東莞市2014屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)

東莞市 2014 屆高三 理 科數(shù)學(xué)模擬試題 (一 ) 命題： 汪紅兵 審稿與校對： 梅開萍 、 楊波 參考公式： 如果事件 A 、 B 互斥，那么 BPAPBAP S 表示底面積， h 表示底面的高 ， 柱體體積 ShV ， ， 錐體體積 ShV31 一 、 選擇題：共 8 小題 ,每小題 5 分 ,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求 學(xué) 1 i 是虛數(shù)單位， 復(fù)數(shù) (2 )12iii= A i B i C 1 D 1 2.設(shè) 實數(shù) x 、 y 滿足,22,1,42yxyxyx 則yxz 為 A 有最小值 2，最大值 3 B 有最小值 2，無最大值 C 有最大值 3，無最 小 值 D 既無最小值，也無最大值 3.設(shè)等比數(shù)列 na 中，前 n 項和為 nS ,已知 78 63 SS ， ，則 987 aaa A81 B81 C857 D855 4.已知函數(shù) ,1,lo g2,1,222 xxxxf x 則函數(shù) ()fx的零點為 A41和 1 B 4 和 0 C41 D 1 5.給出下列三個結(jié)論： （ 1）若命題 p 為假命題，命題 q 為假命題，則命題“ qp ”為假命題； （ 2）命題“若 0xy ，則 0x 或 0y ”的否命題為“若 0xy ，則 0x 或 0y ”； （ 3）命題“ , 2 0xx R ”的否定是“ , 2 0xx R ” .則以上結(jié)論正確的個數(shù)為 A 3 B 2 C 1 D 0 6.函數(shù) s i n 0 ,2f x x 的最小正周期是 ，若其圖象向右平移6個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù) fx的圖象 A 關(guān)于點 ,012對稱 B 關(guān)于直線12x 對稱 C 關(guān)于點 )0,6(對稱 D 關(guān)于直線6x對稱 7.已知向量 3,zxa ， zyb ,2 ，且 ba ，若 實數(shù) yx, 滿足不等式 1 yx ，則 實數(shù) z 的取值范圍為 A 3,3 B 2,2 C 1,1 D 2,2 8. 設(shè)1F,2F分別是 雙曲 線2222 1 ( 0 , 0)xy abab 的左、右 焦點 ,若 雙曲 線 左 支上存 在一 點 M ,使0)( 11 OFOMMF ,O 為坐標(biāo)原點 ,且 21 33 MFMF ,則該雙曲線 的 離心率為 A31 B312 C62 D622 二 、 填空題：本大題共 7 小題，每小題 5 分，滿分 30 分其中 14 15 題是選做題，考生只能選做 一 題， 二 題全答的，只計算前 一 題得分 9.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在 3 000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 200 名，并統(tǒng)計這 200 名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績 ，得到了樣本的頻率分布直方圖 (如圖 )根據(jù)頻率分布直方圖推測，這 3 000 名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考 試中成績小于60 分的學(xué)生數(shù)是 _ 來源 : （ 第 9 題 ） （ 第 10 題 ） （ 第 14 題 ） 10.某幾何體的三視圖如 圖 ，則它的體積是 _ 11.若 62()ax x 展開式的常數(shù)項為 60，則常數(shù) a 的值為 . 12.函數(shù),221,1,216321,121)21()(32xxxxxxf 和函數(shù) 16s in)( axaxg 0a，若存在 1,0, 21 xx 使得)()( 21 xgxf 成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 . 13. 請閱讀下列材料：若兩 個正實數(shù) a1， a2 滿足 12221 aa ，那么 221 aa . 證明：構(gòu)造函數(shù) 1)(22)()()( 2122221 xaaxaxaxxf ，因為對一切實數(shù) x，恒有 0)( xf ，所以 0 ，從而得 08)(4 221 aa ，所以 221 aa . 根據(jù)上述證明方法，若 n 個正實數(shù)滿足 122221 naaa 時，你能得到的結(jié)論為 .（不必證明） 14.(幾何證明選講選做題 )如圖，已知 AB 和 AC 是圓的兩條弦，過點 B 作圓的切線與 AC 的延長線相交于 D ，過點 C作 BD 的平行線與圓交于點 E ,與 AB 相交于點 F , 6AF , 2FB , 3EF ,則線段 CD 的長為 15.