（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）兩個21維孤子方程的精確解.pdf

摘要 孤立子理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的一個重要組成部分，在流體力學(xué)，等離子體物 理，經(jīng)典場論，量子場論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，并且它蘊(yùn)藏了一系列的求解非線性偏微 分方程尤其是多維孤子方程的方法對于多維孤子方程由于這些方程的多維性和高度非 線性性，很難用直接的方法求解，因此通?？紤]將高維問題降為較低維可積的問題，然后 通過用成熟的處理低維問題的方法求解低維方程，最后利用高維和低維方程之間的聯(lián)系 得到多維方程的孤子解處理低維問題常見的方法有：非線性方法，達(dá)布變換方法，反散 射方法，b a c k l u n d 變換，h i r o t a 雙線形方法，代數(shù)幾何方法等 本文通過兩個2 + l 維孤子方程與1 + l 維孤子方程的關(guān)系，借助達(dá)布變換的方法求解 出l + l 維孤子方程的精確解，進(jìn)而得到兩個2 + 1 維孤子方程的解，并利用數(shù)學(xué)軟件繪制 出了孤子解的圖形。這兩個2 + l 維孤子方程是； m g a r d n e r 方程 ”t = 一；。一；蔦1 w ，一i “w 。露1 q + 未。2 w 2 ”。+ ；肋”。十；a 肋3 + ；a 盧霹1 ( w 2 露1 一；。w 4 ) 和2 + 1 維混合破碎孤子方程 jm = 一；f 一 ( 1 k 筇1 ( q r ) ”】。+ p 口霹1 ( q 7 。) ， 【n = r 。p 一 n 【r 霹1 ( q r ) ”】，一r 笱1 ( q r ) 9 其中靠1 ，( z ，t ) = j ! 。，( 8 ，) d 5 本文分為三個部分第一部分簡單介紹了孤子理論的發(fā)展和達(dá)布變換的主要思想 第二部分考慮了與m ga c l n e r 方程和2 + l 維混合破碎孤子方程相聯(lián)系的1 + 1 維孤子 方程的達(dá)布變換，并求出了1 + 1 維孤子方程的達(dá)布陣和2 + l 維孤子方程的精確解，其中 m g a r d n e r 方程的精確解為 2 + 1 維混合破碎孤子方程的精確解為 第三部分分別以口= o ，r = o 作為種子解，討論了n = 1 ，2 時2 + 1 維孤子方程所得的 精確解，并通過選擇適當(dāng)參數(shù)做出了精確解的圖像 關(guān)鍵詞：譜問題；孤立子；達(dá)布變換；達(dá)布陣；精確解 a b s t r a c t t h es 0 1 i t o nt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f 印p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c “p h y s i c s i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si n 丑u i dm e c h a n i c s ，c l a s s i c a la n dq u a n t l l m6 e l d st h e o r i e 8e t c i ti 8 o n eo ft h em ta c t i v e 矗e l d si n8 c i e n c e t h e r ea r em a l l ym e t h o d st oo b a i ns o l u i o n so fn o n l i l l _ e 村p a r t i a ld i h 色r e n t i 出e q u a t i o n s ，s p e c i a l l yt h em u l t i d i m e n s i o n a l8 0 l i t o ne q u a t i o n s ，i nt h es 0 1 i t o n t h e o r mi ti sv e 。yd i m c u l tt 0s 0 1 v et h em u l t i d i m e n s i 。