華中科技大學(xué)-夏珉【激光原理與技術(shù)】03光學(xué)諧振腔

第三章 光學(xué)諧振腔 第三章 光學(xué)諧振腔 光學(xué)諧振腔是激光器的重要組成部分，它的主要功能有兩個(gè)： 提供光學(xué)正反饋； 對(duì)產(chǎn)生的激光模式進(jìn)行控制； 研究光學(xué)諧振腔的主要理論包括： 幾何光學(xué)理論； 波動(dòng)光學(xué)理論； 菲涅爾 -基爾霍夫衍射積分； 3.1光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性 3.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性條件 當(dāng)光線在周期性透鏡波導(dǎo)中傳播而不溢出波導(dǎo)之外，稱為穩(wěn)定的透鏡波導(dǎo)； 一個(gè)薄透鏡可以等效為一個(gè)球面反射鏡，因此周期性透鏡波導(dǎo)可以等效于一個(gè)共軸球面光學(xué)諧振腔，當(dāng)光束在光腔中傳播而不溢出，則光腔為穩(wěn)定腔。 透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件為： 代入等效光學(xué)諧振腔的光線矩陣元素得到： 引入 g參數(shù)后可以將上式寫為： 此式為共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 反射鏡的凹面向著腔內(nèi)時(shí)， R取 正值，凸面向著腔內(nèi)時(shí)， R取負(fù)值。 1 ( ) / 2 1AD 120 1 / 1 / 1L R L R 121212011 , 1ggLLggRR 3.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 最早的諧振腔：平行平面腔，在光學(xué)中兩塊平行平面鏡構(gòu)成了法布里 -珀羅干涉儀，因此這種腔也被稱為 F-P腔； Maiman的第一臺(tái)激光器采用的就是此腔； 此后被大量采用的是共軸球面腔，這些腔有共同的特點(diǎn)： 側(cè)面無光學(xué)邊界； 軸向尺寸遠(yuǎn)大于產(chǎn)生振蕩的波長(zhǎng)，一般也遠(yuǎn)大于橫向尺寸 (反射鏡尺寸 )； 具有這樣特點(diǎn)的腔被稱為開放式光學(xué)諧振腔。 除此以外，還有由兩塊以上的反射鏡構(gòu)成的折疊腔與環(huán)形腔，以及由開腔內(nèi)插入光學(xué)元件的復(fù)合腔； 對(duì)于常用的共軸反射鏡腔，當(dāng)滿足前面得到的穩(wěn)定性條件 時(shí)，稱為穩(wěn)定腔； 當(dāng) 時(shí)，稱為非穩(wěn)腔； 當(dāng) 時(shí)，稱為臨界腔； 1201gg1 2 1 201g g g g或1 2 1 201g g g g或3.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 常見開腔的構(gòu)成及分類： 1、平行平面腔： 平行平面腔屬于臨界腔。 2、雙凹腔： 由共軸雙凹面鏡構(gòu)成的光腔， R10,R20 當(dāng) R1d,R2d時(shí)，有 則 此腔為穩(wěn)定腔； 當(dāng) R1d且 R2d，此腔也為穩(wěn)定腔； 當(dāng) R1=R2=d時(shí)，構(gòu)成對(duì)稱共焦腔，根據(jù)穩(wěn)定性條 件可以得到 g1=g2=1，該腔為臨界腔； 當(dāng)滿足條件 R1+R2=d時(shí)，構(gòu)成實(shí)共心腔，根據(jù)穩(wěn) 定性條件可以得到 g1g2=1，因此也是臨界腔； 其他參數(shù)的雙凹腔都是非穩(wěn)腔； 1 2,RR 12121 1 , 1 1ddggRR 121gg120 / 1 ； 0 / 1d R d R 120 1 2 1 / 1 / 1g g d R d R LR1R2RRR1R2共 焦 腔共 心 腔3.