揭陽一中等2015屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)考試題（文數(shù)）

2015 屆高三摸底考聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試題 本試卷共 4 頁， 21 題，滿分 150 分。考試時(shí)間 120 分鐘。 注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、座號(hào)寫在答題卷密封線內(nèi)。 2非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答。 3答案一律寫在答題區(qū)域內(nèi)，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5 分，滿分 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 設(shè)全集 UR ，集合 | 2 , | 0 5 ,A x x B x x 則集合 ()UC A B= A | 0 2xx B | 0 2xx C | 0 2xx D | 0 2xx 2 設(shè) 復(fù)數(shù) z 滿足 2z i i ， i 為虛數(shù)單位， 則 z A 2 i B 12i C 12i D 12i 3 函數(shù) 1( ) l g (1 )1f x xx 的定義域是 A ( , 1) B.(1, ) C.( 1,1) (1, ) D. ( , ) 4 如圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是 A 36 B 108 C 72 D 180 5. 在 ABC 中，若 6 0 , 4 5 , 3 2A B B C ，則 AC A.43 B.23 C. D. 6 閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出 的結(jié)果是 A 123 B.38 C 11 D 3 7. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 3 4 5 0xy 與圓 224xy 相交于 ,AB兩點(diǎn)，則弦 AB 的長等于 ( ) A.33 B.23 C. D. 8 已知 實(shí) 數(shù) 4, ,9m 構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列 ，則圓錐曲線 2 2 1x ym 的離心率為 開始 1a 10?a 輸出 a 結(jié)束 2 2aa 是 否 第 4 題 圖 第 6 題 圖 630.A 7.B 7630. 或C 765. 或D 9. 在下列條件下，可判斷平面 與平面 平行的是 A. 、 都垂直于平面 B. 內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到 的距離相等 C. l,m 是 內(nèi)兩條直線且 l ,m D. l,m 是異面直線 ,且 l ,m ,l ,m 10.對任意兩個(gè)非零的平面向量 ,，定義 若平面向量 ,ab滿足0ab， a 與 b 的夾角 0,4 ，且 ab和 ba都在集合 |2n nZ中，則ba A 12 B 1 C 32 D 52 二、填空題 ：本大題共 5 小題，每小題 5分，滿分 20 分 其中 14、 15 題為選做題。 （必做題） 11 在等差數(shù)列 an中， a1 7,7 4a ，則數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn的最小值為 _ 12 曲線 C： f(x) sin x ex 2 在 x 0 處的切線方程為 _ 13 設(shè) x， y 滿足約束條件 x 2y 4，x y 1，x 2 0，則目標(biāo)函數(shù) z 3x y 的最大值為 _ （ 選 做題） 請?jiān)?14、 15 題中選一題作答。 14 若直線 y x b 與曲線 x 2 cos ，y sin ， 0,2)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 _ 15 如圖所示，平行四邊形 ABCD 中， AE EB 1 2，若 AEF 的面積等于 1 cm2，則 CDF 的面積等于 _cm2. 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80分 .解答須寫出文字 說明、證明過程和演算步驟 . 16 （本小題滿分 12 分） 已知向量 a )sin,(cos xx , b )cos,cos( xx , c )0,1( （ 1） 若6x，求向量 a 、 c 的夾角 （ 2） 當(dāng) 89,2 x時(shí)，求函數(shù) 12)( baxf 的最大值 17 （本小題滿分 12 分） 在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為 1、 2、 3、 4 的四個(gè)球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出 1 個(gè)球，每個(gè)小球被取出的可能性相等 （ 1）求取出的兩個(gè) 球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率； （ 2）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被 3 整除的概率 18 （本小題滿分 14 分） 如圖，在 三棱柱1 1 1ABC A B C中， 側(cè)棱1CC底面 ABC ， 90ACB ， 2AB ，1BC ， 1 3AA （ 1）證明：1AC 平面11ABC； （ 2） 若 D 是棱1CC的中點(diǎn) ， 在棱 AB 上是否存在一點(diǎn) E ，使 /DE 平面11ABC？