第十章 第五節(jié) 古典概型.ppt

第五節(jié)古典概型 1 古典概型具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型 1 有限性 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果 2 等可能性 每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性 只有有限個(gè) 相同 2 古典概型的概率公式如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 基本事件 數(shù)為n 隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m 那么事件A的概率規(guī)定為P A 3 互斥事件定義 在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中 把一次試驗(yàn)下 的兩個(gè)事件A與B稱作互斥事件 P A B 概率公式 P A1 A2 An 不能同時(shí)發(fā)生 P A P B P A1 P A2 P An 4 對(duì)立事件的概率在每一次試驗(yàn)中 相互對(duì)立的事件A和事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生 并且一定有一個(gè)發(fā)生 對(duì)立事件也稱為逆事件 其計(jì)算公式 P 1 P A 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 我們所說(shuō)的試驗(yàn)都是古典概型 2 在適宜條件下 種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽 屬于古典概型 其基本事件是 發(fā)芽與不發(fā)芽 3 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 兩個(gè)正面 一正一反 兩個(gè)反面 這三個(gè)結(jié)果是等可能事件 4 兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生 5 兩個(gè)事件對(duì)立時(shí)一定互斥 但兩個(gè)事件互斥時(shí)不一定對(duì)立 解析 1 錯(cuò)誤 在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè) 并且每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的可能性是均等的 這樣的試驗(yàn)才是古典概型 2 錯(cuò)誤 它不符合古典概型的定義中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相等 3 錯(cuò)誤 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 正 正 正 反 反 正 反 反 這四個(gè)事件是等可能事件 4 錯(cuò)誤 兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生 不一定是同時(shí)發(fā)生 5 正確 由互斥事件與對(duì)立事件的概念可知該說(shuō)法正確 答案 1 2 3 4 5 1 從甲 乙 丙三人中任選兩人參加志愿者服務(wù) 甲 乙均被選中的概率是 B C D 解析 選B 任選兩人為志愿者的結(jié)果有 甲 乙 甲 丙 乙 丙 共3種 所以甲 乙均被選中的概率是故選B 2 連續(xù)拋擲兩枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是m n 則向量a m n 與向量b 1 1 共線的概率是 A B C D 解析 選C 由向量a m n 與向量b 1 1 共線 可得m n 連續(xù)拋擲兩枚骰子得到的點(diǎn)數(shù) m n 的可能結(jié)果共有36種 m n的有6種 分別是 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 所以所求概率 3 設(shè)a是拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù) 則方程x2 ax 2 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為 A B C D 解析 選A 由方程x2 ax 2 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 得 a2 8 0 故a 3 4 5 6 根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式有 4 在第3 6 16路公共汽車的一個(gè)?？空?假定這個(gè)車站只能?？恳惠v公共汽車 有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里 他可乘3路或6路公共汽車到廠里 已知3路公共汽車 6路公共汽車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0 20和0 60 則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需要的車的概率為 A 0 12 B 0 20 C 0 60 D 0 80 解析 選D 能上車 記為事件A 則3路或6路公共汽車有一輛路過(guò)即事件發(fā)生 故P A 0 20 0 60 0 80 5 三張卡片上分別寫(xiě)有字母A A B 將三張卡片隨機(jī)地排成一行 恰好排成B A A的概率是 解析 三張卡片共有6種排法 排成B A A有兩種 故答案 6 已知集合A 2 5 在A中可重復(fù)地依次取出三個(gè)數(shù)a b c 則 以a b c為邊恰好構(gòu)成三角形 的概率是 解析 在A中可重復(fù)地依次取出三個(gè)數(shù)a b c 的基本事件總數(shù)為23 8 事件 以a b c為邊不能構(gòu)成三角形 分別為 2 2 5 2 5 2 5 2 2 所以答案 考向1簡(jiǎn)單古典概型的概率 