n a l8 0 l i t o ne q u a t i o n sd u et ot h e i r 1 1 i g h n o n i i n e a r i t 弘u s u a l l yo n ec o n s i d e r sm u l t i d i m e n s i o n 出p r o b l e m st ob es o l v e di n8 u c haw a v8 s s p l i t t i n gi n t os e v e r a ll o 、r d i m e n s i o n a lo e s ，w l l i c h 缸ee a s i e r t ot r e a tw i t ht h ea v a i l a b l et o o l s s l i c ha sn o l l l i n e 8 r i z a t i o na p p r o a c h ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，t h ei i e r s es c a t t e r i n gt r a n 8 f o r m 舡 t i o n ，b 瓢k l l m dt r a n s f o r m a t i o n ，h i r o t am e t h o d ，t h ea l g e b r a _ g e o m e t r i cm e t h o d 齜l ds oo n t h ea i mo ft h ep r e s e n tp a p e ri 8t os 0 1 v i n gt l l et w o ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n 8 w i t ht h eh e l po fd a r b o u x t r 齜1 s f o r m a t i o n ，t h ee ) 【p 】j c j ts o 】u t j o n so ft j ef 1 + 1 ) d j m e 瑚i o n a 】s 0 】i t o n e q u a t i o n sc a nb eo b t a j n e d t h r o u g ht h er d a t i o nb e t w e e i lt l i et w o ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o n e q u a t i o n sa n dt h e ( 1 + 1 ) 一d i m e i l 8 i o n 葩s o l i t o i le q u a 乞i o n s ，w eg e tt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so ft 1 1 et w o ( 2 十1 ) 一d i m c n 8 i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n s 舢l ds e v e i a li r i t e r e s t i i l g 療9 1 l r e 8o ft h es o l i t o n i a ns 0 1 l o n sa r e p l o t t e ( 1 t h et w o ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n sa r e ： t h cm o ( 1 j e dg a r d n e re q u a t i o n w t = 一；”一一；霹1 ”，一；k 霹1 嘶+ 未n 2 ”2 w 。+ ；p k + ；n 盧護(hù)+ ；n 盧筇t ( w 。霹坳一；。t ) a l i dl 1 1 e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o 猷m i x e db r e a k i n gs o l i t o n e q l l a t i o “ j 吼= 一 g 一 ?！緌 嵋1 ( q r ) 。十q 露1 ( q r ) ， 【n = r 。一 n r 霹1 ( g r ) pj 。一盧r 艿1 ( g r ) 9 ， w h c r e 1 ，( z ，) = o 。，( s ，) d s t h e r ea r et h r e es e c t i o r l si i lt h ep a p er t h e 矗r 8 ts e c t i o ni sa ni n t r o 小l c t i o nt ot h e1 1 i s t o r vo f h es o l j t o nt h e o r ya n dt h ed a r b o u xt 1a n s f o n i l a t i o i l t nt h es e c o n ds e c t i o n ，w es t u d yt l l ed a i b o i i x ”a n s f o l i n a t i o no ft 1 1 ef 1 + 1 1 。