證明你的結(jié)論 19（本小題滿分 14 分） A B C A1 B1 C1 D 設(shè)等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和nS，且424SS，2 21nnaa. （ 1）求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式 ； （ 2）若數(shù)列滿足*3121 2 311 ( )2nnnbbbb nNa a a a ，求數(shù)列 nb 的前 n 項(xiàng)和 nT . 20（本小題滿分 14 分） 拋物線 2 2 ( 0 )y px p與直線 1yx相切，1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( )A x y B x y x x是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F 為拋物線的焦點(diǎn)， AB 的垂直平分線 l 與 x 軸交于點(diǎn) C ，且 | | | | 8A F B F. （ 1）求 p 的值 ； （ 2）求點(diǎn) C 的坐標(biāo) ； （ 3）求直線 l 的斜率 k 的取值范圍 . 21（本小題滿分 14 分） 函數(shù) 2( ) l nf x x a x a x （ 1） 1a 時(shí)，求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間 ； （ 2） 1a 時(shí)，求函數(shù) ()fx在 1, a 上的最大值 . 數(shù)學(xué)答案 一、選擇題 1 5 BDCBB 6 10 CBCDA 二、填空題 11. 1052 12.y 2x 3 13. 5 14. (2 2， 2 2) 15. 9 三、解答 題 16 解 : （ 1） a )sin,(cos xx , c )0,1( 22c o s s i n 1a x x ， 22( 1 ) 0 1c 2 分 當(dāng)6x時(shí)， a 31( c o s , s i n ) ( , )6 6 2 2 3 1 3( 1 ) 02 2 2ac 4 分 3c o s ,2acacac 5 分 ca ,0 65, ca 6 分 （ 2） 1)c o ss inc o s(212)( 2 xxxbaxf 7 分 )1co s2(co ss in2 2 xxx s in 2 c o s 2xx 9 分 2 s i n ( 2 )4x 10 分 89,2 x 2,4342 x，故 22,1)42s in ( x 11 分 當(dāng)4342 x,即2x時(shí) , 1)(max xf 12 分 17 解法一： 利用樹狀圖可以列出從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出 1 個(gè)球的所有可能結(jié)果： 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4 可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為 16 種 4 分 （ 1） 所取兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的結(jié)果有 1 2， 2 1， 2 3， 3 2， 3 4， 4 3，共 6 種 6 分 故所求概率 6316 8P 答：取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率為 38 8 分 （ 2）所取兩個(gè)球上的數(shù)字和能被 3 整除的結(jié)果有 1 2， 2 1， 2 4， 3 3， 4 2，共5 種 10 分 故所求 概率為 516P 答： 取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)之和能被 3 整除的概率為 516 12 分 解 法二 ： 設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取 1 個(gè)球，其數(shù)字分別為 yx, ，用 ),( yx 表示抽取結(jié)果，則所有可能有 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 2,1 ， 2,2 ， 2,3 ， 2,4 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3,4 ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ，共 16 種 4 分 （ 1） 所取兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的結(jié)果有 1,2 ， 2,1 ， 2,3 ， 3,2 ， 3,4 ， 4,3 ，共 6 種 6 分 故所求概率 6316 8P 答：取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整 數(shù)的概率為 38 8 分 （ 2）所取兩個(gè)球上的數(shù)字和能被 3 整除的結(jié)果有 1,2 ， 2,1 ， 2,4 ， 3,3 ， 4,2 ，共 5 種 10 分 故所求 概率為 516P 答： 