典例1 1 十一 國(guó)慶假期 甲 乙兩人一起去游玩 他們約定 各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽 每個(gè)景點(diǎn)參觀一小時(shí) 則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 A B C D 2 2012 江蘇高考 有10個(gè)數(shù) 它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng) 3為公比的等比數(shù)列 若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù) 則它小于8的概率是 思路點(diǎn)撥 1 由于每個(gè)景點(diǎn)被參觀的可能性相等 且構(gòu)成的基本事件個(gè)數(shù)有限 因此該問(wèn)題能歸結(jié)到古典概型解決 2 從等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等可能事件的概率兩方面處理 規(guī)范解答 1 選D 若用 1 2 3 4 5 6 代表6處景點(diǎn) 顯然甲 乙兩人最后一小時(shí)游覽的景點(diǎn)可能為 1 1 1 2 1 3 6 6 共36種 其中滿足題意的 最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn) 包括 1 1 2 2 3 3 6 6 共6個(gè)基本事件 所以所求的概率為 2 這10個(gè)數(shù)是1 3 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 所以它小于8的概率等于答案 互動(dòng)探究 在本例題 2 中 將 抽取一個(gè)數(shù) 則它小于8 改為 抽取兩個(gè)數(shù) 則它們都小于8 則結(jié)果如何 解析 基本事件共有 45個(gè) 都小于8的事件有 15個(gè) 所以 它們都小于8的概率為 拓展提升 1 求古典概型的概率的基本步驟 1 算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n 2 求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m 3 代入公式P A 求出P A 2 基本事件個(gè)數(shù)的確定方法 變式備選 在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條 則其2條棱互相垂直的概率為 A B C D 解析 選C 總的取法有15種 由正四面體的性質(zhì)可知 對(duì)棱垂直 故互相垂直的有3種 所求概率為 選C 考向2互斥事件 對(duì)立事件的概率 典例2 1 在一次投擲骰子的試驗(yàn)中 記事件A1 出現(xiàn)4點(diǎn) A2 出現(xiàn)大于3點(diǎn) A3 出現(xiàn)小于6點(diǎn) A4 出現(xiàn)6點(diǎn) 下列等式中正確的是 A P A1 A2 P A1 P A2 B P A1 A3 P A1 P A3 C P A2 A3 P A2 P A3 D P A1 A4 P A1 P A4 2 從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè) 質(zhì)量小于4 8g的概率是0 3 質(zhì)量不小于4 85g的概率是0 32 那么質(zhì)量在 4 8 4 85 g范圍內(nèi)的概率是 A 0 62 B 0 38 C 0 7 D 0 68 3 已知在6個(gè)電子元件中有2個(gè)次品 4個(gè)正品 每次任取1個(gè)進(jìn)行測(cè)試 測(cè)試后不再放回 直到2個(gè)次品都找到為止 求經(jīng)過(guò)4次測(cè)試恰好將2個(gè)次品都找到的概率 思路點(diǎn)撥 1 由于選項(xiàng)中的公式只有兩個(gè)互斥事件的和事件的概率才滿足 所以只需判斷A1與A2 A1與A3 A1與A4以及A2與A3是否互斥即可 2 利用概率的性質(zhì)及互斥事件概率的公式即可解決 3 4次測(cè)試恰好將2個(gè)次品都找到可分為 前3次測(cè)試僅有一次取到次品 第4次測(cè)試恰好取到次品 與 前4次測(cè)試都取到正品 兩種情況 規(guī)范解答 1 選D 由題設(shè) 只有事件A1與A4是互斥事件 因此P A1 A4 P A1 P A4 即選D 2 選B 設(shè)一個(gè)羽毛球的質(zhì)量為 g 則P 4 8 P 4 8 4 85 P 4 85 1 所以P 4 8 4 85 1 0 3 0 32 0 38 3 設(shè)A表示事件 前3次測(cè)試僅有一次取到次品 第4次測(cè)試恰好取到次品 B表示事件 前4次測(cè)試都取到正品 則因?yàn)锳 B互斥 所以P A B P A P B 故經(jīng)過(guò)4次測(cè)試恰好將2個(gè)次品都找到的概率是 拓展提升 求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法 1 直接求法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和 運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算 2 間接求法 先求此事件的對(duì)立事件的概率 再用公式P A 1 P 求得 即運(yùn)用逆向思維 正難則反 特別是 至多 至少 型題目 用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便 提醒 應(yīng)用互斥事件概率的加法公式 一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥 然后求出各事件發(fā)生的概率 再求和 變式訓(xùn)練 一個(gè)口袋里共有除顏色外其他均相同的7個(gè)白球和4個(gè)紅球 現(xiàn)在一次取出三個(gè)球 則這三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是多少 解析 方法一 記 