（理論物理專業(yè)論文）磁場下旋量凝聚體的自旋演化和一維玻色凝聚體的結(jié)構(gòu)相變.pdf

論文題目： 專業(yè)： 博士生： 指導老師： 磁場下旋量凝聚體的自旋演化和一維玻色凝聚體的結(jié)構(gòu)相變 理論物理 陳志鋒 李志兵( 教授) 摘要 1 9 9 5 年玻色一愛因斯坦凝聚( b e c ) 首次在實驗上獲得成功，自此b e c 成為 實驗和理論物理學界一個異彩紛呈的舞臺，至今方興未艾。b e c 是一種由宏觀數(shù) 目原子構(gòu)成的量子系統(tǒng)，所有原子都占據(jù)著能量最低的單粒子態(tài)( 有時也包括低 激發(fā)態(tài)) ，并在宏觀尺度上展現(xiàn)量子行為。 本文研究了外磁場作用下f = 1 旋量b e c 的自旋演化動力學。通過對角化哈密 頓量，得到系統(tǒng)狀態(tài)的含時解析表達式，在單模近似下具有簡單的形式。為了闡 明磁場對演化過程產(chǎn)生的影響，文中對召= o 和b o 兩種情況的演化特點進行了 細致的比較。結(jié)果表明，磁場將引起各自旋分量原子占有數(shù)隨時間的強烈振蕩。 當磁場足夠強時，我們發(fā)現(xiàn)了一種由高低兩個頻率表征的新振蕩模式。 本文還研究了一維環(huán)上吸引相互作用b e c 的結(jié)構(gòu)相變。同樣通過對角化哈密 頓量，求得系統(tǒng)的低激發(fā)譜。我們發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相變表現(xiàn)為基態(tài)中基本對激 發(fā)的權(quán)重隨相互作用增強發(fā)生顯著變化。隨著相變發(fā)生，粒子的關(guān)聯(lián)變得非常強， 系統(tǒng)的y r a s t 態(tài)出現(xiàn)準簡并現(xiàn)像。我們還發(fā)現(xiàn)，在強相互作用域，環(huán)的微小形變 將導致各y r a s t 態(tài)強烈混合，形成破壞空間對稱性的集群結(jié)構(gòu)，并且引起平均角 動量的大幅漲落。 在對角化哈密頓量時，我們使用了小體理論中的方法，其中應用到母配分系 數(shù)。通過這種有效的方法，我們獲得了精確度很高的結(jié)果。 關(guān)鍵詞：玻色一愛因斯坦凝聚，自旋演化，母配分系數(shù)，結(jié)構(gòu)相變，準簡并 t i t l e ：e v o l u t i o no fs p i l l o rc o n d e n s a t e si i lm a g n e t i cf i e l d sa n ds t r u c t u r a l t r a i l s i t i o no f o n ed i m e n s i o n a lb o s ec o n d e n s a t e s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：z h i f - e n gc h e n s u p e r y i s o r ：p r o z l l i b m gl i a b s t r a c t b o s e e i i l s t e i l lc o r l d e r l s a t i o n ( b e c ) w a sf i r s tr e a l i z e di 1 119 9 5 s i l l c et h e nb e ch a s b e e na na c t i v ef i e l do fb o t he x p e r i m e n t a ia n dt h e o r e t i c a ls t u d i e s 1 1 1 eb e cc o n s i s t so f am a c r o s c o p i cn u m b e ro fa t o m si 1 1t h es 鋤es i l l g l e - p a r t i c l es t a t eo ft b el o w e s te n e 略y ( s o m e t i r n e sa l s oi n c l u d i l l gt h e1 0 w e re x c i t e ds t a t e s ) t h ea t o m i cq u a n t 岫m a t t e r e x l l i b i t sq u a m u mb e h a v i o u ri i lam a c r o s c o p i cs c a l e t h es p i l lr 血i i l gd y n a m i c so fs p i i l - 1b e cu n d e ra ne ) ( t e m a lm a g n e t i cf i e l di s i i l v e s t i g a t e dmt h ep r e s e mp a p e r t h et 諭e d e p e n d e ms o l u t i o n sa r eo b t a 洫e dv i a d i a g o n a l i z a t i o no ft h eh a m i h o i l i a l l ，粗c hh a sas i i n p l ef o r mu n d e rt h es 迦l em o d e a p p r o x i i t l a t i o n n e 詫a t u r e so ft h ee v o l u t i o na r ec o m p a r e di nd e t a i lw i t ht h o s e 胤h t h ef i e l dr e i n o v e ds oa st oe m l ) 1 1 a s i z et h ee 虢c to ft h ef i e l d o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h e f i e l dc a ni n d u c es t r o n go s c i l l a t i o i l si i l p o p u l a t i o i l s o fa t o i n si i ld i f 3 f e r e m s p i n c o m p o n e n t s an e wm o d eo fo s c i l l a t i o nc h a r a c t e r i z e db yal l i g h 舭q u e n c ya i l dal o w 舭q u e n c y ，i s 南u n dw h e nt h ef i e l di ss u 街c i e n t i ys t r o n g t h es t r u c t u r a lt r a l l s i t i o n 訪t h eb e c sw “ha t t r a c t i v e 缸e r a c t i o no nar i i 瑪i sa l s o s m d i e d n l e l o w - l y m gs p e c t m m i so b t a i l l e da l s ov i a d i a g o n a l i z a t i o no ft h e h a 衄1 t o n i a n w ef m dt l 謝t h et 瑚1 s i t i o ni sd e s c r i b e db yt h er e m a r k a b l ec h a n g eo ft h e w e i g h to fp a i re x c i t m gi 1 1 t h eg r o u n ds t a t ea st h ei r i e r a c t i o ns t r e n g t h 協(xié)c r e a s e s p a r t i c l ec o r r e l a t i o nb e c o m e sm u c h s t r o n g e r a i l dt h e y r a s t s t a t e sb e c o m e q u a s i - d e g e n e r a t e i nt h e s t r o n g i m e r a c t i o np h a s e w e a l s of - m dt h a ti i lt h e s t r o n g - n e r a c t i o np l l a s e ， as m a l ld e 南r m a t i o no ft h e r i r 塔 w i l lm i xt h e q u a s i - d e g e n e r a t e ) ，r a s ts t a t e st of o n nc l u s t e rs t a t e sw h i c hb r e a kt h es p a t i a ls y m m e t 呵 e x p l i c i t l ya n di m r o d u c e 地en u c t u a t i o no f t h ea v e r a g ea n g u l a u rm o i n e n t u l l l a 詫w - b o d ym e t h o d ，c 1 1 a r a c t e r 訖e db yt h e 納c t i o m lp a r e n t a g ec o e 伍c i e m s ，h a s b e e nu s e dmt h ed i a g o i l a l i z a t i o n 。