2014年五一高中數(shù)學聯(lián)賽提高班后端習題2答案

2014 年 五一 高中 數(shù)學聯(lián)賽 提高班 后端習題 答案 （第 二 次） 試卷說明 本測試與 2014 年 全國高中數(shù)學聯(lián)賽 加試 難度相當 ，并與實際授課難度接近 。 希望學員經(jīng)由本試卷了解數(shù)學聯(lián)賽加試題型及難度，對 14 年 10 月 全國高中數(shù)學聯(lián)賽 舉辦之前的學習進度給出合理安排。 本習題用于學生對水平進行自我評估， 如有學員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們取得聯(lián)系。方式 1：將自測結果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內進行評閱并進行個性化分析。 模擬試題 將于 2014 年 5 月 20 日 12:00 發(fā)布。 清北學堂集中培訓課程后端 習題答 案 （ 2014 年 五一 集中培訓課程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-2-4 2014-5-20 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程課程 后端習題 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年五一高中 數(shù)學聯(lián)賽 提高班后端習題 2 答案 1. 設 D 是已知三角形 ABC 的邊 AB 上的任意一點，點 E 在該三角形內部且是三角形ACD 和三角形 BCD 的內切圓的外公切線與 CD 的交點， 證明：點 E 的軌跡是一段圓弧。 【證明】如圖所示，設 AB 分別切兩圓于 H， I， CD 分別切兩圓于 F， G，兩個內切圓的另一條外公切線為 PQ，其中 P， Q 是切點。 因此， PQ=PE+EQ=EF+EG=2EF+FG 同理 HI=2DG+FG 由于 PQ=HI，所以 EF=DG 又因為 CF=AC+CDAD2 DG=CD+BDBC2 所以 CE=CF-EF=CF-DG=AC+BCAB2 故點 E 的軌跡是以 C 為圓心， AC+BCAB2 為半徑的在三角形 ABC 內部的一段圓弧 。 清北學堂集中培訓課程課程 后端習題 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 2. 設 m 是已知的正整數(shù)，若存在 n 個實數(shù) 12, , , 1,1na a a ，滿足2 2 21 2 1 20,nna a a a a a m ，求正整數(shù) n 的最小值。 【解答】 因為 2 2 212 nm a a a n ，所以 1nm。 （ 1）當 m 為奇數(shù)時， 1m 為偶數(shù)。若 1nm，設 12n m k ，取1 2 1 2 2,22k k k kmma a a a a akk ，則這樣的1 2 1, , , ma a a 滿足已知條件，因此 n 的最小值為 1m 。 （ 2）當 m 為偶數(shù)時， 1m 為奇數(shù)。若 1nm，則存在 1 2 1, , , 1,1ma a a ，滿足 2 2 21 2 1 1 2 10,mma a a a a a m 。因為 n 是滿足條件的最小的正整數(shù)，所以 0 1, 2 , , 1ia i m ，不失一般性，假設 1 2 111ma a a 。由于 1 2 1 0ma a ，則存在正整數(shù) 1j j m ，使得 1 1 11 0 1j j ma a a a 。若用1 2 1, , , ma a a 代替 1 2 1, , , ma a a ，仍然滿足條件，因此不妨假設 2mj ，于是有 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1m j j mm a a a a a a a a 2 2 21 2 1 2jja a a a a j m ， 矛盾。 若 2nm，設 22n m k ，取1 2 1 2 2,22k k k kmma a a a a akk ， 則這樣的 1 2 2, , , ma a a 滿足已知條件，因此 n 的最小值為 2m 。 清北學堂集中培訓課程課程 后端習題 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 3. 求不定方程 n14 +n24 +n134 = 2014的所有非負整數(shù)解。 【解答】 因為（ 2n） 416n40(mod 16) (2n+1)48n(n+1)+11(mod 16) 所以 4131 0,1,2,13( 16) 而 201414（ mod 16） 故原不定方程無非負整數(shù)解 4. n 個人參加訓練賽，訓練賽共由 12 輪比賽組成。每一輪比賽之后，每一個參賽者都根據(jù)他在該輪比賽中所排的名次 k 獲得一個分數(shù) ka （ ka 為正整數(shù)，且12 na a a ）。所有比賽都結束后，再根據(jù)每個人在 12 輪比賽中所得分數(shù)之和排列總名次。試問，對于怎樣的最小的 n ，有可能如此選擇 12, , , na a a ，使得在倒數(shù)第二輪結束之后，無論名次是如何排列的 ,都有兩個人具有最終獲得冠軍的可能性？ 【解答】 n 的最小值為 13。 如果 12n ，讓某個人（稱其為 A ）在前 11 輪比賽的每一輪中都排在第一，而其余 1n 個中的每一個都有一輪排在最后。那么 A 在所有 12 輪比賽 中 所 得 的 分 數(shù) 111 naa， 而 其 余 每 個 人 則2 1 11 0 1 1nna a a a a ，所以只有 A 一個人可以成為冠軍。 對 13n ，取 1 2 1 2 1 31 0 1 1 , 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 , 1a a a a ，設在前 11 輪比賽之后總分排在第一的為參賽者 A ，此時在其余 12 個參賽者之中，至少有一人在任何一輪比賽中都沒有排在最后（稱為 B ）。此時， A 所得的總分 11 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1a ， B 所得的總分21 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0a ，