六校2015屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題(理試)

2015 屆高三六校第一次聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 第一部分 選擇題 （共 40 分） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. “ 1x ”是“ 2x ”的 （ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 2. 已知 2 ( , )ai b i a b Ri ，其中 i 為虛數(shù)單位，則 ab （ ） A. 1 B 1 C 2 D 3 3. 若 )1,0(x ，則下 列結(jié)論正確的是 （ ） A xxx 2lg 21 B 21lg2 xxx C xx x lg221 D xxx lg2 21 4.下列四個(gè)命題中，正確的是 （ ） A已知 服從正態(tài)分布 2,0N ，且 4.022 P ，則 2.02 P B已知命題 1tan,: xRxp ；命題 01,: 2 xxRxq 則命題“ qp ”是假命題 C設(shè)回歸直線方程為 xy 5.22 ，當(dāng)變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y 平均增加 2 個(gè)單位 D已知直線 013:1 yaxl , 01:2 byxl ，則 21 ll 的充要條件是 ba=-3 5. 已知單位向量 ,ij滿足 (2 )j i i，則 ,ij夾角為（ ） A4 B6 C3 D 23 6. 若動(dòng)圓的圓心在拋物線 2 12xy 上，且與直線 30y 相切，則此圓恒過(guò)定點(diǎn) （ ） A.(0,2) B.(0, 3) C.(0,3) D.(0,6) 7. 設(shè) x ， y 滿足約束條件0,002063yxyxyx ，若目標(biāo)函數(shù)z ax by（ 0a ， 0b ）的最大值為 12，則 ab 的取值范圍是 （ ） A. 3(0, 2 B. 3(0, )2 C. 3 , )2 D. (0, ) 8. 記集合 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 T , M= 4,3,2,1,|10101010 4433221 iTaaaaa i,將 M 中的元素按從大到小排列，則第 2013 個(gè)數(shù)是 （ ） A. 2347 9 8 71 0 1 0 1 0 1 0 B. 2345 6 7 81 0 1 0 1 0 1 0 C. 2346 9 7 31 0 1 0 1 0 1 0 D. 432 101109109107 第二部分 非選擇題 （共 110 分） 二、填空題 : 本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分 （一）必做題（ 9 13 題） 9 在 7ax 展開(kāi)式中 4x 的系數(shù)為 35 ,則實(shí)數(shù) a 的值為 . 10計(jì)算定積分 1 20 x x dx . 11.已知雙曲線 C 的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)恰好是橢圓 22125 16xy的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線 C的漸近線方程是 _. 12 在 ABC 中，內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別為 a 、 b 、 c ，已知 5a ，325b，4A，則 Bcos . 13將石子擺成如圖 1 的梯形形狀 .稱數(shù)列 5, 9,14, 20, 為“梯形數(shù)” .根據(jù)圖形的構(gòu)成 ,數(shù) 列第 6 項(xiàng)6a ；第 n 項(xiàng)na . （二）選做題（ 14 15 題，考生只能從中選做一題） 14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題 ) 在極坐標(biāo)系中，直線6（ R ）截圓 2 c o s ( )6所得弦長(zhǎng)是 . 15 （幾何證明選講選做題） 如圖（圖 2） AB 是 圓 O 的直徑，過(guò) A 、B 的兩條弦 AD 和 BE 相交于 點(diǎn) C ，若圓 O 的半徑是 3 ，那么A C A D B C B E 的值等于 _. 圖 2 三、 解答題：本大題共 6小題，滿分 80分 .解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 . 16. （本小題滿分 12 分） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意。最 終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果。