d i m e l l 8 i o n a ls o l i t o i l e ( 1 l l a t i 0 1 i s ，a s s o c i a t e dw i t ht i l el n o d i 6 p dg a l ( 1 n e re 叩l a t i o na n dt l l e ( 2 + 1 ) 、( 1 i n l e n s i o a l l l l j x e ( 1 h e a k i n gs o l i 乞( ) 1 1e q u a t 汕l ，a i l ( 1o b t a i l lt l l e i rd a ibo l l xm a xh 圳t l 】e 蹦洲c j t8 0 1 l n j o j l so ft l j et w ( ) ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls 0 1 i t o ne q u a t i o n s t h ee ) c p l i c i ts o l u t i o no ft h em o d m e dg a r d n e re q u a t i o ni s 州一( d n n q + 2 ) ( d 。r 一2 c n 1 ) n t h ee x p l i c i ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o “商x e db r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o ni s q = ( o o n q + 2 ) o d n ，r 7 = ( d n r 一2 c n 1 ) n 。 i n6 n a ls e c t i o n ，t a k i gq = o ，r = o 啪o b t 撕nt h ee ) ( p l i c i ts o l u t i o n 8o ft h et w o ( 2 + 1 ) 一 d i m e n s i o n 出e q u a t i o n si nn = 1 ，2a n ds e v e r a li n t e r e s t i n g6 9 u r e so ft h es o l i t o n8 0 l u t i o n sa r e p l o t t e d k e yw b r d s ：s p e c t r 出p r o b l e m ；s o l i t o n ：d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；d a r b o u xr r l a t r i x e x p l i c i ts 0 1 u t i o n 鄭重聲明 本人的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨立撰寫并完成的，學(xué)位論文沒有剽竊抄襲等違反學(xué) 術(shù)道德學(xué)術(shù)規(guī)范的侵權(quán)行為否則，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的一切法律責(zé)任和法律后果 特此鄭重聲明 學(xué)位論文作者 客峰 2 0 0 6 年4 月2 0 日 一引言 隨著科學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)線性模型不能完全反映客觀世界的真實情況在客觀世 界中占統(tǒng)治地位的是非線性現(xiàn)象，所以人們在非線性科學(xué)發(fā)展上投入了極大的熱情使得 對非線性的研究成為現(xiàn)代自然科學(xué)研究的重要特征非線性偏微分方程在非線性科學(xué)領(lǐng) 域中占有重要的地位，而孤立子理論是非線性偏微分方程研究的一個重要方向因為對自 然科學(xué)和工程應(yīng)用的深入研究常常歸納為對非線性偏微分方程的研究，而非線性方程極 其復(fù)雜，人們很難找到一種十分有效的求解方法，因此每一個典型的偏微分方程問題的解 決都會引起人們的極大關(guān)注孤立子理論是研究非線性方程的主要手段之一它的興起給 求解非線性偏微分方程及對非線性科學(xué)的研究帶來了革命性的內(nèi)容和新的動力 孤立子理論在數(shù)學(xué)上涉及如泛涵分析，微分方程，動力系統(tǒng)，經(jīng)典力學(xué)，l i e 群，l i e 代數(shù)，無窮維代數(shù)，微分幾何，拓?fù)鋵W(xué)，橢圓函數(shù)，代數(shù)幾何等許多數(shù)學(xué)分支。這使得它 在流體力學(xué)，量子場論，經(jīng)典場論，非線性光學(xué)，等離子體物理，化學(xué)，生命科學(xué)，通訊 等學(xué)科都有應(yīng)用從1 8 3 4 年r l l s s e l 發(fā)現(xiàn)孤波以來孤立子理論一直處在不斷發(fā)展的時期 1 8 9 5 年k o r t e w e g 和d ev r i e s 發(fā)現(xiàn)淺水波運動方程一一k d v 方程1 9 6 5 年z a b u s k y 和 k r m k a l 通過數(shù)值計算對k d v 方程解的孤子特性進(jìn)行了詳細(xì)的研究【3 7 1 。