（全國通用）高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列試題.doc

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列1(2015課標(biāo)全國)已知an是公差為1的等差數(shù)列，sn為an的前n項(xiàng)和，若s84s4，則a10等于()a. b. c10 d122(2015安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_3(2014廣東)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.4(2013江西)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nn*)等于_1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問題、解決問題的綜合能力.熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算(1)通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1qn1.(2)求和公式等差數(shù)列：snna1d；等比數(shù)列：sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.若a111，a4a66，則當(dāng)sn取最小值時(shí)，n_.(2)已知等比數(shù)列an公比為q，其前n項(xiàng)和為sn，若s3，s9，s6成等差數(shù)列，則q3等于()a b1c或1 d1或思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量跟蹤演練1(1)(2015浙江)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則a1_，d_.(2)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a21，a3a42，則log2_.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nn*)為一常數(shù)；利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明(nn*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2)例2(2014大綱全國)數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an，證明：bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式思維升華(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法(2)q和aan1an1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零跟蹤演練2(1)(2015大慶鐵人中學(xué)月考)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且滿足an1，則an_.(2)已知數(shù)列an中，a11，an12an3，則an_.熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為tn，若存在mn*，使對(duì)任意nn*，總有sn0，a3a100，a6a70的最大自然數(shù)n的值為()a6 b7c12 d132已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b12等于()a1 b2c4 d83已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項(xiàng)am，an使得 4a1，則的最小值為()a. b.c. d.4已知等比數(shù)列an中，a4a610，則a1a72a3a7a3a9_.提醒：完成作業(yè)專題四第1講二輪專題強(qiáng)化練專題四第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列a組專題通關(guān)1已知等差數(shù)列an中，a510，則a2a4a5a9的值等于()a52 b40c26 d202已知等差數(shù)列an中，a7a916，s11，則a12的值是()a15 b30c31 d643(2015浙江)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()aa1d0，ds40 ba1d0，ds40ca1d0，ds40 da1d0，ds404設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)snnsn1(nn*)若1，則()asn的最大值是s8 bsn的最小值是s8csn的最大值是s7 dsn的最小值是s75數(shù)列an的首項(xiàng)為3，bn為等差數(shù)列且bnan1an(nn*)，若b32，b1012，則a8等于()a0 b3 c8 d116若數(shù)列n(n4)()n中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.7(2015課標(biāo)全國)設(shè)sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1snsn1，則sn_.8已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1(a1a2an) (nn*)，記sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則sn_，an_.9成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn，求證：數(shù)列sn是等比數(shù)列10(2015廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，nn*.已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時(shí)，4sn25sn8sn1sn1.(1)求a4的值；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式b組能力提高11已知an是等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，若s21s4 000，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p(1，an)，q(2 011，a2 011)，則等于()a2 011 b2 011 c0 d112(2015福建)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()a6 b7 c8 d913數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知a1，且對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有amnaman，若snt恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為_14已知sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，s4，s2，s3成等差數(shù)列，且a2a3a418.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)n，使得sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由學(xué)生用書答案精析專題四數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列高考真題體驗(yàn)1b公差為1，s88a118a128，s44a16.s84s4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故選b.22n1解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38，q2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn2n1.350解析因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.46解析每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列an，其中a12，q2.則sn2(2n1)100，即2n1102.n6，最少天數(shù)n6.熱點(diǎn)分類突破例1(1)6(2)a解析(1)設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以sn11n2n212n(n6)236，所以當(dāng)sn取最小值時(shí)，n6.(2)若q1，則3a16a129a1，得a10，矛盾，故q1.所以2，解得q3或1(舍)，故選a.跟蹤演練1(1)1(2)1 005解析(1)a2，a3，a7成等比數(shù)列，aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d，2a1a21，2a1a1d1即3a1d1，a1，d1.(2)在等比數(shù)列中，(a1a2)q2a3a4，即q22，所以a2 011a2 012a2 013a2 014(a1a2a3a4)q2 010321 005，所以log21 005.例2(1)證明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.anan12n3，an1an22n5，a2a11，累加得an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項(xiàng)公式為ann22n2.跟蹤演練2(1)(2)2n13解析(1)由已知得4，4，又1，故是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，14(n1)4n3，故an.(2)由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an342n1，an2n13.例3解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而sn.(2)由題意知b14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，tm81()m，()m隨m增加而遞減，tm為遞增數(shù)列，得4tm8.又sn(n29n)(n)2，故(sn)maxs4s510，若存在mn*，使對(duì)任意nn*總有sntm，則106.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(6，)跟蹤演練3解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閟3a3，s5a5，s4a4成等差數(shù)列，所以s5a5s3a3s4a4s5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而減小，所以1sns1，故0sns1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而增大，所以s2snsns2.綜上，對(duì)于nn*，總有sn.所以數(shù)列tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.高考押題精練1ca10，a6a70，a70，a1a132a70，s130的最大自然數(shù)n的值為12.2c設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列，所以b2b12b4.3a由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(與條件中等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)矛盾，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)()(5)(25)，當(dāng)且僅當(dāng)，mn6，即n2m4時(shí)取得最小值.4100解析因?yàn)閍1a7a，a3a9a，a3a7a4a6，所以a1a72a3a7a3a9(a4a6)2102100.二輪專題強(qiáng)化練答案精析專題四數(shù)列、推理與證明第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列1b因?yàn)閍2a42a3，a5a92a7，所以a2a4a5a92(a3a7)4a5，而a510，所以a2a4a5a941040.故選b.2a因?yàn)閍8是a7，a9的等差中項(xiàng)，所以2a8a7a916a88，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算公式可得s1111a6，又因?yàn)閟11，所以a6，則d，所以a12a84d15，故選a.3ba3，a4，a8成等比數(shù)列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又s44a1d，ds40，故選b.4d由(n1)snnsn1得(n1)n，整理得anan1，所以等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又0，a70，所以數(shù)列an的前7項(xiàng)為負(fù)值，即sn的最小值是s7.5bbn為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由b32，b1012，7db10b312(2)14，d2，b32，b1b32d246，b1b2b77b1d7(6)2120，又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a83，a830，a83.故選b.64解析由題意得所以由kn*可得k4.7解析由題意，得s1a11，又由an1snsn1，得sn1snsnsn1，所以sn0，所以1，即1，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，得1(n1)n，所以sn.82n1解析由an1(a1a2an) (nn*)，可得an1sn，所以sn1snsn，即sn1sn，由此可知數(shù)列sn是一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)s1a12，公比為，所以sn2n1，由此得an9(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bnb1qn12n152n3，即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn52n3.(2)證明由(1)得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn52n2，即sn52n2.所以s1，2.因此sn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列10(1)解當(dāng)n2時(shí)，4s45s28s3s1，即4581，解得：a4.(2)證明因?yàn)?sn25sn8sn1sn1(n2)，所以4sn24sn1snsn14sn14sn(n2)，即4an2an4an1(n2)，因?yàn)?a3a14164a2，所以4an2an4an1，因?yàn)椋詳?shù)列是以a2a11為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列(3)解由(2)知，數(shù)列是以a2a11為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以an1ann1，即4，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，所以2(n1)44n2，即an(4n2)n(2n1)n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(2n1)n1.11a由s21s4 000得a22a23a4 0000，由于a22a4 000a23a3 9992a2 011，所以a22a23a4