(坐標(biāo)系和參數(shù)方程選做題 )兩曲線參數(shù)方程分別為,sin,cos5yx 0 ， Rttytx ,45 2 ， 、 t 為參數(shù)，其交點坐標(biāo)為 三 、 解答題：本大題共 6 小題，共 80 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 16（本小題滿分 12 分） 已 知函數(shù) ()f x ab xxx 2co s3co ss in . （ 1） 求函數(shù) )(xf 的 周期 ； （ 2）若 3,0 x，求函數(shù) xf 的值域； （ 3） 如 果 ABC 的三邊 a 、 b 、 c 滿足 acb 2 ，且邊 b 所對的角為 x ，試求 xcos 的范圍 17（本小題滿分 12 分） 一個袋中裝有 6 個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為 1, 2, 3, 4, 5, 6 . （ 1）若從袋中每次隨機(jī)抽取 1 個球 ,有放回的抽取 2 次 ,求取出的兩個球編號之和為 6 的概率； （ 2）若從袋中每次隨機(jī)抽取 2 個球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 號球的概率； （ 3）若 一次 從袋中隨機(jī)抽取 3 個球，記球的最大編號為 X ，求隨機(jī)變量 X 的分布列及期望 . 18（本小題滿分 14 分） 如圖， 直三棱柱 111 CBAABC 中 , 4AC ， 3BC ， 41AA ， BCAC ,點 D 在線段 AB 上 （ 1）證明 CBAC 1 ； （ 2）若 D 是 AB 中點，證明 1AC 平面 CDB1 ； （ 3）當(dāng) 13BDAB時，求二面 角1B CD B的余弦值 A A1 B C D B1 C1 19（本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓 )0(1:2222 babyaxC的左 、右 焦點 分別 為21 FF、， 橢圓 的離心率為21,連接橢圓的四個頂點得到的 菱形面積為 34 . （ 1） 求橢圓 C 的方程； （ 2） 過右焦點2F作斜率為 k 的直線 l 與 橢圓 C 交 NM、 兩點，在 y 軸上是否存在點 mP ,0 使得以 PNPM, 為 鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范圍，如果不存在，說明理由 20（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) Rax xaxf ln （ 1）若 1a ，求曲線 )(xf 在點 )(,( efe 處的切線方程； （ 2） 求 )(xf 的極值； （ 3） 若函數(shù) )(xf 的圖 象與函數(shù) 1)( xg 的圖象在區(qū)間 ,0( 2e 上有公共點，求實數(shù) a 的取值范圍 21（本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 na中， 11a ， ,412 a且 nnn an ana 11 ,4,3,2nnS為數(shù)列 nb的前 n 項和，且 2,4 11 bbbS nnn ,3,2,1n （ 1） 求數(shù)列 nb的通項公式； （ 2）設(shè) 323 12 nann bc ，求數(shù)列 nc的前 n 項的和nP； （ 3）證明對一切 Nn ，有671 2 nk ka 東莞市 2014 屆高三 理 科數(shù)學(xué)模擬試題 (一 ) 參考 答案 一 選擇題：每小題 5 分，共 40 分 . 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C B A A 二 . 填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9.600 10. 8 23 11. 4 12. 37,21 ； 13. naaan 21 14. 38 15. )552,1( 三 . 解答題： 來源 : 16.解： （ 1） ()f x ab xxx 2co s3co ss in =2 3)32s in ()2c o s1(2 32s in21 xxx 函數(shù) )(xf 的周期為 4 分 來源 : （ 2） 323,30 xx 1)32sin(0 x， 2 312 3)32s in (2 3 x即 )(xf 的值域為 231,23 . 8 分 （ 3） acb 2 ，212222c o s22222 ac acacac accaac bcax 1cos21 x. 12 分 17.解： （ 1）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號為 ,mn， 則兩次取球的編號 的一切可能結(jié)果 ),( nm 有 6 6 36 種， 其中 和為 6 的結(jié)果有 (1 , 5 ) , ( 5 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 4 , 2 ) , ( 3 , 3 )，共 5 種，則所求概率為 536. 3 分 （ 2）每次 從袋中隨機(jī)抽取 2 個球 ,抽到編號為 6 的球的概率 152613CpC. 所以， 3 次抽取中，恰有 2 次抽到 6 號球的概率為 2 2 23 1 2 2(1 ) 3 ( ) ( )3 3 9C p p . 