隨后g a r d n e r 、 g l e e n e ，k r u s k a l 和m m a 開創(chuàng)性的用反散射方法，求出了k d v 方程的孤子解 3 8 _ l a x 研 究了孤子方程的l “對理論并進(jìn)行了推廣【3 9 】，在此基礎(chǔ)上z a 塒a r o v ，s h a b a t ，a b l o w i t z ， k u s l ( a l ，n e w e l i ，s e “r 研究了矩陣形式的l a ) ( 對，并對反散射方法進(jìn)行了推廣【4 0 同 時一系列求孤立子方程精確解的方法不斷產(chǎn)生，如反散射方法【1 3 ，2 4 ，2 5 ，b i c k l l l l d 變換 【1 4 ，1 5 ，1 6 ，2 2 ，2 6 ，3 0 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 】，達(dá)布變換( d t ) 【1 4 ，1 7 ，2 2 ，2 9 ，4 5 ，4 趴h i r o t a 雙線 性方法【1 3 ，2 6 2 7 】，l i e 對稱方法 2 0 ，2 l ，2 8 】，齊次平衡法 4 l ，4 2 4 3 ，4 4 】 代數(shù)幾何方法 【2 9 ，3 1 ，3 6 ，4 6 ，4 7 】，非線性化方法f 3 4 ，3 6 kp a i l l l e v d 分析方法1 1 8 ，1 9 等。 現(xiàn)在孤子理論的熱點問題是對多維孤子方程的研究，但由于這些方程的多維性和高度 非線性性，很難用直接的方法求解這些方程，因此通?？紤]將多維問題降為較低維可積的 問題，特征值問題的非線性化方法或約束流方法 4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 】可以達(dá)到這個目的。早期文 獻(xiàn)主要足通過這個方法將( 1 + 1 ) 維孤子方程分解為兩個相容的常微分方程【5 0 ，5 1 ，近年 來該方法被推廣到分解( 2 + 1 ) 維孤子方程為已知的( 1 + 1 ) 維可積系統(tǒng)【5 3 ，5 4 ，5 5 3 6 ，5 6 ，5 7 ， 5 8 5 9 1 而對于更復(fù)雜的( 2 + 1 ) 維方程可以由它們的l a x 表示用類似的方法分解為( 1 + 1 ) 維方程，再進(jìn)一步分解為( o + 1 ) 維方程即相容的常微分方程，通過求解常微分方程，從而 可以求解( 2 + 1 ) 維孤子方程 在求解孤子方程精確解的方法中達(dá)布變換是一種構(gòu)造非線性偏微分方程顯式解的有 效方法1 8 8 2 年，j gd a r b o u x f 2 3 研究了s c h r 甜i n g e r 方程 。一“( z ) 妒= a 妒 其中u ( z ) 是位勢函數(shù)，a 是譜參數(shù)他發(fā)現(xiàn)若設(shè)“( z ) ，妒( z ，a ) 是滿足( 1 1 ) 的兩個函數(shù) 對任意給定的常數(shù) = a o ，令，( 。) = 妒( z ，a o ) ，若定義如下函數(shù)t 。7 ，妒7 u 7 = “+ 2 ( n l ，) 妒7 ( z ，a ) = 妒。( z ，a ) + 盯妒( 。，a ) ，( 1 2 ) 其中一= 一祭搿則”7 ，妒7 也滿足s c l l r 6 d i n g ”方程，即 一妒：，一u 7 ( z ) 妒7 = a ( 1 3 ) 這個借助變換( 1 2 ) 將s c h r 謝i n g e r 方程的一組函數(shù)( “，妒) 變?yōu)橥环匠痰牧硪唤M函數(shù)( u ，妒7 ) 的性質(zhì)，稱為達(dá)布定理這是最原始的達(dá)布變換。 到了2 0 世紀(jì)6 0 年代，人們發(fā)現(xiàn)s d l r i d i n g e r 方程是描述淺水波運動的k ( 1 v 方程的譜 問題，即k d v 方程 毗+ 6 1 l “。+ “m = 0 ，( 14 ) 足關(guān)于妒的線性方程組 一；一 妒= a 妒，( 15 ) 妒= 4 z z 一6 t 妒z 一3 t b 妒，( 16 ) 的可積條件，其中妒都是關(guān)于z ，t 的函數(shù)，也就是說( 1 5 ) 和( 1 6 ) 是k d v 方程的l a x 對 進(jìn)一步的研究【2 6 1 還發(fā)現(xiàn)達(dá)布變換( 1 2 ) 適合s c l w 耐 n g e r 方程( 15 ) 的同時還適合關(guān) 于t 的演化方程( 16 ) ，也就是說u 7 同t 一樣也滿足k d v 方程的可積條件，即u 是由u 導(dǎo)出的k d v 方程的一個新解這樣如果已知k d v 方程的一個解u ，通過解線性方程組 ( 1 5 ) 和( 16 ) 得到妒( z ，f ，a ) ，取 的一一個值a o 得到，( z ，) = 妒( z ，t ， o ) ，然后利用( 12 ) 就獲得k c l v 方程的一個新解u 7 ，( 1 2 ) 中的妒則為相應(yīng)的l a x 對的解。