w 她t h j sp o w e m lm e t h o d ，1 1 i 曲p r e c i s i o ns o l u t i o l l s b a v eb e e no b t a i 力e d k e yw o r d s ： b o s e e h l s t e i l lc o n d e n s a t i o 瑪 s p i i le v o l u t i o i l ，丘a c t i o n a lp a r e m a g e c o e 街c i e m s ，咖c t u r a lt r a i l s “i o i l ，q u a s i d e g e n e r a t e i i 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下，獨 立進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論 文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文 的研究作出重要貢獻的個人和集體，均己在文中以明確方式標明。本 人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔。 學位論文作者簽名：礫走銹 日期： 2 卯擴年占月爭日 學位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解中山大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學 校有權(quán)保留學位論文并向國家主管部門或其指定機構(gòu)送交論文的電 子版和紙質(zhì)版，有權(quán)將學位論文用于非贏利目的的少量復制并允許論 文進入學校圖書館、院系資料室被查閱，有權(quán)將學位論文的內(nèi)容編入 有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用復印、縮印或其他方法保存學位論文。 學位論文作者簽名：p 樂去鋒 日期：z 。年莎月牛日 導師簽名：季易 日期：妒陣月- 日 知識產(chǎn)權(quán)保護聲明 本人鄭重聲明：我所提交答辯的學位論文，是本人在導師 指導下完成的成果，該成果屬于中山大學物理科學與工程技術(shù)學 院，受國家知識產(chǎn)權(quán)法保護。在學期間與畢業(yè)后以任何形式公開 發(fā)表論文或申請專利，均須由導師作為通訊聯(lián)系人，未經(jīng)導師的 書面許可，本人不得以任何方式，以任何其它單位做全部和局部 署名公布學位論文成果。本人完全意識到本聲明的法律責任由本 人承擔。 學位論文作者簽名：徘去霹 日期：印釕占爭 中山大學博士學位論文 第1 章緒論 1 9 2 5 年，愛因斯坦歷史性的預言：低溫下玻色氣體中的粒子將凝聚到相同的 量子態(tài)。這一低溫下奇特的物理現(xiàn)像被命名為玻色一愛因斯坦凝聚( b e c ) 。時 隔7 0 年，隨著激光冷卻和捕陷等技術(shù)的發(fā)展，人們終于在冷原子氣體中實現(xiàn)了 b e c 。b e c 是在宏觀尺度上展現(xiàn)的量子效應，對它的研究已成為當今物理學界 異?；钴S的一個領(lǐng)域。 1 1 歷史回顧 b e c 的研究歷史可以回溯到1 9 2 4 年，印度物理教師玻色( s b o s e ) 利用統(tǒng) 計方法推導出黑體輻射的光譜，由于未能把工作發(fā)表【l 】，玻色把手稿寄給愛因斯 坦( a e 缸t e i l l ) 請他審閱。愛因斯坦于是把玻色的文章翻譯成德文并發(fā)表，并 在此基礎(chǔ)上接連發(fā)表了兩篇文章【2 】，把玻色的理論推廣到無相互作用的理想氣 體，這就是著名的玻色一愛因斯坦統(tǒng)計理論。愛因斯坦敏銳的察覺到，由這種統(tǒng) 計理論可以推論出低溫下原子在各量子能級之間分布的奇異特性：在極低溫度 下，將有大份額的原子布居在能量最低的量子態(tài)上面! 這種現(xiàn)像就是今天我們所 熟知的玻色一愛因斯坦凝聚。實現(xiàn)凝聚的條件是原子的熱德布羅意波長( 如) 要大于原子間的平均間距，使得原子波包出現(xiàn)重疊。 起初對于發(fā)生凝聚的預言，并沒有引起包括愛因斯坦本人在內(nèi)的物理學界的 廣泛關(guān)注。