摸底考試（理） 】 已知 數(shù)列 na的各項均為正值， ,11 a 對任意 )1(41, 21 nnn aaaNn， )1log2 nn ab都成立 . （ 1）求數(shù)列 na、 nb的通項公式； （ 2）令nnn bac ，求數(shù)列 nc的前 n 項和nT； （ 3）當 7k 且 Nk 時，證明對任意 ,Nn 都有231111 121 nknnn bbbb 成立 . 試題解析： （ 1）由 nN ， 21 1 4 1n n na a a ，得 112 1 2 1 0n n n na a a a ， 無限精彩在大家 www.TopS （ 3） 設(shè)11211111111 121 nknnnbbbbS nknnn )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknS -（ 1） 當 0,0 yx 時， 4)11(,1211,2 yxyxxyyxxyyx yxyx 411當且僅當 yx 時等號成立 . 上述（ 1）式中， 1,2,1,0,7 nknnnk 全為正， 無限精彩在大家 www.TopS 12.【 廣東省深圳市高級中學 2014 屆高三第一月考（理） 】