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 平面、凹面反射鏡腔 由一個(gè)平面反射鏡和一個(gè)凹面反射鏡構(gòu)成的光腔， ， R20； 當(dāng) R2d時(shí)，求得 0g1g21，構(gòu)成穩(wěn)定腔； 當(dāng) R2=d時(shí)，構(gòu)成半共焦腔， g1g2=0，構(gòu)成臨界腔； 當(dāng) R2d時(shí)， g1g20，構(gòu)成非穩(wěn)腔； 凹凸腔 由一個(gè)凹面反射鏡，一個(gè)凸面反射鏡構(gòu)成的光腔， R10； 如果要求滿足穩(wěn)定性條件，可以求出： 1R 2 1 1 2R R L R R L 或R2R2R13.1.1光學(xué)諧振腔的構(gòu)成與分類 平凸腔 由一個(gè)平面反射鏡和一個(gè)凸面反射鏡構(gòu)成的光腔， ，R21，故所有的平凸腔都是非穩(wěn)腔。 雙凸腔 由兩個(gè)凸面反射鏡構(gòu)成的光腔，R10,R21，故所有的雙凸腔都是非穩(wěn)腔。 1R R2R1R23.1.2光學(xué)諧振腔的作用 提供光學(xué)正反饋?zhàn)饔?光學(xué)正反饋是使振蕩光束在腔內(nèi)行進(jìn)一次時(shí) ,除了由腔內(nèi)損耗和通過反射鏡輸出激光束等因素引起的光束能量減少外 ,還能保證有足夠能量的光束在腔內(nèi)多次往返經(jīng)過受激活介質(zhì)的受激輻射放大而維持繼續(xù)振蕩。 決定光學(xué)反饋的因素 組成腔的兩個(gè)反射鏡面的反射率 ； 反射鏡的幾何形狀以及它們之間的組合方式； 對(duì)振蕩光束參數(shù)進(jìn)行控制 有效地控制腔內(nèi)實(shí)際振蕩的模式數(shù)目； 可以直接控制激光束的橫向分布特性、光斑大小、振蕩頻率及光束發(fā)散角等； 可改變腔內(nèi)損耗，在增益一定的情況下能控制激光束輸出的能力。 3.1.2光學(xué)諧振腔的作用 對(duì)光學(xué)諧振腔的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 光學(xué)諧振腔應(yīng)具有較小的損耗，可以形成正反饋，達(dá)到預(yù)期輸出； 應(yīng)具有良好的激光模式鑒別能力； 光學(xué)諧振腔的選擇原則 根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需要選擇不同的光學(xué)諧振腔。 “穩(wěn)定”與“非穩(wěn)定”指的是什么？ 3.1.3光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性判別性 常常用穩(wěn)區(qū)圖來表示共軸球面腔的穩(wěn)定條件 ，以光腔的兩個(gè)反射面的 g參數(shù)為坐標(biāo)軸繪制出的圖為穩(wěn)區(qū)圖： 圖中空白部分是諧振腔的穩(wěn)定工作區(qū)，其中包括坐標(biāo)原點(diǎn)。 圖中陰影區(qū)為不穩(wěn)定區(qū)； 在穩(wěn)定區(qū)和非穩(wěn)區(qū)的邊界上是臨界區(qū)。對(duì)工作在臨界區(qū)的腔，只有某些特定的光線才能在腔內(nèi)往返而不逸出腔外。 g2g13.1.3光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性判別性 穩(wěn)定性簡(jiǎn)單判別法 若一個(gè)反射面的曲率中心與其頂點(diǎn)的連線與第二個(gè)反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，則為穩(wěn)定腔； 若和兩者同時(shí)相交或者同時(shí)不相交，則為非穩(wěn)腔； 若有兩個(gè)中心重合，則為臨界腔； R 1 R 2OR1R2O1O23.1.3光學(xué)諧振腔穩(wěn)定性判別性 穩(wěn)定性判斷 圓法 分別以兩個(gè)反射鏡的曲率半徑為直徑，圓心在軸線上，作反射鏡的內(nèi)切圓，該圓稱為 圓； 若兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則為穩(wěn)定腔； 若沒有交點(diǎn)，則為非穩(wěn)腔； 若只有一個(gè)交點(diǎn)或者完全重合，則為臨界腔； 3.2光學(xué)諧振腔的模式 3.2.1平平腔的駐波 均勻平面波近似 一般的開放式光學(xué)諧振腔都滿足條件： 在滿足該條件時(shí)，可以將均勻平面波認(rèn)為是腔內(nèi)存在的穩(wěn)定電磁場(chǎng)的本征態(tài)，為平行平面腔內(nèi)的電磁場(chǎng)提供一個(gè)粗略但是形象的描述； 嚴(yán)格的理論證明，只要滿足條件 ，則腔內(nèi)損耗最低的模式仍可以近似為平面波，而 是光腔的菲涅爾數(shù)，它描述了光腔衍射損耗的大小。 ,aL 2 /1aL 2 /aL3.2.1自由空間中的駐波 沿 z方向傳播的平面波可以表示為： 沿 -z方向傳播的平面波為： 發(fā)生重疊時(shí)的電磁場(chǎng)分布為： 該疊加的場(chǎng)分布的振幅在沿 z方向上有一個(gè)余弦分布。 在 z點(diǎn)處的振幅為 當(dāng) 時(shí)，振幅有最大值 ，稱此位置為波腹； 當(dāng) 時(shí)，振幅有最大值 ，稱此位置為波節(jié)； 駐波頻率為平面波頻率，而且可以為任意值。 01 ( , ) c o s 2 ( / )e z t E t z 20( , ) c o s 2 ( / )e z t E t z 1 2 02 c o s 2 / c o s 2e e e E z t 0( ) 2 c o s 2 /e x E z, 0 , 1 , 2 ,2z q q m a x 02eE( 2 1 ) , 0 , 1 , 2 ,4z q q m in 0e 3.2.1平平腔的駐波 平行平面腔中的駐波 當(dāng)光波在腔鏡上反射時(shí)，入射波與反射波發(fā)生干涉，而多次往復(fù)反射形成的多光束干涉，穩(wěn)定的振蕩要求干涉加強(qiáng)，發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件為：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一次再回到原位時(shí)，相位 應(yīng)與初始出發(fā)時(shí)相差 2的整數(shù)倍。 以 表示往返一周后的相位差： 其中的 q為任意正整數(shù)，將滿足上式的波長(zhǎng)以 來標(biāo)記，則有： 上式意味著一定長(zhǎng)度的諧振腔只能對(duì)一定頻率的光波形成正反饋， 為腔的諧振頻率，同時(shí)表明腔內(nèi)的諧振頻率是分立的。 242 2L L q 0q00 22qqcL L q qL 或0q3.2.1平平腔的駐波 當(dāng)發(fā)生諧振時(shí)，腔內(nèi)的光學(xué)長(zhǎng)度為光波半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，這是腔內(nèi)駐波的特征。 當(dāng)腔內(nèi)為均勻的折射率為 的物質(zhì)時(shí)有： 其中 L為腔的幾何長(zhǎng)度，則 ， 其中的 是物質(zhì)中的諧振波長(zhǎng)。 當(dāng)腔內(nèi)物質(zhì)為分段均勻，則有： 當(dāng)物質(zhì)沿軸線分布不均勻時(shí)有： 2qLLcqL /2qLq0 /qq iiiLL 0 ( )LL d L z d z工 作 物 質(zhì)L1L2L33.2.2光學(xué)諧振腔中的縱模 將腔內(nèi)穩(wěn)定存在的、由整數(shù) q表征的光波縱向分布稱為腔的 縱模 (Longitudinal mode)。在簡(jiǎn)化模型中， q單值的決定模的諧振頻率。 腔的兩相鄰縱模的頻率之差稱為縱模間隔： 對(duì)于腔內(nèi)是均勻介質(zhì)的諧振腔 則有： 1 2q q qcL LL2qcL3.2.2光學(xué)諧振腔中的縱模 例： 對(duì)于 L=10cm的氣體激光器， =1，則有 ； 對(duì)于 L=100cm的氣體激光器， ； 對(duì)于 L=10cm， =1.76的固體激光器， ； 當(dāng)其他參數(shù)固定時(shí)，光腔的腔長(zhǎng)增加，頻率間隔減??； 對(duì)于微波腔，其尺寸可以與波長(zhǎng)相比擬，則在腔中只會(huì)激發(fā)低階本征模式，而在光學(xué)諧振腔中， ，它工作在極高的諧波上，既 q是一個(gè)很大的整數(shù)。 例如 L=100cm， =632.8nm的 He-Ne激光器： 91 . 