直到1 9 3 8 年，倫敦( f l o n d o n ) 提出超流和超導現(xiàn)像可能是b e c 的 表現(xiàn)1 3 ，4 。但這兩類現(xiàn)像都是出現(xiàn)在強相互作用體系中，原子間的強關(guān)聯(lián)掩蓋了 b e c 的本質(zhì)。后來通過中子散射測量，發(fā)現(xiàn)超流液氦中只有約1 0 的原子凝聚。 于是人們轉(zhuǎn)向在弱相互作用玻色氣體中尋求實現(xiàn)b e c 。但面臨的一個嚴峻困難 是，多數(shù)氣體在極低溫度下將液化，或者原子先組合成分子繼而凝成固體，使得 原子的相互作用大大增強，破壞實現(xiàn)b e c 的條件。1 9 5 9 年h e c m 提出可以選擇 自旋極化氫原子氣體實現(xiàn)b e c 【5 】。理由是兩個自旋朝向相同的氫原子之間的吸引 中山大學博士學位論文 作用非常弱，不足以形成束縛態(tài)，因而囚禁在磁場里的氫原子氣體可以有效避免 在低溫下形成分子或液化，從而為實現(xiàn)b e c 創(chuàng)造了有利條件。然而h e c h t 的想 法遠遠超出了當時的技術(shù)水平，因而沒有受到重視。事實上，由于在冷卻氫原子 氣體過程中遇到的困難，使得在較晚的1 9 9 8 年，m t 的印p n e r 小組才最終實 現(xiàn)了自旋極化氫原子氣體的b e c l 6 j 。 當人們把希望的眼光投放在自旋極化氫原子氣體時候，對另一種b e c 候選 者的研究也在世界范圍內(nèi)進行著，它就是堿金屬原子氣體。直到2 0 世紀8 0 年代 中期，激光冷卻和蒸發(fā)冷卻等實驗技術(shù)有了長足的發(fā)展，這些技術(shù)特別適用于冷 卻堿金屬原子氣體。經(jīng)過幾代人的不懈努力，1 9 9 5 年j i l a 、m i t 和r i c e 大學等 小組率先在8 7 r b 、2 3 n a 和7 l i 等堿金屬原子氣體中實現(xiàn)了b e c 【7 枷】。c e w e m a 璣 e a c o m e l l 和wk e t t e r l e 三位科學家因此而獲得2 0 0 1 年諾貝爾物理獎。圖l 一1 是j i l a 小組在8 7 r b 實驗中不同溫度下觀察到的原子密度分布。 圖1 11 9 9 5 年j i l a 小組在銣原子b e c 實驗中觀察到的原子密度分布圖【1 1 】。 1 2b e c 的基本特性 b e c 是在宏觀尺度上展現(xiàn)的量子效應。當玻色氣體被冷卻到臨界溫度瓦以 下，將有大比例的原子凝聚到最低量子態(tài)。溫度丁下質(zhì)量為聊的原子可以被看 作一個量子波包，其空間范圍與相同溫度下的熱德布羅意波長 2 中山大學博士學位論文 如= 同量級。如的大小反映了由于熱運動而造成的位置不確定度，它隨溫度降低而 增大。當原子被冷卻到如可以與原子間距相比擬時，原子波包即發(fā)生重疊，使 得原子變得不可分辨。此時玻色氣體開始進入b e c 狀態(tài)，所有原子共同形成一 個宏觀的“原子云”，如圖1 2 所示。在b e c 里，所有原子占據(jù)著相同的量子態(tài)， 正如1 9 9 5 年1 2 月2 2 日s c i e n c e 雜志封面( 圖1 3 ) 所描述那樣，原子就像整齊 列隊的衛(wèi)兵，步調(diào)一致的行動。 t _ t c r j t ： 8 0 s e e i n s 七e l n c o n d e n s a t i o n 一8 甜d 嘲破h 坩謝鑫v o w 剛弼， t = o ： p u r e b o n d e n 搴a 協(xié) g h n tm a 拍鉀w 糊。 圖1 2 不同溫度下玻色氣體的量子特性【1 2 1 。 1 3b e c 實驗技術(shù)簡介 從2 0 世紀中頁開始發(fā)展起來的利用磁場和激光對原子氣體進行囚禁和冷卻， 還有對原子云成像等技術(shù)，為b e c 的實現(xiàn)及進一步研究奠定了基礎(chǔ)。本節(jié)將對 一系列相關(guān)實驗技術(shù)作簡單介紹。 1 3 1 原子囚禁技術(shù) 對中性原子進行磁約束的理論基礎(chǔ)是塞曼效應：原子的塞曼能級依賴于磁 3 中山大學博士學位論文 場，因而處在非均勻磁場中的原子將感受到空問變化的勢場。假設(shè)塞曼能級線性 依賴于磁場強弱，對于磁偶極矩為i f ( 負) 的原子，將感受到把它推向磁場較強 ( 弱) 方向的力。磁勢阱的深度決定于塞曼能b ，原子磁偶極矩的量級為玻爾 磁子( 月= p 充2 ) ，以溫度為單位大約是o 6 7 k 丁，而實驗中的磁場一般認 為小于1r ，故磁阱的深度將遠小于1k 。這就要求原子必須事先冷卻到足夠低 溫才能被磁阱捕獲。 