規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一分乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得 4 分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議 .記所需拋幣次數(shù)為 . 求 =6 的概率； 求 的分布列和期望 . 17（本小題滿 分 12 分 ） 已知函數(shù) s i n 2 s i n 2 c o s 266f x x x x a （ ,a Ra 為常數(shù)） （ 1）求函數(shù) fx的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若函數(shù) fx的圖像向左平移 0mm 個(gè)單位后，得到函數(shù) gx的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù) m 的最小值 . 18 (本小題滿分 14 分 ) 設(shè)函數(shù) ( ) 2 l n .af x a x xx （）若 ()fx在 2x 時(shí)有極值，求實(shí)數(shù) a 的值和 ()fx的單調(diào)區(qū)間 ； （）若 ()fx在定義域上是增函數(shù) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 圖 1 EDCBA側(cè)視圖俯視圖正視圖144 4A FMNyxl19（本小題滿分 14 分） 已知幾何體 A BCED 的三視圖如圖所示， 其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為 4 的等腰直角 三角形，正視圖為直角梯形 （ 1）求此幾何體的體積 V 的大小 ； （ 2）求 異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值； （ 3）試探究在 DE 上是否存在點(diǎn) Q，使得 AQ BQ 并說(shuō)明理由 . 20（本小題滿分 14分 ） 如圖，橢圓 22:13 6 2 0xyC 的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為 ,AF， 直線 l 的方程為 9x ， N 為 l 上一點(diǎn)，且在 x 軸的上方， AN 與橢圓交于 M 點(diǎn) . （ 1）若 M 是 AN 的中點(diǎn)，求證： MFMA . （ 2）過(guò) ,AF N 三點(diǎn)的圓與 y 軸交于 ,PQ兩點(diǎn)，求 |PQ 的范圍 . 21.（本小題滿分 14 分） 設(shè) 21 0 8 1 2 0 7M a a ， 2Pa ， Q= 26 2a ；若將 lgM ， lgQ， lgP 適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為 1 的等差數(shù)列 na的前三項(xiàng) . （ 1）試比較 M、 P、 Q 的大?。?（ 2）求 a 的值及 na的通項(xiàng)； （ 3）記 函數(shù) 212( ) 2 ( * )n n nf x a x a x a n N 的圖象在 x 軸上截得的線段長(zhǎng)為nb， 設(shè)1 2 2 3 11 ()4n n nT b b b b b b ( 2)n，求nT，并證明 12342 nnT T T T n . . 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、 選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B C C A A 二、填空題： 本大題共 7 小題， 考生作答 6 小題， 每小題 5 分 ，滿分 30 分 其中 14 15題是選做題，考生只能選做一題 9. 1 ； 10. 13； 11. 4 3 0xy； 12 232； 13.35 , 142nn； 14.2 ； 15. 36 . 三、 解答題：本大題共 6小題，滿分 80分 .解答須寫(xiě) 出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 . 16. （本小題滿分 12 分） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意。最 終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果。規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上則甲得一 分乙得零分，反面朝上則乙得一分甲得零分，先得 4 分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議 . 記所需拋幣次數(shù)為 . 求 =6 的概率； 求 的分布列和期望 . 16.