5 1 0q Hz 61 5 0 1 0q Hz 68 5 0 1 0q Hz L 62 / 3 . 1 6 1 0qL 3.2.3腔內(nèi)的多縱模振蕩 某個(gè)縱模 q能夠在腔內(nèi)存在必須滿足以下條件： 滿足腔內(nèi)諧振頻率條件： q必須落在激活介質(zhì)發(fā)光的原子譜線內(nèi)，此時(shí)激活介質(zhì)才能對(duì)該縱模提供增益； 滿足振蕩閾值條件 ； 在光學(xué)諧振腔中能夠存在的 縱模數(shù)最多只能有： 2qcqL0GL1TqN 3.2.3腔內(nèi)的多縱模振蕩 頻率漂移 對(duì)某個(gè)腔內(nèi)縱模 q： 由此可知，當(dāng)腔長(zhǎng) L或者折射率 發(fā)生 變化時(shí)，縱模的諧振頻率也會(huì)發(fā)生變化。 這種振蕩頻率隨外界環(huán)境變化而發(fā)生緩 慢變化的現(xiàn)象稱為 頻率漂移。 假設(shè)腔內(nèi)縱模頻率會(huì)隨溫度發(fā)生變化， 如圖所示，當(dāng)溫度為 T0時(shí)，只有 q能 夠振蕩；當(dāng)溫度為 T2時(shí)， q漂出 T 的范圍，而 q+1漂進(jìn) T ，則腔內(nèi)模 式發(fā)生了變化，成為跳?，F(xiàn)象 頻率漂移現(xiàn)象都是有害的嗎？ 2qcqL TG0Tt0q 1q 2q t1t3.4開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法 我們關(guān)心的問題：在由無側(cè)面的共軸反射鏡構(gòu)成的開放光學(xué)諧振腔區(qū)域中，是否存在不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定的電磁場(chǎng)分布？ 如何求出這個(gè)分布的具體形式？ 在考察光學(xué)諧振腔中電磁場(chǎng)的分布時(shí)，我們首先關(guān)心的是鏡面上的分布，因?yàn)殓R面一般作為激光輸出窗口，而輸出激光的場(chǎng)分布就直接與鏡面上的場(chǎng)分布有關(guān)。 3.4.1開腔模式的物理概念 開腔中有多種損耗： 由于反射鏡尺寸有限，在反射鏡邊界處引起的衍射損耗，該損耗會(huì)影響開腔中振蕩的激光模式的橫向分布； 反射鏡不完全反射、介質(zhì)吸收等因素引起的損耗不影響模式的橫向分布； 開腔的理想模型：兩塊反射鏡片處于均勻的各向同性介質(zhì)中； 3.4.1開腔模式的物理概念 假設(shè)初始時(shí)在鏡面 1上有分布為 u1的電磁場(chǎng)從鏡面 1向鏡面2傳輸，經(jīng)過一次渡越，在鏡面 2上有分布為 u2的場(chǎng)，在經(jīng)過反射后再次渡越回到鏡面 1時(shí)場(chǎng)的分布為 u3，如此反復(fù)。 受到各種損耗的影響，不僅每次渡越會(huì)造成能量的衰減，而且振幅橫向分布也會(huì)由于衍射損耗的存在而發(fā)生改變； 由于衍射損耗僅發(fā)生在鏡面的邊緣，因此只有中心振幅大，邊緣振幅小的場(chǎng)才會(huì)盡可能少的受到衍射損耗的影響。經(jīng)過多次渡越后，這樣的模式除了振幅整體下降，其橫向分布將不發(fā)生變化，即在腔內(nèi)往返傳輸一次后可以“再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的振幅分布。 3.4.1開腔模式的物理概念 將開腔中這種經(jīng)一次往返可再現(xiàn)的穩(wěn)定電磁場(chǎng)分布稱為開腔的 自再現(xiàn)模 ； 自再現(xiàn)模經(jīng)一次往返所發(fā)生的能量損耗定義為模的往返損耗，它等于衍射損耗； 自再現(xiàn)模經(jīng)一次往返所產(chǎn)生的相位差定義為往返相移，往返相移應(yīng)為 2的整數(shù)倍，這是由腔內(nèi)模的諧振條件決定的。 