圖1 3b e c 中原子的行為( 1 9 9 5 年1 2 月2 2 日s c i e n c e 雜志封面) 。 最簡單的磁阱是反向亥姆霍茲線圈形成的四極阱，其中心處場強為零。四極 阱存在一個嚴重的缺點，原子在磁阱罩運動時感受到的是一個隨時間變化的磁 場，這將引起原子在不同塞曼能級間躍遷，不利的情形是這種躍遷會改變磁偶極 矩的符號，從而導致原子從磁阱中泄漏出去。這種情況在磁場零點附近尤為嚴重， 因而四極阱中心處相當于是一個“漏洞”。這一“漏洞”有多種補救的方法【l 3 1 ， 在第一個實現(xiàn)b e c 的實驗中，是外加一個振蕩的偏置磁場來堵住漏洞。另一方 法是在磁場節(jié)點區(qū)域加上一激光場，利用輻射排斥力阻礙原子進入這一區(qū)域，該 方法被m i t 小組應用在早期實驗中。還可以用沒有節(jié)點的磁場代替四極阱，從 而避免了“漏洞”的出現(xiàn)。 利用激光束聚焦可以產(chǎn)生一個輻射場，其強度空間分布存在一個極大值，如 4 中山大學博士學位論文 果激光頻率調(diào)到紅外失諧，則原子在光場中的基態(tài)能量存在一個空間最小值。人 們利用這一原理，制造出在旋量b e c 研究中廣泛使用的光學阱。光學阱的優(yōu)點 是，堿金屬原子在光場中的基態(tài)跟磁性無關(guān)，這是由于最外層電子的基態(tài)為s 態(tài)。 這跟磁阱的情形完全不一樣，磁場中原子能量由塞曼項主導，原子實際上只能處 于單一的自旋態(tài)，自旋自由度因而被禁錮。如果利用光學阱囚禁原子，則可把自 旋自由度釋放出來，跟自旋有關(guān)的一系列豐富多彩的物理現(xiàn)像，如自旋能帶結(jié)構(gòu)， 自旋動力學演化等課題的研究成為可能。 1 3 2 原子冷卻技術(shù) 實現(xiàn)b e c 的首要條件是把原子冷卻到足夠低溫( pk ) ，這要求科學家們發(fā) 展出既能有效降低溫度，又能避免原子液化或結(jié)合成分子的技術(shù)。對于堿金屬原 子特別有效的降溫技術(shù)有激光冷卻，蒸發(fā)冷卻等。 根據(jù)共振光偏轉(zhuǎn)原子束的原理，當光子被原子吸收后，便獲得動量力后，然后 以自發(fā)輻射或受激輻射形式釋放光子，回到基態(tài)。如果以自發(fā)輻射形式輻射出去， 其輻射方向在4 立體角內(nèi)均勻分布，給予原子的平均動量為零，故原子獲得所 吸收光子的動量觥，只要激光頻率相對于原子躍遷的頻率為紅移，在激光作用 下的原子，會由于d o p p l e r 效應被減速，被致冷，即v ，v 2 隨作用時間t 的增加 而下降。但這只是受到迎面而來的激光輻射壓力作用的結(jié)果。如果是受到正反方 向傳播的激光作用，這時原子將在傳播方向例如x 軸方向被減速。如果是采用6 個光束沿x ，y ，z 正反方向作用于原子，則原子將被禁錮在6 束光作用的小區(qū)域 內(nèi)，又考慮到原子的速度擴散，原子很像是在一帶有粘性的液體即光學粘膠 ( o p t i c a lm o l a s s e s ) 中運動。另外，當激光的偏振隨空間坐標變化，亦即存在偏 振梯度時，對與之相互作用的原子呈現(xiàn)出阻力，而且這時的阻尼系數(shù)當原子的速 度v 趨于0 時，幾乎與光強無關(guān)。通過這種激光冷卻和囚禁技術(shù)可獲得大量的高 密度的超冷原子，數(shù)目為1 0 1 0 ，密度為1 0 n 1 0 1 2 c m ，溫度為幾十k 【1 4 】。 蒸發(fā)冷卻是有選擇地把磁阱中能量較高的原子釋放出來，然后剩下的原子通 過彈性碰撞重新達到溫度更低的熱平衡，如此反復不斷降低原子氣體的溫度。在 實現(xiàn)b e c 的過程中，蒸發(fā)冷卻是由一個射頻磁場來完成的。在磁阱中，能量較 5 中山大學博士學位論文 大的原子可達到磁場較強的地方，產(chǎn)生的塞曼分裂也較大?？蛇x擇適當?shù)纳漕l場 頻率，使這些原子躍遷到非囚禁的自旋態(tài)而逸出磁阱，通過把射頻場頻率慢慢變 低，迫使更多能量較高的原子逸出磁阱。于是，阱中原子密度和彈性碰撞幾率增 加，溫度變低，最終的溫度和相空間密度取決于最后的射頻場頻率。實現(xiàn)蒸發(fā)冷 卻的關(guān)鍵在于：( 1 ) 極高的背景真空度，以保證勢阱有較長的囚禁時間來完成蒸 發(fā)冷卻過程；( 2 ) 較大的彈性碰撞截面和較高的原子密度，以縮短重新熱平衡化 的時間【”j 。 1 3 3b e c 成像技術(shù) 目前觀測b e c 的形成多采用共振吸收成像技術(shù)，用這種技術(shù)可以確定原子 的數(shù)目、密度、溫度以及原子的空間分布。其具體過程為：突然關(guān)閉勢阱，讓發(fā) 生凝聚的原子云自由擴散，然后在不同的延遲時刻用共振脈沖光來探測。