三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球 為事件A 三個(gè)球中恰有一個(gè)紅球 為事件A1 三個(gè)球中有兩個(gè)紅球 為事件A2 三個(gè)球全是紅球 為事件A3 則A A1 A2 A3 且A1 A2 A3這三個(gè)事件兩兩互斥 故得P A P A1 P A2 P A3 方法二 記 三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球 為事件A 則 三個(gè)球全是白球 為事件A的對(duì)立事件 故得 考向3構(gòu)建不同的概率模型解決問(wèn)題 典例3 1 2013 淮北模擬 一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀 大小完全相同的球 球的編號(hào)分別為1 2 3 4 先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球 該球的編號(hào)為m 將球放回袋中 然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球 該球編號(hào)為n 則n m 2的概率為 2 2013 大連模擬 同時(shí)投擲兩粒骰子 求向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率 思路點(diǎn)撥 1 將兩次取出的球的編號(hào)看作有序?qū)崝?shù)對(duì) 列舉出基本事件及滿足n m 2的事件 轉(zhuǎn)化為古典概型及對(duì)立事件的概率求解 2 適當(dāng)選取觀察角度以減少?gòu)?fù)雜的計(jì)數(shù) 角度一 通過(guò)坐標(biāo)法列出所有基本事件 角度二 把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 角度三 把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為 點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù) 規(guī)范解答 1 依題設(shè) 一切可能結(jié)果 m n 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16個(gè) 又滿足條件n m 2的事件為 1 3 1 4 2 4 共3個(gè) 所以滿足條件n m 2的事件的概率為故滿足條件n m 2的事件的概率為P 1 P1 答案 2 方法一 從下圖可以看出基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 有36種 記 向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 為事件A 從圖中可以看出 事件A包含的基本事件共有18個(gè) 因此 方法二 由于兩粒骰子中出現(xiàn)奇 偶數(shù)的機(jī)會(huì)相同 且每粒骰子中的奇 偶數(shù)的個(gè)數(shù)也相同 若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 基本事件總數(shù)為4 且每個(gè)事件出現(xiàn)是等可能的 事件A 點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 包含的基本事件個(gè)數(shù)為2 故 方法三 由于兩粒骰子中出現(xiàn)奇 偶數(shù)的機(jī)會(huì)相同 且每粒骰子中的奇 偶數(shù)的個(gè)數(shù)也相同 若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為 點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù) 則基本事件總數(shù)為2 且每個(gè)事件出現(xiàn)是等可能的 事件A 點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù) 包含的基本事件個(gè)數(shù)為1 故 拓展提升 建立概率模型的原則 要求及作用 1 原則 建立概率模型的一般原則是 結(jié)果越少越好 這就要求選擇恰當(dāng)?shù)挠^察角度 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的古典概型問(wèn)題 2 要求 每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn) 3 作用 一方面 對(duì)于同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題 有時(shí)可以通過(guò)建立不同的 模型 來(lái)解決 即 一題多解 在這 多解 的方法中 再尋求較為 簡(jiǎn)捷 的解法 另一方面 又可以用一種 模型 去解決很多 不同 的問(wèn)題 即 多題一解 變式訓(xùn)練 已知 p 3 q 3 當(dāng)p q Z時(shí) 求方程x2 2px q2 1 0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率 解析 由方程x2 2px q2 1 0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根 可得 2p 2 4 q2 1 0 即p2 q2 1 當(dāng)p q Z時(shí) 設(shè)點(diǎn)M p q 如圖 直線x 3 2 1 0 1 2 3和直線y 3 2 1 0 1 2 3的交點(diǎn) 即為點(diǎn)M 共有49個(gè) 其中在圓p2 q2 1上和圓p2 q2 1內(nèi)的共有5個(gè) 圖中黑點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)M p q 落在圓p2 q2 1外時(shí) 方程x2 2px q2 1 0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根 所以方程x2 2px q2 1 0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率 