7 分 （ 3）隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為 3,4,5,6 . 33361( 3 )20CPXC ， 23363( 4 )20CPXC ， 243663( 5 )2 0 1 0CPXC ， 25361 0 1( 6 )2 0 2CPXC . 所以， 隨機(jī)變量 X 的分布列為 : X 3 4 5 6 421216103520342013 EX 12 分 18.證明：（ 1）如圖 ， 以 C 為原點 建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz 則 B (3, 0, 0)， A (0, 4, 0)，1A (0, 4, 4)， 1B (3, 0, 4)，1C (0, 0, 4) )0,4,0( AC ， )4,0,3(1 CB ， 01 CBAC ， 所以 CBAC1. 4 分 （ 2） )4,4,0(1 AC . 設(shè)平面 B1 CD 的法向量為 ),( zyxm ， 由 043),()4,0,3(1 zxzyxmCB 來源 : 且 0223),()0,2,23( yxzyxmCD， 令 x = 4 得 )3,3,4( m ， 所以 0)3,3,4()4,4,0(1 mAC 又 CDBAC 11 平面 ， 所以 AC1平面 B1CD . 8 分 （ 3）解：由（ 1）知 AC BC， 設(shè) D (a, b, 0)（ 0a ， 0b ）， 因為 點 D 在線 段 AB 上 ， 且 13BDAB， 即 13BD BA 所以 2a ， 43b， 4( 1, , 0 )3BD 所以 )4,0,3(1 CB ， 4( 2, , 0 )3CD 平面 BCD 的法向量為1 (0, 0,1)n 設(shè)平面 B1 CD 的 法向量為2 ( , ,1)n x y， 由 120B C n，2 0CD n， 得 3 4 04203xxy ， 所以 43x， 2y ，2 4( , 2 ,1)3n 設(shè)二面 角 1B CD B的大小為 ， P 120 320 310 12 A A1 B C D B1 C1 x y z 所以 12123c o s61nnnn 所以二面 角 1B CD B的余弦值為 3 6161 14 分 19 解： （ 1）橢圓的離心率為21e ， 又由連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為 34 可得 32ab 來源 : 132 cba ， 所求橢圓方程為 134 22 yx . 6 分 （ 2） 由 )0,1(2F, l ： )1( xky 134)1(22 yxxky 整理 得 01248)43( 2222 kxkxk 設(shè) ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， 則2221 438 kkxx ， )2( 2121 xxkyy PNPM myxmyx 2211 , = myyxx 2, 2121 由于菱形對角線垂直，則 )( PNPM 0MN ， 得 0)2(1)( 2121 kmyyxx 當(dāng) 0k 時，上式恒成立 .又 P、 M、 N 三點不共線， 所以 0 mRm 且 當(dāng) 0k 時，由上式可得243 kkm ， 解得 123123 m 且 0m 故存在滿足題意的 P, 當(dāng) 0k 時， 0 mRm 且 . 當(dāng) 0k 時， m 的取值范圍是 123123 m 且 0m . 14 分 20解：（ 1） 1a ， xxxf 1ln 且 eef 2 又22ln)1( ln)1( ln)( x xx xxxxxf ， 2,1eef )(xf 在 點 )(,( efe 處的切線方程為： )(122 exeey ， 即 032 eyex 4 分 （ 2） )(xf 的定義域為 ),0( ，2)(ln1)( x axxf ， 令 0)( xf 得 aex 1 當(dāng) ),0( 1 aex 時， 0)( xf ， )(xf 是增函數(shù)； 當(dāng) ),( 1 aex 時， 0)( xf ， )(xf 是減函數(shù)； )(xf 在 aex 1 處取得極大值，即 11 )()( aa eefxf 極大值 8 分 （ 3）（ i）當(dāng) 21 ee a ，即 1a 時， 由（）知 )(xf 在 ),0( 1 ae 上是增函數(shù)，在 ,( 21 ee a 上是減函數(shù)， 當(dāng) aex 1 時， )(xf 取得最大值，即 1max)( aexf 又當(dāng) aex 時， 0)( xf ， 當(dāng) ,0( aex 時， 0)( xf ，當(dāng) ,( 2eex a 時， ,0()( 1 aexf ， 所以， )(xf 的圖像與 1)( xg 的圖像在 ,0( 2e 上有公共點， 等價于 11 ae ，解得 1a ，又 因為 1a ，所以 1a （ ii）當(dāng) 21 ee a ，即 1a 時， )(xf 在 ,0( 2e 上是增函數(shù)， )(xf 在 ,0( 2e 上的最大值為 22 2)( e aef ， 原問題等價于 122 e a ，解得 22 ea ， 又 1a