由于原 子對共振光的吸收，在探測光中會產(chǎn)生陰影區(qū)，由c c d 裝置對透射光成像，對 圖像進行數(shù)字化處理，可以得到原子云在每一點的光學厚度。對由此獲得的一系 列飛行時間( t h e o f f l i g h t ，t o f ) 圖像進行逐點校正，以修正由探測光的偏振 度和飽和效應引起的偏差，可以得到擴散原子云的二維速度分布。飛行時間測量 方法是測量冷原子溫度的常用方法，它用共振熒光方法測量距冷原子團中心一定 距離處的熒光強度的時間演化，可以得到冷原子的速度分布，由此推出溫度。它 們包含著原子的許多熱力學信息，如分布曲線下所包圍面積的積分，正比于總的 原子數(shù)目；在零速度附近出現(xiàn)的窄特征峰，其峰值曲線下所包圍面積的積分正比 于處于體系基態(tài)的原子數(shù)目；從擴散原子云的平均半徑和擴散時間可以得到原子 的平均擴散速度和平均能量等特征參量。由于利用共振光探測，原子會強烈地散 射共振光子，從而引起對原子的加熱效應，因此這種共振吸收成像技術(shù)對形成的 b e c 有一定破壞性【1 5 j 。 1 3 4f e s h b a c h 共振舊 6 低溫下堿金屬原子氣體的相互作用能量正比于原子云密度和原子的散射長 中山大學博士學位論文 度a ，理論預言散射長度的大小可通過外加磁場等方式改變，即f e s h b a c h 共振 【1 7 五1 1 。在f e s h b a c h 共振點附近，散射長度連續(xù)的從正值過渡到負值，實現(xiàn)了大 范圍取值變化。若設(shè)定口0 ，則可產(chǎn)生近似理想氣體；若設(shè)定口 o ，則可觀察 系統(tǒng)的不穩(wěn)定和坍塌。外加磁場的迅速改變會引起散射長度的突變，這為研究新 的動力學效應開辟了道路，如在準一維系統(tǒng)中產(chǎn)生亮孤子物質(zhì)波等現(xiàn)像2 2 1 。 j 一 廠 一 矗 b q 7 圖1 _ 4 在f e s h b a c h 共振附近散射長度隨磁場的變化關(guān)系【1 6 1 。 f e s h b a c h 共振的出現(xiàn)是由堿金屬原子的特殊結(jié)構(gòu)造成的。在堿金屬原子里， 最外層電子只有一個電子。當兩個堿金屬原子碰撞時，它們總的電子自旋可以處 在單重態(tài)或三重態(tài)。由于原子核的磁矩遠小于電子磁矩，原子總的磁矩主要是由 電子磁矩決定的，所以在雙原子系統(tǒng)中三重態(tài)的磁矩遠大于單重態(tài)的磁矩。當有 磁場時，三重態(tài)里最大的塞曼能絕對值遠大于單重態(tài)的塞曼能絕對值，因此通過 調(diào)節(jié)外加磁場可以改變?nèi)貞B(tài)和單重態(tài)的能量差別。一般來說，在氣體里的大多 數(shù)原子中任兩個原子都處在自旋是三重態(tài)的散射態(tài)上，有少量原子結(jié)合成自旋單 重態(tài)的雙原子分子，所以通過改變磁場大小可以使雙原子分子態(tài)能量接近散射 態(tài)。當散射態(tài)和分子態(tài)能量相同時，系統(tǒng)里發(fā)生f e s h b a c h 共振，此時原子的散 射長度發(fā)散。在原子氣體中，散射長度與原子之間的相互作用強度成正比。所以 在有f e s h b a c h 共振的系統(tǒng)里?？梢愿淖兇艌鰜碚{(diào)節(jié)原子的散射長度和原子之間 的相互作用強度。在f e s h b a c h 共振系統(tǒng)中，散射長度a 隨磁場b 的變化關(guān)系如 圖l 一4 所示。 1 9 9 8 年，k e t t e r l e 實驗組首先在鈉系統(tǒng)中通過測量原子非彈性散射速率發(fā)現(xiàn) 了f e s h b a c h 共振【2 3 】。實驗中的原子氣體都是被勢阱束縛的亞穩(wěn)系統(tǒng)，非彈性散 射導致原子從系統(tǒng)中丟失，而丟失速率隨散射長度的增加而增加，所以非彈性散 7 中山大學博士學位論文 射速率的峰標志著f e s h b h 共振的位置。k e t t e r l e 等在實驗中發(fā)現(xiàn)原子丟失速率 比理論估算要大許多，這也對實驗上研究強相互作用區(qū)域造成了很大困難，因為 在強相互作用區(qū)域很難有足夠的時間來進行觀測。2 0 0 2 年，w i e i m n 實驗組利用 f e s h b a c h 共振使8 5 r b 原子氣體中的散射長度有一個方波似的變化，當散射長度 穩(wěn)定后他們發(fā)現(xiàn)原子數(shù)目在周期性的振蕩，而振蕩頻率正是雙原子分子的能量 【2 4 】。