這就是說，為了從 k d v 方程的一個已知解得到它的新解，只需解線性方程組( 1 5 ) 和( 1 6 ) 求出妒，再通過 9 ( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的一個特解，然后再將特解看成已知解使這個變換進(jìn)行下去， 從而得到一系列解 ( 妒) 一( 7 ，妒7 ) 一( u ”，) 一 這就為k d v 方程的求解提供了一個有效的方法。 隨后為了使達(dá)布變換方法有更大的普適性，能夠解其他大量的孤立子方程，m a t v e e v s a l l e ，n e u g e b a u e r ，m e i n e l 提出了達(dá)布陣方法 1 7 ，2 6 ，2 7 j 已知( 1 + 1 ) 維微分方程為 f ( ，“z ，。，) 一o ( 1 7 ) 其可積條件為 垂。= 9 ( a ) 圣，垂= ( a ) 垂，( 1 8 ) 其中9 ( a ) ， ( a ) “( 2 ) 是參數(shù)a 的n 次多項式矩陣，幣為2 維向量假設(shè)妒l 和妒2 是上述 特征多項式方程相應(yīng)于參數(shù)a 1 ，a 2 ( a l a 2 ) 的兩個已知的解向量，p ( a ) = a e + p 0 由代數(shù) 系統(tǒng) j p ( 枷l = ( a 1 e 十p 0 ) 忱= o p ( 2 ) 妒2 = ( 2 e + p n ) 妒2 = o ， 確定。則若變換 垂，中= p ( a ) 中， 9 ( a ) + 9 7 ( a ) = ( p ( a ) 9 ( ) + 只( a ) ) p 一1 ( a ) ， ( 1 1 0 ) ( a ) + 7 ( a ) = ( p ( a ) ( a ) + 只( a ) ) p 一1 ( a ) ， 滿足9 ( a ) 17 ( a ) s f ( 2 ) ( 位勢函數(shù)為u 7 ) 且9 7 ( a ) ，f 7 ( a ) 分別與9 ( a ) ， ( a ) 具有相同的結(jié)構(gòu)， 那么西7 ，9 7 ( a ) ， 7 ( a ) 滿足 幣：= 9 7 ( a ) 中7 ，圣；= f 7 ( a ) 幣7( 11 1 ) 由方程組( 1 1 1 ) 的相容條件也可得到方程( 1 7 ) ，進(jìn)而產(chǎn)生了孤立子方程( 17 ) 的一個新解 u 7 ，其中p ( a ) 稱為達(dá)布陣 通過迭代n 次達(dá)布變換( 1 1 0 ) ( 參數(shù)為a 1 ，a z ) ，可以產(chǎn)生n 次的達(dá)布變換 垂+ 垂。v = p ( a ) 中， 9 ( a ) 一9 ( “) ( a ) = ( ( a ) 9 ( a ) + b ( a ) ) p1 ( a ) ( 1 1 2 ) ( a ) 一 ( ( a ) = ( 尸( a ) 7 ( a ) + j f ；( a ) ) p 一1 ( a ) 3 其中達(dá)布陣為 p ( a ) = a 十r ( 1 1 3 ) t = 0 它由代數(shù)系統(tǒng) p ( 九) 咖= o ，z = 1 ，2 ，( 11 4 ) 決定利用n 次達(dá)布變換可以產(chǎn)生孤立子方程的n 孤子解 達(dá)布變換方法的關(guān)鍵是尋求一種保持相應(yīng)的l “對不變的規(guī)范變換現(xiàn)在人們已經(jīng)用 達(dá)布變換求出了如a k n s 方程族，d a v e y s t e w ”t s o n 方程，自對偶y a n 廿m i u s 流，e l n s t e i n _ m a ( w e l l 方程【2 6 ，2 7 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 】等大量孤立子方程的解 本文主要內(nèi)容是利用兩個2 + 1 維孤子方程與它們分解后的1 + 1 維孤子方程之間的關(guān) 系用達(dá)布變換的方法求解出1 + 1 維孤子方程的精確解，進(jìn)而得到2 + 1 維孤子方程的精 確解，并利用數(shù)學(xué)軟件繪制出了孤子解的圖形 本文的第二部分考慮了與兩個2 + l 維孤子方程分解后的l + 1 維孤子方程的達(dá)布變 換，并求出了它們的達(dá)布陣及2 + 1 維孤子方程的解第三部分分別以q = o ，r = o 作為種 子解，討論了n = 1 ，2 時兩個2 + l 維孤子方程所得的精確解，并通過選擇適當(dāng)參數(shù)做出了 精確解的圖像。 二達(dá)布變換 我們考慮兩個( 2 + 1 ) 維孤子方程： m g a r d n e r 方程【l ，2 ，3 ，4 ；a ”。霹1 嘶+ 未n 2 艫”。+ ；盧”。+ ；。