解 :(1) 32351 1 1 5622 2 2 1 6PC 4 分 (2)分布列為 : 4 5 6 7 P 18 14 516 516 10 分 1 1 5 5 9 34 5 6 78 4 1 6 1 6 1 6E 12 分 17（本小題滿分 12 分 ） 已知函數(shù) s i n 2 s i n 2 c o s 266f x x x x a （ ,a Ra 為常數(shù)） （ 1）求函數(shù) fx的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若函數(shù) fx的圖像向左平移 0mm 個(gè)單位后，得到函數(shù) gx的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù) m 的最小值 . 17. 解：（ 1）( ) s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) c o s 266f x x x x a 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 ) .6x x a x a 4 分 fx的最小正周期為 22 5 分 當(dāng) 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z，即 ()63k x k k Z時(shí)，函數(shù) ()fx 單調(diào)遞增，故所求單調(diào)增區(qū)間為 , ( ) .63k k k Z 8分 （ 2）函數(shù) ()fx的圖像向左平移 ( 0)mm 個(gè)單位后得 ( ) 2 s i n 2 ( ) 6g x x m a ， 9 分 要使 ()gx的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，只需 2 ( )62m k K Z 11 分 即 ()23km k Z ，所以 m 的最小值為3 12 分 18 (本小題滿分 14 分 ) 設(shè)函數(shù) ( ) 2 l n .af x a x xx （ ）若 ()fx在 2x 時(shí)有極值，求實(shí)數(shù) a 的值和 ()fx的單調(diào)區(qū)間 ； （ ）若 ()fx在 定義域上是增函數(shù) ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 18. 解： （ ） ()fx在 2x 時(shí)有極值， 有 2 0f ， 2 分 又 22 af x a xx ， 有 104aa ， 45a 4 分 有 24 4 2 55fx xx 222 2 5 25 xxx ， 由 0fx 有121 , 22xx， 6 分 又 0x , ,x f x f x 關(guān)系有下表 x 10 2x 12x 1 22 x 2x 2x fx 0 0 fx 遞增 遞減 遞增 ABCDEFEDCBA側(cè)視圖俯視圖正視圖144 4 ()fx的遞增區(qū)間為 10,2 和 2, ， 遞減區(qū)間為 1,22 9 分 （ ）若 ()fx在定義域上是增函數(shù) ,則 0fx 在 0x 時(shí)恒成立， 10 分 22222 a a x x af x a x x x ， 需 0x 時(shí) 2 20ax x a 恒成立， 化為22 1xa x 恒成立，222111xx xx， 1a . 14 分 19（本小題滿分 14 分） 已知幾何體 A BCED 的三視圖如圖所示， 其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為 4 的等腰直角 三角形，正視圖為直角梯形 （ 1） 求此幾何體的體積 V 的大小 ； （ 2） 求異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值； （ 3）試探究在 DE 上是否存在點(diǎn) Q，使得 AQ BQ 并說(shuō)明理由 . 19. 解 ：（ 1） 由該幾何體的三視圖知 AC 面 BCED ,且 EC=BC=AC=4 ， BD=1， 1 ( 4 1 ) 4 1 02B C E DS 梯 形 1 1 4 01 0 43 3 3B C E DV S A C 梯 形 即該 幾何體的體積 V 為 403 -3 分 （ 2） 解法 1:過(guò)點(diǎn) B 作 BF/ED 交 EC 于 F，連結(jié) AF， 則 FBA 或其補(bǔ)角即為異面直線 DE 與 AB 所成的角 -5 分 在 BAF 中， AB= 42， BF=AF= 16 9 5 2 2 2 22c o s25B F A B A FABF B F A B 即 異面直線 DE 與 AB 所成的角的余弦值為 225 7 分 zyxABCDEOQABCDE解法 2：以 C 為原點(diǎn)，以 CA， CB， CE 所在直線為 x,y,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 A（ 4， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 4， 1）， E（ 0， 0， 4） ( 0 , 4 , 3 ) , ( 4 , 4 , 0 )D E A B ， 22c o s ,5D E A B 異面直線 DE 與 AB 所成的角的余弦值為 225 （ 3） 解法 1:在 DE 上存在點(diǎn) Q，使得 AQ BQ. 8 分 取 BC 中點(diǎn) O，過(guò)點(diǎn) O 作 OQ DE 于點(diǎn) Q， 則點(diǎn) Q 滿足題設(shè) . 