由于粒子不能無中生有，惟一合理的解釋是系統(tǒng)中粒子除了處在原子態(tài)外 還可以處在雙原子分子態(tài)，所以如果忽略粒子的丟失，總的粒子數(shù)是守恒的。當 時還沒有直接觀測雙原子分子的實驗手段，這個實驗成為證明系統(tǒng)中存在分子態(tài) 的間接證據(jù)。 1 4 理想玻色氣體中的b e c 1 4 1 玻色分布和能態(tài)密度 對于處在熱平衡的無相互作用理想玻色氣體，溫度丁時處于量子態(tài)v 的平均 粒子數(shù)由玻色分布函數(shù)給定， 八勺) = 面而蒜 ( 1 - 2 ) 其中毛為量子態(tài)_ l ，的能量，為相應溫度下氣體的化學勢?；瘜W勢作為總粒子 數(shù)和溫度丁的函數(shù)，由粒子數(shù)守恒確定，即 = 廠。( o ) ( 1 - 3 ) 實際計算中一般把對量子態(tài)求和換成對能量積分，相應引入能態(tài)密度概念， 即單位能量區(qū)間內(nèi)量子態(tài)的數(shù)目。例如粒子質(zhì)量為聊，體積為礦的均勻氣體的能 態(tài)密度為 貼) = 赫2 ( 1 - 4 ) 而囚禁在三維諧振子勢中氣體的能態(tài)密度為 如) 2 毫去 ( 1 - 5 ) 中山大學博士學位論文 其中哆( 扛1 ，2 ，3 ) 是在x ，y ，z 三個方向的諧振頻率。通常情況下能態(tài)密度可以表 示成能量的冪函數(shù)形式 g ( g ) = q s 扣1 ( 1 6 ) 其中巴是一個常量。上面兩個例子分別對應于口= 3 2 和口= 3 。 利用能態(tài)密度，把( 1 3 ) 中的求和用積分代替，可得 = j c o 麗 ( 1 - 7 ) 1 4 2 凝聚溫度和凝聚比例 假設(shè)粒子最低能級的能量為o ，由( 1 2 ) 可知任何溫度下必有 o ，以保證任 何量子態(tài)的粒子數(shù)不為負。同時化學勢隨溫度降低而升高，保持總粒子數(shù)守恒。 當溫度降到某一臨界溫度z 時，將趨于o 。臨界溫度可由下式定出 = j c o 蒜 m 8 ， 溫度低于疋時，由( 1 7 ) 不可能得到負的化學勢。產(chǎn)生這個矛盾的原因是，把 ( 1 3 ) 改寫成( 1 - 7 ) 時，由于g ( 0 ) = o ，故占= o 的項被棄去，即處于最低能級的粒子 數(shù)在總粒子數(shù)中的貢獻被忽略掉。在溫度足夠高時，處于最低能級的粒子數(shù)與總 粒子數(shù)相比是個小量，將其忽略不會引起明顯誤差。然而當溫度低于乃時，粒子 將盡可能占據(jù)最低能級，其占有數(shù)變得非常可觀而不能忽略。因而當丁 乏時， 應該把最低能級和其它能級的粒子數(shù)分開計算，即 = 岬) + j c o 蒜 ( 1 _ 9 ) o ( 丁) 為凝聚在最低能級的粒子數(shù)，在丁 z 時與總粒子數(shù)具有相同的量級， 這種現(xiàn)像稱為玻色一愛因斯坦凝聚，稱為凝聚溫度。 9 中山大學博士學位論文 把( 1 6 ) 代入( 1 8 ) ，同時另x = 占圮，得到瞄5 1 = 哪穢j c o 嵩出 上式中的積分可用廠函數(shù)和黎曼( 黜e m m ) f 函數(shù)表示，即 j c o 若出= m 他) 把( 1 1 1 ) 代入( 1 1 0 ) 得到疋的表達式為 圮= 嘉 ( 1 1 0 ) ( 1 - 1 2 ) 對于密度為玎= y 的三維均勻玻色氣體， 口= 3 2 ， r ( 3 2 ) = 孑2 o 8 8 6 ，f ( 3 2 ) 2 6 1 2 ，由( 1 4 ) 和( 1 1 2 ) 可得 紅：熹鯊 3 3 1 絲 ( 1 - 1 3 ) 。 眵( 3 2 ) 】馴2 聊朋 、。 對于三維諧振子勢中的玻色氣體，口= 3 ，1 1 ( 3 ) = 2 ，f ( 3 ) 1 2 0 2 ，由( 1 - 5 ) 和 ( 1 1 2 ) 可得 圮= 器礬刪3 ( 1 - 1 4 ) 其中萬= ( 緲，緲：國，) 3 是三個諧振頻率的幾何平均。代入后和殼的具體數(shù)據(jù)，把乏以 放為單位表示出來 馴5 ( 志p 旅 m 均 其中7 = 萬2 萬。 利用( 1 1 2 ) 可以討論低維玻色氣體的凝聚性質(zhì)。例如二維均勻氣體，口= 1 ， f ( 1 ) = ，故在有限溫度下不可能出現(xiàn)凝聚現(xiàn)像。然而如果把氣體囚禁在二維諧 振子勢中，則口= 2 ，f ( 2 ) 為有限，氣體將會在有限溫度下出現(xiàn)凝聚。 l o 中山大學博士學位論文 圖1 - 5 三維諧振子勢中凝聚比例隨溫度變化的關(guān)系。