3.4.1開腔模式的物理概念 孔闌傳輸線 開腔物理模型中衍射的作用 腔內(nèi)會(huì)隨機(jī)的產(chǎn)生各種不同的模，而衍射效應(yīng)將其中可以實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)的模式選擇出來； 由于衍射的影響，鏡面上每一點(diǎn)的電磁場(chǎng)都可以視作前一個(gè)鏡面上每一點(diǎn)作為次級(jí)子波源發(fā)出光波場(chǎng)的疊加，因此每點(diǎn)的相位之間的關(guān)聯(lián)就越來越緊密，即相干性越來越好； 3.4.2開腔衍射理論分析 菲涅爾 -基爾霍夫衍射積分 惠更斯 -菲涅爾原理：波前上每一點(diǎn)都可以看成是新的波源，發(fā)出次級(jí)子波，空間中的任意一點(diǎn)的光場(chǎng)就是這些子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果； 該原理是研究光學(xué)衍射現(xiàn)象的基礎(chǔ)，因此也必然是開腔模式的物理基礎(chǔ)； 該原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是基爾霍夫衍射積分方程； 3.4.2開腔衍射理論分析 設(shè)已知空間某一曲面 S上光波長(zhǎng)的振幅和相位分布函數(shù)為 u(x,y)，則空間任一點(diǎn) P處的光場(chǎng)分布，可以看作曲面 S上每點(diǎn)作為次級(jí)子波源發(fā)出的非均勻球面波在 P點(diǎn)的疊加，由菲涅爾 -基爾霍夫衍射積分公式來描述： 為什么用菲涅爾 -基爾霍夫衍射積分公式？ 其中 k=2/為波矢的模，也稱為波數(shù)； dS是 S面上的面積元； 為源點(diǎn)與 P點(diǎn)之間連線的長(zhǎng)度； 為源點(diǎn)處 S面法線與 P點(diǎn)連線之間的夾角； 表示球面波， (1+cos)為傾斜因 子，表示非均勻球面波； ( , ) ( , ) ( 1 c o s ) 4ikSi k eu x y u x y d s S( , )xyd S ( , )u x yn P/ike 3.4.2開腔衍射理論分析 將該公式應(yīng)用于研究諧振腔問題，它描述了鏡面 S1上光場(chǎng)u1(x,y)經(jīng)過衍射后在鏡面 S2上面形成光場(chǎng)分布 u2； 要做出如下假設(shè)： 1、 在小角度近似下有： 并且在此 情況下可以將光場(chǎng)的兩種偏 振狀態(tài)作為獨(dú)立變量分別求解； 2、 ，被積函數(shù)中的指 數(shù)因子 不能簡(jiǎn)單將 用 L代 替，只能根據(jù)不同諧振腔情況 來簡(jiǎn)化； 3、腔內(nèi)振幅衰減是緩慢的； La( 1 c o s ) / 2 / La ike 1 ( , )u x y S1S2L2 ( , )u x y3.4.2開腔衍射理論分析 經(jīng)過 q次傳播后： 將第一個(gè)假設(shè)帶入其中有： 由開腔理論中描述的自再現(xiàn)模的定義可知，在開腔內(nèi)穩(wěn)定傳輸?shù)墓獠Ｊ綉?yīng)滿足關(guān)系： 在穩(wěn)定情況下， uq從鏡面 S1傳播到 S2時(shí)，除 了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的、與坐標(biāo) 無關(guān)的復(fù)常數(shù)因子 外， 其分布 能夠被 uq+1再現(xiàn)。 11 ( , ) ( , ) (1 c o s ) 4ikqq Si k eu x y u x y d s 11 ( , ) ( , ) ( 1 c o s ) ikqqSiu x y u x y e d sL 12111qqqquuuu 3.4.2開腔衍射理論分析 腔內(nèi)存在的穩(wěn)定光波場(chǎng)，它們由一個(gè)腔面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)腔面的過程中，雖然會(huì)受到衍射效應(yīng)的影響，但是這些光波長(zhǎng)在兩個(gè)腔面處的相對(duì)振幅分布和相位分布保持不變。 11( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ikqqSikqqSiu x y u x y e d sLiu x y u x y e d sL 3.4.2開腔衍射理論分析 以 E(x,y)表示開腔中的穩(wěn)定光場(chǎng)分布函數(shù) u，則上式可以簡(jiǎn)化為： 該式是開腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程，滿足以上方程的函數(shù) E成為本征函數(shù)， 為本征值，而 K為積分方程的核； 對(duì)于對(duì)稱腔： ( , , , )( , ) ( , , , ) ( , ) ( , , , )Si k x y x yE x y K x y x y E x y d siK x y x y eL ( , , , , ) ( , , , )K x y x y K x y x y3.4.2開腔衍射理論分析 滿足上式的本征函數(shù) E就是腔的自再現(xiàn)模，也稱為腔的橫模， E一般是復(fù)函數(shù)，其模 |E(x,y)|描述的是鏡面上的振幅分布，其幅角 argE(x,y)表示鏡面上的相位分布； 為復(fù)常數(shù)，不妨設(shè)為： 其中的 a、 為與坐標(biāo)無關(guān)的實(shí)常數(shù)，則自再現(xiàn)模可以表示為： 由此可見， e-a表示腔內(nèi)渡越一次后自再現(xiàn)模的振幅衰減，a越大損耗越大， a=0表示無損耗傳輸； 表示渡越一次后自再現(xiàn)模的相位滯后， 越大相位滯后越多。 ie 11() iq q qu u e u e 3.4.2開腔衍射理論分析 從鏡面 S1出射的光功率為： 被鏡面 S2反射后的自再現(xiàn)模的功率為： 自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次時(shí)受到的功率損失，稱為模的單程損耗： | |越大，模的單程損耗越大，這個(gè)損耗中包含了幾何光學(xué)的光束橫向偏折損耗和鏡面邊緣的衍射損耗。 22 2122111qqquueu 2qWu2211 qW u W3.4.2開腔衍射理論分析 自再現(xiàn)模在腔內(nèi)經(jīng)過一次渡越的總相移 定義為： 由 ，可得 ； 從開腔的諧振條件可知要形成穩(wěn)定的自再現(xiàn)模，必然要求其在腔內(nèi)往返傳輸一次的總相移為 2 的整數(shù)倍： 即 ， q為正整數(shù)，此公式對(duì)稱開腔的諧振條件。 1a r g a r gqquu 1 /qquu a r g 1 / 22 q a r g 1 / q 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 平行平面腔 優(yōu)點(diǎn)：光束方向性好、模體積較大、容易獲得單橫模振蕩； 缺點(diǎn)：調(diào)整精度要求較高、損耗比穩(wěn)定腔大； 分析平行平面腔的方法 分析平平腔的主要內(nèi)容就是分析其振蕩模式，也就是求解平平腔條件下的菲涅爾 -基爾霍夫衍射積分公式； 公式的解存在，但是很難求解，因此多使用數(shù)值方法來求近似解； 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 Fox-Li數(shù)值迭代法 Gardner Fox 和厲鼎毅在 1961年發(fā)表文章Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用計(jì)算機(jī)迭代方法求解衍射積分方程來研究平平腔內(nèi)模式的方法； 優(yōu)點(diǎn) 理論上可以研究任何類型的光學(xué)諧振腔； 通過迭代法近似計(jì)算證明了自再現(xiàn)模的存在性； 計(jì)算過程與開腔模式的物理機(jī)制類似，方便理解； 缺點(diǎn) 收斂性不好，計(jì)算量大； 對(duì)高階模式的計(jì)算誤差較大； 1 qqSu K u d s 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 平行平面鏡腔 如圖所示的矩形鏡平平腔，滿足條件： 兩腔鏡上兩點(diǎn)之間距離為： 將其作級(jí)數(shù)展開： LaLb 2 2 2( ) ( )x x y y L 2222( , , , ) 11 1 122x x y yx y x y LLLx x y yLLL 4 2 241 1 1 8 8 4x x y y x x y yLL L L L L 當(dāng) 時(shí) ， 相 對(duì)于 