觸，3 + ；n 盧露1 ( ”2 露1 吩；n ) ( 2 1 ) 卜5 一秈批霹1 ( q r ) 口 z + q 露1 ( q 7 ) ”，( 2 2 ) in = r 。一 a f r 靠1 ( q r ) 口 。一r 露1 ( q r ) ， 其中露1 ，( z ，”，t ) = o 。，( s ，f ) d s 在 1 中已經(jīng)用非線性化方法求出了這兩個方程的擬 周期解，同時證明了若q ( z ，t ) ，r ( z ，9 ，) 是耦合方程 ( ：) 。 = 崧篇：。) 3 ， ( q ) = 舞剿篡荔篙寰蔣) 江。， 的解，則它們同時也足方程( 2 2 ) 的解，w ( z ，t ) = q ( z ，桫( a ，g ，) 是方程( 2 1 ) 的解。在 這一節(jié)我們將構(gòu)造方程( 21 ) 和( 22 ) 的d a r b o t “變換 方程( 2 3 ) ，( 2 4 ) 有相同的譜問題： 一= 卦 s ， u = 幽， 他們的輔助問題分別是 吼= 2 曲 r 2 7 1 其中 m = p 攀) 一p 攀) h = 2 a 2 一n q r a 一口q r ，= 一2 q a + 口+ n 9 2 r ，l = 一2 r a r z + n q r 2 e = 一2 9 a 2 + ( o k + n 9 2 r ) a j q 。一 o g r q 疊一 口2 口3 r 2 + 衄2r ， f = 一2 r a 2 + ( 一r $ + n 口r 2 ) a 一 r 。十 o q r r 。一；0 2 q 2 r 3 + p q r 2 ， g = 2 a 3 一。q r a 2 + ( 薔( r 一q r 。) + 三曾2 r 2 一盧q r ) a + ；a 盧q 2 r 2 + 盧虹竺手吐， 在這里口，r 是位勢函數(shù)， 是常譜參數(shù) 設(shè) 丁= ( 三孫 江s ， 其中a ：n 。a n + 瑩1n ”，b ： n + ? 阮”，e ：寥q a ，d ：d 。a n + 葚噸”， t = 0 z = 0z = 0 o = 0 n 。，n 。，以，q ，也( o i n 一1 ) 是z ，的函數(shù)，并目 并且 矩陣t 滿足 舡鄧，牡卜糾。1 、鈣。；2 妒。= u 曲， 廬：= u 咖 r 7 a ， 根據(jù)( 21 0 ) 和( 2 1 1 ) ，我們得到耳+ 丁礦= u 7 7 1 即 f + 芝。曲。7 宴a z _ a f 一 ”o 措卜f c z 。”d 。艫+ a 。r 7 t = 02 = n 、 ( o a + 盧) 9 7 6 f 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) a n + 葚講t 臚十掣。 i 。1 2 = o 。一l 。2 0 i c z ”厶a ”+ d ?！?l = 0 z = 0 陋國。1 ( 2 1 2 ) a ?。矗，” 墊 + ” 瑩瑚 n 分別比較上式中a n “， ， ， 一2 和常數(shù)項系數(shù)，我們得到 2 + o n g n d n q = o 0 n z = o 一1 q 7 一r ， 0 = 一2 6 n l + n d 一l q 7 + 盧d n 口7 一盧o n q d n n l g ， 0 = 2 c n l + n n 7 ”一“r ， d n = r 一n 島l - l q ， n n 一1 z = 一曲n 一1 + q c n 一2 口+ 島一l q ， k 1 2 = 一q o n 。一2 一q 盧n n l 一2 k 一2 + q 如一2 9 7 + p d n l 口7 c n l z = 2 c n 一2 一r d n l + n n 一1 r 7 ， 如一1 z = 一q n c n 一2 一q 口c n l + 6 n l r 7 ， 口n 一2 z = 一r k 一2 + n c n 一3 q + p c t l 一2 q 7 、 6 n 一2 。= 一g o ( 3 g 卻。一2 2 靠3 十( y 蟊3 9 7 + 盧d r 卜2 q c n 一2 z = 2 c h 一3 一r 如一2 + 一2 7 ”， d n 一2 z = 一q n ( n3 一q 蘆c n 一2 + * 卜2 77 ， o o z = 盧。o q 7 6 0 r c 0 = “o r 7 一d o t 從( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 我們得到 6 0 z = 盧d o q 一蘆o o g d o z = 6 0 r 一盧o o q 2 劬n l 南+ “2 n n l d n q = 2 n f f n 。1 十n 2 厶一l n q + 2 口如 ( n o d o ) 。= ( b o e o k ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 1 f 2 1 6 1 f 2 1 7 1 r 2 1 8 1 f 2 1 9 、 顯然，矩陣t 的行列式有2 n 個零點a ( 江l ，2 2 n ) 。