連結(jié) EO、 OD，在 Rt ECO 和 Rt OBD 中 2EC O BC O O D Rt ECO Rt OBD C E O D O B 90E O C C E O 90E O C D O B 90EOD 11 分 22 25O E C E C O , 22 5O D O B B D 2 5 5 25O E O DOQ ED 以 O 為圓心、以 BC 為直徑的圓與 DE 相切切點(diǎn)為 Q BQ CQ AC 面 BCED , BQ 面 CEDB BQ AC BQ 面 ACQ -13 分 AQ 面 ACQ BQ AQ 14 分 解法 2: 以 C 為原點(diǎn)，以 CA， CB， CE 所在直線為 x,y,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在 ,其坐標(biāo)為（ 0， m， n），則 ( 4 , , ) , ( 0 , 4 , )A Q m n B Q m n ( 0 , , 4 )E Q m n， ( 0 , 4 , 1 )Q D m n AQ BQ 2( 4 ) 0m m n - 點(diǎn) Q 在 ED 上，存在 R ( 0) 使得 EQ QD ( 0 , , 4 ) ( 0 , 4 , 1 )m n m n 44,11mn - A FMNyxl代入得2224 1 6( ) 8 1 6 01 (1 ) ，解得 4 滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在，其坐標(biāo)為 16 8(0, , )55 20（本小題滿分 14分 ） 如圖，橢圓 22:13 6 2 0xyC 的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為 ,AF， 直線 l 的方程為 9x ， N 為 l 上一點(diǎn)，且在 x 軸的上方， AN 與橢圓交于 M 點(diǎn) . （ 1）若 M 是 AN 的中點(diǎn)，求證： MFMA . （ 2）過(guò) ,AF N 三點(diǎn)的圓與 y 軸交于 ,PQ兩點(diǎn)，求 |PQ 的范圍 . 20（ 1） 證 :由題意得 )0,4(),0,6( FA ， 9Nx 32Mx 又 M 點(diǎn)在橢圓上，且在 x 軸上方，得235My 3 分 1 5 5 3 5 5 3( , ) , ( , )2 2 2 27 5 7 5044M A M FM A M FM A M F 6 分 （ 2）解 :（方法 一）設(shè) ),9( tN ，其中 0t 圓過(guò) NFA , 三點(diǎn)， 圓心在線段 AF 的中垂線上 設(shè)圓心為 ),1( b ，半徑為 r ，有 2222 )()91()41( tbbr )75(212 752 ttttb ， 24212 22 brPQ 10分 0t ， 3575 ttb，當(dāng)且僅當(dāng) ,75tt即 35t 時(shí)取“ =” 116992 PQ . PQ 的取值范圍是 ),116 14 分 （方法二）解：設(shè) ),9( tN ，其中 0t ， 圓過(guò) NFA , 三點(diǎn)， 設(shè)該圓的方程為 022 FEyDxyx ，有 0981041606362 FtEDtFDFD 解得 24,75,2 FttED 圓心為 ),75(21,1( tt 半徑 r 2)75(4125tt 22 )75(4124212ttrPQ ， 10分 0t 31075275 tttt ，當(dāng)且僅當(dāng) ,75tt 即 35t 時(shí)取“ =” 116992 PQ ， PQ 的取值范圍是 ),116 . 14分 21.（本小題滿分 14 分） 設(shè) 21 0 8 1 2 0 7M a a ， 2Pa ， Q= 26 2a ；若將 lgM ， lgQ， lgP 適當(dāng)排序后可構(gòu)成公差為 1 的等差數(shù)列 na的前三項(xiàng) . （ 1）試比較 M、 P、 Q 的大小 ； （ 2）求 a 的值及 na的通項(xiàng)； （ 3）記函數(shù) 212( ) 2 ( * )n n nf x a x a x a n N 的圖象在 x 軸上截得的線段長(zhǎng)為nb，設(shè)1 2 2 3 11 ()4n n nT b b b b b b ( 2)n，求nT，并證明 12342 nnT T T T n . 21. 解 ： （ 1）由21 0 8 1 2 0 7 0202 6 2 0M a aPaQa 1 分 得 2 13a 2 分 2 11 0 8 3 1 8 1 0 ( 0 )M Q a a 3 分 2 21 0 8 0 2 0 5 0 ( 0 )M P a a 4 分 MQ， MP 又 當(dāng) 2 13a 時(shí)， 2 4 3P Q a ， 當(dāng) 28a