可 以 忽 略 不 計(jì)44288L x x L aLL 2k 43akL 2aN L 22LN a或者 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 當(dāng)滿足條件 時(shí)，積分核可以寫成： 則衍射積分公式改寫為： 對(duì)方形或矩形反射鏡能夠?qū)鈭?chǎng)表達(dá)式進(jìn)行分離變量： 22；/L a N L a 22 22 11e x p e x p2 2 2 2i k Lik x x y y x x y ye i k L e i kL L L L 22( , ) ( , ) e x p abi k Labx x y yiE x y e E x y i k d x d yL L L ( , ) ( ) ( )E x y E x E y 22( ) ( , ) ( ) (1 )( ) ( , ) ( ) ( 2 )( , ) e x p2( , ) e x p2axxaayyai k Lxi k LxxyE x K x x E x d xE y K y y E y d yxxiK x x e i kLLyyiK y y e i kLL 式 (1)表示一個(gè)平平腔，其反射鏡在 x方向上的寬度為 2a，y方向上無限延伸的條狀腔的自再現(xiàn)模；式 (2)表示的是另一個(gè)方向的條狀腔的自再現(xiàn)模。 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 滿足上述方程的函數(shù) E(x)和 E(y)可以有很多個(gè)，用 Em(x)和 En(Y)分別表示其中的第 m和第 n個(gè)解，對(duì)應(yīng)的復(fù)常數(shù)為 m、 n，則上述方程可以表示為： (1)式在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，只有在 m和 n為一系列分立的值，對(duì)應(yīng) m、 n取不同的正整數(shù)時(shí)，方程才成立，因此 m和 n又被稱為方程的本征值； 對(duì)不同的 m和 n，能夠使方程成立的解 Em(x)和 En(y)被稱為相應(yīng)的本征函數(shù)； 本征函數(shù)決定了鏡面上的場(chǎng)分布； 本征值決定了光波模的傳播特性，例如模的衰減、相移、諧振頻率等； ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) am m x mabn y nnbE x K x x E x d xE y K y y E y d y 此時(shí)的自再現(xiàn)模為： 復(fù)常數(shù)為： ( , ) ( ) ( )m n m nE x y E x E ym n m n 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 由此可得到數(shù)值計(jì)算中的迭代公式為： 要進(jìn)行迭代需要設(shè)置初始值 u1，從前面我們對(duì)開腔物理模型的分析知道，理論上任何形式的初始模式在經(jīng)過足夠多次的傳播后都會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的自再現(xiàn)模，因此不妨設(shè)u1(x)=1， 由于 argu1(x)=0，它代表了一個(gè)等相位面就是反射鏡平面，且在等相位面上振幅均勻分布的平面波。 221223( ) e x p ( ) 2( ) e x p ( ) 2ai k Laai k Laxxiu x e i k u x d xLLxxiu x e i k u x d xLL 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 將 u1帶入迭代公式可以求出第二個(gè)鏡面上的光波 u2。由于我們只對(duì)相位和振幅的相對(duì)分布感興趣，因此對(duì) u2進(jìn)行歸一化。 