易錯(cuò)誤區(qū) 基本事件判斷不準(zhǔn)致誤 典例 2012 廣東高考 從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè) 其個(gè)位數(shù)為0的概率是 A B C D 誤區(qū)警示 本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面 1 基本事件弄錯(cuò) 由于0與1 2 3 9這十個(gè)數(shù)字被取到不是等可能的 因此誤認(rèn)為本題不是古典概型 2 尋找基本事件時(shí) 誤認(rèn)為0與1 2 3 9的地位是一樣的 致使基本事件個(gè)數(shù)不正確 規(guī)范解答 選D 首先確定符合條件的兩位數(shù)的所有個(gè)數(shù) 再找到個(gè)位數(shù)是0的個(gè)數(shù) 利用公式求解 設(shè)個(gè)位數(shù)與十位數(shù)分別為y x 則如果兩位數(shù)之和是奇數(shù) 則x y分別為一奇數(shù) 一偶數(shù) 第一類 x為奇數(shù) y為偶數(shù) 共有 種 情況 第二類 x為偶數(shù) y為奇數(shù) 共有 種 情況 兩類共計(jì)45種情況 其中個(gè)位數(shù)是0 十位數(shù)是奇數(shù)的兩位數(shù)有10 30 50 70 90這5個(gè)數(shù) 所以其中個(gè)位數(shù)是0的概率為 思考點(diǎn)評(píng) 1 基本事件的特點(diǎn) 1 任何兩個(gè)基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 本題中基本事件是個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù) 2 古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)判斷一個(gè)概率問(wèn)題是否是古典概型問(wèn)題 其主要依據(jù)有以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 1 有限性 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè) 2 等可能性 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等 1 2013 鷹潭模擬 分別寫(xiě)有數(shù)字1 2 3 4的4張卡片 從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張 則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 A B C D 解析 選D 從寫(xiě)有數(shù)字1 2 3 4的4張卡片中隨機(jī)抽取2張 有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6種 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的取法有 1 2 1 4 2 3 3 4 共4種 故取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 2 2013 合肥模擬 設(shè)函數(shù)若a是從0 1 2三數(shù)中任取一個(gè) b是從1 2 3 4四數(shù)中任取一個(gè) 那么f x b恒成立的概率為 A B C D 解析 選A 當(dāng)a 0時(shí) 因?yàn)閒 x b恒成立 所以恒成立 若b 1 則a 1 2 若b 2 則a 1 2 若b 3 則a 1 2 若b 4 則a 2 共7種情況 a 0時(shí) b 1適合 故概率為 3 2012 上海高考 三位同學(xué)參加跳高 跳遠(yuǎn) 鉛球項(xiàng)目的比賽 若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目 則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 解析 本題中三位同學(xué)參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽 每人都選擇兩個(gè)項(xiàng)目 則所有結(jié)果為種 有且只有兩人選擇的項(xiàng)目相同時(shí)分三步 定哪兩個(gè)人相同有種 定哪兩個(gè)項(xiàng)目相同有種 定第三個(gè)人 此人必須選前兩人未選的項(xiàng) 有種 結(jié)果為種 所以概率為答案 4 2013 新余模擬 甲 乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng) 在同一時(shí)刻 甲 乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0 8和0 75 則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為 解析 由對(duì)立事件的性質(zhì)知在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為1 1 0 8 1 0 75 0 95 答案 0 95 5 2012 重慶高考 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文 數(shù)學(xué) 外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各一節(jié) 則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔一節(jié)藝術(shù)課的概率為 用數(shù)字作答 解析 6節(jié)課共有種排法 相鄰兩節(jié)文化課之間最多隔1節(jié)藝術(shù)課 排法分三類 1 兩節(jié)相鄰文化課之間沒(méi)有藝術(shù)課間隔 可將三節(jié)課捆綁為一個(gè)元素 然后再與另三節(jié)藝術(shù)課進(jìn)行全排 排法有種 2 三節(jié)文化課間都有1節(jié)藝術(shù)課間隔