從關(guān)系d e t t d e t i j ) ( 1 e t ，我 們得到a 。( ：1 ，2 2 n ) 與t 無關(guān)，當(dāng)a ：a 。，：f “l(fā) 糾2 幺鴯： 是共線的，即 ( 然小沙乩。z m 。， 7 、 從= t ，可得 0 髫= ( o ) 喜# 中廬j = 妒l l ( a ；) + 覷曲】2 ( a ：) ，孵= 咖2 1 ( a ) + 2 2 ( a ；) ， z = 1 ，2 - - 2 n 設(shè) 吼= 籌= ；i ：糍，i = - ，z z n c 。， 則方程( 2 ，2 1 ) 可以寫為 一n n 礙嬸吼， i = l ，2 2 n( 22 3 ) 厶”吼， 因此。，南，峨，k ，九( o 莖莖n 一1 ) 被( 2 9 ) ，( 2 18 ) 和( 2 2 3 ) 唯一決定這樣我們可以得 到矩陣t ，并且從( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 我們得到 。7 = ( 。n 9 + 2 ) 。d n ，7 = ( d n 7 2 一1 ) ( 2 2 4 1 7 = q 7 r 7 = ( n n 。q + 2 ) ( d 。r 一2 c 1 ) n 從( 2 8 ) 我們有 如丁( 凡) = a ( ) d ( a ，) b ( 九) f ( a ；) ， ( 2 2 5 ) 另一方面，從( 22 1 ) 我們有 a ( a 。) = 一盯。b ( a 。) 、 c ( a 。) = 一盯。d ( a 。) ( 22 6 ) 如果我們能夠證明( 2 1 0 ) 把( 2 6 ) 和( 27 ) 映射成或= 州7 和叫= 州妒7 ，其中；，州 與在( 2 6 ) 和( 27 ) 中的1 ，2 除了將q ，n ：k 換成g 7 ，吐，r ：外有相同的形式。那么相 容條件純，z 西；，和面= 匕仍然保持，即 昵一：。+ f u 7 ，：】= o ，( 2 2 7 ) 和 q q 。+ 【u 7 ，蠅 = o( 2 2 8 ) 則q ，一是( 22 ) 的一組新解，= 9 7 一是( 2 】) 的一個新解 1 1 1 ，1 2 。 k 昏觸糾 h 基伽 a ，t_i_ii_ll 涉 涉 n 礙 b 由 范等 上上 n 礙 q 呵 州羞! 豆 ，lij，、lll【 設(shè)( 2 5 ) 的兩個解l p ( 凡) 和妒( 九) 同時滿足( 2 6 ) 和( 2 7 ) 微分，得到 吒= 州，毛+ r 1 = 州z 對咖7 = 丁關(guān)于和t 進(jìn)行 f 2 2 9 ) 珥= 州7 ，丑十t 2 = 州t ( 2 ，3 0 ) 我們將證明( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 中的 ，5 與( 26 ) 和( 2 7 ) 中的1 ，2 有相同的形式 定理1 由( 2 2 9 ) 定義的矩陣 與l 除將g ，r ，k 替換為9 7 ，r ，吐，r ：外有相同的 證明：設(shè)了= 丁如t t 從( 2 2 2 ) 和( 2 6 ) ，我們得到 。確= ( 一2 r a r 。+ o q r 2 ) 一2 ( 2 a 2 一q r a 一盧口7 ) 口。一( o + 盧) ( 一2 q a + q 。+ ( i q 2 ，) 盯7 ( 2 3 1 ) 從c 。s ，和c 。瑚，在這里我們設(shè)，= ( ：二) ，我們得到 m m 礦地+ 批圳翕三) = ( 二：曩二蒜：差：竺耋籠= 三) ( 翕= )一( c 一2 n 一b 西) d 一啦d g 一啦d + d cd p 一嘸b d n d 鞏d 一盯口 = 因此( 咒+ 丁1 1 ) 丁+ = f t i p ( a ) 設(shè) 咒+ 丁l = p ( a ) t ( 2 3 2 ) 砌) ：f ，p 1 1 p 1 2 1 p 2 t ( a ) p 2 2 ( a ) 9 容易看出p 1 1 ( ) ，p 1 2 ( a ) 、懇2 ( a ) 是關(guān)于a 的二階多項式，p 2 l ( a ) 是關(guān)于a 的一階多項式 p 1 2 ( a ) = p 尹a 2 + p a + 尸 巍 ( 2 3 3 ) p 2 2 ( ) ：硝； 。+ 蠼j(luò) a + 硝， 其中? ( ，j = 1 ，2 ，f = o ，1 ，2 ) 與a 時相互獨立的 然后我們比較( 2 3 2 ) 中 “，a “，a “的系數(shù)，得： 一2 n 。+ n 。爿；一o ，2 + 2 q a n 。+ 群i + p f ；= o ，2 如+ 趟；= o 2 r 一2 。一1 + q r n n 。+ 口。硝：+ 。一1p ；+ c 。一1 尸譬= o ， 一2 c 。一1 + 2 r d 。+ n 。趟；+ c 。一l p ；o ， 一口r n + 2 q a n 。一1 一9 2 r q 2 。+ 2 q 盧n 。