將歸一化后的 u2作為輸入?yún)?shù)帶入迭代公式可以求出 u3，依次循環(huán)計(jì)算下去，直到得到的歸一化的 uq+1和 uq之間只相差一個(gè)與坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)因子為止； 此時(shí)求出的 uq是迭代方程的穩(wěn)定解，也就是本征函數(shù)； 此時(shí)求出的與坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)因子 是本征值； 1 /qquu 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 Fox-Li對(duì) 條件下的平平腔進(jìn)行了迭代計(jì)算，得到了穩(wěn)定存在的自再現(xiàn)模并分析了其特征。 1、鏡面上的振幅分布 右圖是 300次迭代后得到的穩(wěn)定自再 現(xiàn)模的相對(duì)振幅分布，具有以下的特點(diǎn)： 鏡面中心處振幅最大； 從中心到邊緣振幅逐漸下降； 振幅分布具有藕對(duì)稱性； 具有這種特征的模是腔的最低階偶對(duì)稱模，或者稱為基模。在條狀腔中用 TEM0，在矩形鏡和圓形鏡腔中用 TEM00來表示基模。 菲涅耳數(shù) N描述了光腔衍射損耗的大小， N越大，衍射損耗越小，鏡邊緣處的相對(duì)振幅越??； 2 5 , 1 0 0aL3.4.3平行平面腔模的迭代解法 在平平腔中除了基模外，還有其他類型的模。在平平腔迭代中如果選取初值條件為： 可以通過迭代得到另一種形式的穩(wěn)定解，如右圖所示，圖中的相對(duì)振幅在鏡中心處為零，在鏡邊緣處也為最小值，然而在鏡中心和邊緣中間存在兩個(gè)極值，在鏡面上出現(xiàn)了場(chǎng)振幅為零的節(jié)線位置，整體的分布具有奇對(duì)稱特性，這樣的模稱為條狀腔的最低階奇對(duì)稱模，以TEM1表示。 腔中還存在著其他的高階模式； 01 , 01 0 ,xauxa 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 2、鏡面上的相位分布 右上圖是基模在鏡面上的相位分布，從其分布可知 TEM0模不是嚴(yán)格意義的平面波，但當(dāng)菲涅耳數(shù)較大時(shí)，仍然可以近似為平面波，特別是在鏡面中心及附近區(qū)域；只有在鏡邊緣波前才發(fā)生微小的彎曲； 右下圖是 TEM1模的相位分布，在節(jié)線附近相位會(huì)發(fā)生突變，在被波節(jié)隔開的各個(gè)區(qū)域中都可以被近似為平面波。 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 3、單程相移與諧振頻率 A、單程總相移 計(jì)算方法：在迭代過程中，對(duì)鏡面上的任一點(diǎn)，計(jì)算光波在腔內(nèi)渡越一次后，在另一個(gè)鏡面上坐標(biāo)相同的點(diǎn)的振幅和相位的相對(duì)變化，即可得到相移； 表達(dá)式： 其中 kL為幾何相移， 為附加相移，與 N有關(guān)，不同的橫模有不同的附加相移； 2m n m nk L L mn3.4.3平行平面腔模的迭代解法 右圖為不同橫模的單程相移隨 N變化的曲線，從曲線中可以得出結(jié)論： N相同時(shí)，基模的附加相移最小，高階模的附加相移較大； N較大時(shí)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中附加相移隨 N的變化曲線基本為直線； 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 B、諧振頻率 由自再現(xiàn)模穩(wěn)定存在的條件可知： 以 mnq表示 TEMmn模的諧振頻率，則： 與前面得到的平面波理論中的諧振頻率公式相比較，多了一項(xiàng)，它是由 TEMmn模的附加相移引起的。 2 2 2k L m n q 22m n q m n qm n qkc 2mnm n qc qL2qc qL 2m n q m ncL 3.4.3平行平面腔模的迭代解法 4、單程功率損耗 對(duì)于橫模，無論是什么類型的諧振腔，其單程功率損耗的大小都是菲涅耳數(shù)的函數(shù)，右圖是不同腔型的不同模式的單程功率損耗隨 N變化的曲線。 基模是平行平面腔的一切橫模中損耗最小的； 對(duì)確定的橫模，單程損耗由 N單值決定， N越大，損耗越??； 低階模，特別是基模，其損耗