虛 線為理論曲線，圓點為文獻【2 6 】的實驗結(jié)果?！? 7 l 由( 1 - 9 ) ，并利用的表達式( 1 - 1 2 ) ，可求出丁 z 時的凝聚比例為 等斗時 m 舊 lzj 、 圖1 5 顯示了實驗觀察到的三維諧振子勢中玻色氣體的凝聚現(xiàn)像，可見理論結(jié)果 跟實驗數(shù)據(jù)大致吻合。 1 5 非理想玻色氣體的基本理論 1 5 1 平均場理論：g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程 這一節(jié)我們討論粒子間存在相互作用的非理想玻色氣體的平均場理論【2 5 1 。 b e c 實驗的環(huán)境一般是溫度極低( k ) ，同時粒子密度非常小( 1 0 1 4 冊_ 3 ) 。 在這樣的條件下，粒子間的相互作用可近似看作低能極限下的s 波散射。在動量 表象中，這相當于兩個粒子間的作用為常量“= 鋤殼2 口m ，其中口是散射長度， 所是粒子質(zhì)量。而在坐標表象中，則相當于兩個粒子間的相互作用勢能為 砜萬( r r i ) ，r 和r 表示兩個粒子的位置。在此近似下，粒子系統(tǒng)的多體哈密 頓量寫成 中山大學博士學位論文 日= 善防m(xù) ，卜驢訓 m 其中y ( r ) 描述系統(tǒng)所處外場的勢能。當考察系統(tǒng)的基態(tài)時，可采用平均場近似， 即假設(shè)零溫下所有粒子都凝聚在同一單粒子態(tài)矽( r ) 上，整個系統(tǒng)的波函數(shù)相應地 寫成 矽( r ) 歸一化為1 甲( t ，r 2 ，r ) = 兀矽( i ) f - l p 脅) 1 2 = 1 矽( r ) 所滿足的方程可通過對能量泛函作變分得到。態(tài)( 1 1 8 ) 的能量為 ( 1 - 1 8 ) ( 1 _ 1 9 ) 刪) _ 肛陶v 船) 1 2 州r ) l 船) 1 2 + 竿帥( r ) 1 4 ( 1 - 2 。) 當系統(tǒng)處于基態(tài)時，矽( r ) 使( 1 2 0 ) 取極小值，即變分艿( e 一) = 0 ，化學勢是 考慮到矽( r ) 所滿足的歸一化條件而引入的拉格朗日乘子。通過上述變分條件得到 矽( r ) 所滿足的方程為 ( 一羔v 2 川卅砜帥吵妒從r ， m 2 t ， 該方程稱為g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程【2 8 。3 0 】。通過對它求解即可得到平均場近 似下玻色凝聚體的波函數(shù)。 g p 方程的適用條件是：s 波散射長度遠小于粒子平均距離，即氣體足夠“稀 薄，同時凝聚體中的粒子數(shù)遠大于1 。可用無量綱量萬h 3 描述氣體的稀薄程度， 它表示體積i 叫3 內(nèi)的粒子數(shù)，其中萬是氣體的平均密度。實驗中各種原子散射長 度的通常取值為：口= 2 7 51 1 n 1 ( 2 3 n a ) ，口= 5 7 7 鋤( 8 7 i 曲) 和口= 一1 4 5n m ( 7 l i ) 3 1 m 1 。典型的粒子數(shù)密度為1 0 1 3 1 0 1 5c m 3 ，從而萬h 3 的值總是小于1 0 。3 。 當萬h 3 7 0 01 1 1 g ) 時，自旋演化將受到嚴重抑制，原子基本都停留在初始狀態(tài)，發(fā) 1 8 中山大學博士學位論文 生自旋翻轉(zhuǎn)的幾率非常小。這跟本文后面的理論結(jié)果是一致的。 b ( m g ) 圖2 4 三態(tài)銣原子從初態(tài)反l ，o ，一i ) = ( 0 ，1 ，o ) 開始，在不同 偏置磁場下演化3s 后的自旋0 分量占有比例【4 引。 腳| i l 嫩翔岫腳蝻精蠢秘昭， 圖2 5 五態(tài)銣原子在不同外磁場下各自旋分量占有比例隨時間的演化【5 叫。實心圓，空心 方形和實心三角形分別代表坼= o ，1 ，2 。磁場分別為1 5 ，0 7 5 ，o 3 和0 1 g 。 對于f = 2 的五態(tài)銣原子，文獻【5 0 】中的實驗同樣觀察到自旋分量隨時間的振 蕩，如圖2 5 所示。偏置磁場較強時( a ，b ) ，振蕩相對較弱，凝聚體很快到達 1 9 墓翟篡基百五蘿翟懸翻 雷一耋黑3一 中山大學博士學位論文 平衡態(tài)，聊f = 0 和聊f = 1 各約占總原子數(shù)的一半，歷f = 2 的占有比例幾乎為零， 說明強磁場制約了原子通過散射向高自旋分量的躍遷。偏置磁場調(diào)弱后( c ，d ) ， 振蕩顯著加強，同時聊。= 2 的占有比例也有所提升。 文獻【5 1 】測量了自旋振蕩的周期和振幅與偏置磁場強度的關(guān)系，如圖2 6 所 示。理論預言( 實線) 當磁場約為2 8 “t 時，振蕩周期將趨于無窮。實驗數(shù)據(jù)表 明在該位置振蕩周期和振幅確實存在峰值，從而驗