取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)之和能被 3 整除的概率為 516 12 分 18 證明： （ 1） 90ACB， BC AC 側(cè)棱1CC底面 ABC ，1CC BC 1AC CC C， BC 平面11ACCA 1AC 平面 11ACCA ， 1BC AC ， 11/BC BC，則1 1 1BC AC 4 分 在 RtABC 中， 2AB ， 1BC ， 3AC 1 3AA，四邊形11ACCA為正方形 11AC AC 6 分 1 1 1 1B C AC C，1AC 平面11ABC 7 分 （ 2） 當(dāng)點(diǎn) E 為 棱 AB 的中點(diǎn)時(shí) ， /DE 平面11ABC 9 分 證明如下： 如圖，取1BB的中點(diǎn) F ，連 EF 、 FD 、 DE ， D 、 E 、 F 分別為1CC、 AB 、1BB的中點(diǎn)， 1/EF AB 1AB平面11ABC， EF 平面11ABC， /EF 平面11ABC 11 分 同理可證 /FD 平面11ABC 12 分 EF FD F ， 平面 EFD /平面11ABC 13 分 DE 平面 EFD ， /DE 平面11ABC 14 分 19 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 na的公差為 d ， 由 422421nnSSaa 得 1114 4 3 4 ( 2 )2( 2 1 ) 2 2 ( 1 ) 1a d a da n d a n d 2 分 11210adad 解得 1 12ad 4 分 故通項(xiàng) 21nan 5 分 E F A B C A1 B1 C1 D （ 2）由已知*3121 2 311 ( )2nnnbbbb nNa a a a 1n 時(shí)，1112ba 6 分 2n 時(shí)，*3112 11 2 3 111 ( )2nnnbbbb nNa a a a 得：11 1 11 ( 1 )2 2 2nn n nnba 對于 1n 也成立 故*1 ()2n nnb nNa 8 分 所以 *1( 2 1 ) ( )2n nb n n N 9 分 231 3 5 2 12 2 2 2nnnT 2 3 4 11 1 3 5 2 12 2 2 2 2nnnT 10 分 得：2 3 4 11 1 1 1 1 1 2 12 ( )2 2 2 2 2 2 2nnnnT 11 分 11111 2 142212212nnn 12 分 113 4 2 12 2 2nnn 13 2 322nn 所以 2332n nnT 14 分 20 解 （ 1）由 2 2 ( 0 )1y p x pyx 得： 2 2 2 0 ( 0 )y p y p p 有兩個(gè)相等實(shí)根 1 分 即 24 8 4 ( 2 ) 0p p p p 得： 2p 為所求 3 分 （ 2）拋物線 2 4yx 的準(zhǔn)線 1x 且 | | | | 8A F B F，由定義得1228xx ，則126xx 5 分 設(shè) ( ,0)Cm ，由 C 在 AB 的垂直平分線上，從而 | | | |AC BC 6 分 則 2 2 2 21 1 2 2( ) ( )x m y x m y 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )x m x m y y 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( ) 4 ( )x x m x x x x 8 分 因?yàn)?2xx，所以1224x x m 又因?yàn)?26xx，所以 5m ，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (5,0) 10 分 （ 3）設(shè) AB 的中點(diǎn)00( , )M x y，有120 32xxx 11 分 設(shè)直線 l 方程 ( 5)y k x過點(diǎn)0(3, )My，得0 2yk 12 分 又因?yàn)辄c(diǎn)0(3, )My在拋物線 2 4yx 的內(nèi)部，則 20 12y 13 分 得： 24 12k ，則 2 3k 又因?yàn)?2xx，則 0k 故 k 的取值范圍為 ( 3 , 0 ) ( 0 , 3 ) 14 分 21 解：（ 1） 1a 時(shí)， 2( ) lnf x x x x 的定義域?yàn)?(0, ) 21 1 1( ) 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )f x x x x x xx x x 2 分 因?yàn)?0x ，由 ( ) 0fx ，則 102x； ( ) 0fx ，則 12x 3 分 故 ()fx的減區(qū)間為 1(0, )2，增區(qū)間為 1( , )2 4 分 （ 2） 1a 時(shí)， 2( ) l nf x x a x a x 的定義域?yàn)?(0, ) 21( ) 2 ( 2 )af x x a x a x axx 5 分 設(shè) 2( ) 2g x x a x a ，則 ()() gxfxx 1a ，其根判別式 2 80aa ， 設(shè)方程 ( ) 0gx 的兩個(gè)不等實(shí)根12,xx且12xx， 6 分 則 12,44aaxx 1a ，顯然 1 0x ，且12 02axx ，從而2 0x 7 分 2( 0 , ) , ( ) 0 ,x x g x則 ( ) 0fx ， ()fx單調(diào)遞減 8 分 2( , ) , ( ) 0 ,x x g x 則 ( ) 0fx ， ()fx單調(diào)遞增 9 分 故 ()fx在 1, a 上的最大值為 (1), ( )f f a