+ 2 6 。一1 + 硝i 1 + 6 。一1 硝； + d 。p f ! + d 。一1p ；一n 。= o ， 2 q n c n - t + 2 靠一1 一q r o d 。+ 硝：+ d 。趟+ 如一1 硝；= o 一q r 2 n 一2 n 。一2 + q r n 。一l + q r 踟。+ 2 而。一1 + “。硝? + n 。一1 科： + 。一2 科；+ c 。一l 硝：+ c 。2 p f ；十= n 。， 一2 c n 一2 十q r ( 1 一i + 2 r “一l q r 2 ( 1 d 。+ n 。趟? + n 。1 硝i + c r ，l 巧：+ c 。2 磋；1 + d 。r 。= o ， 一q r j + 2 q n n f 卜2 一q 2 r 0 2 。n 一1 十2 q j n n 一1 一q 2 r n p d n + 2 b n 一2 一q r n 6 n 一1 + 碰? + b 。一lp f j + 6 。一。p f ；+ 如p f ：+ 厶一1 硝； + d ，2 p f ；一n 8 。1 一p n 。= o ， 2 q ( 1 2 一口2 r n 2 c 。一1 + 2 q j ( - 。1 + 2 d n 一2 一q r n d 。一1 一q r 例n + 巧? 1 + 6 。一1p j 1 + 如p ：+ d 。一1 矗：+ 厶一2 ；一m 。一l 啦= d w 從( 21 3 ) ( 2 1 5 ) 和( 2 3 4 ) 一( 2 3 6 ) 我們得到 p ；：2 ，p f ：= 一2 q 缸，硝；= 一2 ， 硝= 一d q 7 r 7 ，碟一q 吐+ 一q “r 7 2 q 7 盧， 硝：一2 r ，1：= n 口7 r 7 ， 群0 1 ：一p q r7 ，一：1 = 心口+ n 3 q “r 7 ， p ? ：一r ：+ n q 7 r “只塑= 口q 7 ， 因此：與i 有相同的形式?！? ( 2 3 4 ) f 2 3 5 、 f 23 6 ) 礙 + 州鯽 2 十 h a 睹甜 i i i i ”對r 吃 沒此因 定理2 。由( 2 3 0 ) 所定義的矩陣5 除將q ，q ，變成q 7 ，r ，吐，r ：外與2 有相同的 形式 證明：設(shè)t 。= t 4 d e t t 從( 2 7 ) 和( 2 2 2 ) ，我們得到 q t = f 一2 g 吼一( a a + 盧) f 酲 然后從( 2 8 ) 和( 2 2 6 ) ，我們得到 ( 五+ 丁j ) t + = 小三) 1 剖 t d 一8 i以d 一吼b ( 2 3 7 ) f 一( f 一2 g 哦一( n a 十口) e 盯? ) 口一吼b ”一吼g b + b ，b ”一吒( ( 認(rèn)+ 盧) e 口一g b1 一( f 一2 g 吼一( n a 十盧) e 一；) d 一哦d 可一吼g d + d 尸d 9 嘰( a a + 口) e d g d ( 翕三) = ( = o ) 因此( 互+ 丁2 ) r = l r l q ( a ) 。 我們得到 五+ 丁2 = 0 ( a ) 丁( 2 3 8 ) 設(shè) q ( a ) = f q 1 l ( ) q 1 2 ( 入3 1 q 2 l ( a ) q 2 2 ( a ) 容易看到q 1 l ( a ) ，q z ( a ) ，q 2 2 ( a ) 是關(guān)于a 的三階多項式，q 2 。( a ) 是關(guān)于a 的二階多項式 q 1 1 ( a ) = q 箝a 3 + q 蠕a 2 + q ；：a + q ( o q 1 2 ( a ) = q 錯a 3 + q ；a 2 + q ；a + o 曼 q 2 l ( a ) = q g a 2 + q a + q 舞，q 2 2 ( a ) = q 碧a 3 + q 野a 。+ q 5 ：a + q 墨 其中q 艘( ，j = l ，2 ，f _ ( ) ，1 ，2 、3 ) 與 是無關(guān)的。 我們比較( 23 8 ) 中 州，a7 “ 的系數(shù)，得 2 n 。+ n 。q j = o ，2 + 2 q 。+ q i j + d 。q i ；= o ，2 d 。+ d 。q 墨= o ( 2 3 9 ) 2 r 一2 0 。一l + q r o o 。+ n 。q ；+ n 。一1 q 彈+ 一1 q 學(xué)= o ， 一口r d + 2 q q o 。一1 一口2 r n 2 血。+ 2 9 p n 。+ 2 h n l + q 錳+ 6 。一1 q 濘+ q 髫 + d n 一1 口鷺一n 吼= o ， 一2 c 佗一1 + 2 r d 。+ n 。q 署+ c 。一l q 窘= o ， 2 口n 一l + 2 如一1 一q r d 厶+ o + “口2 十“一l q 磐= o 一q r 2 n 一2 0 n 一2 + q r o 。一l 一；q 2 r 2 血2 0 。+ g r 盧o 。十2 r k 1 + n 。q j + n 。一1 q 囂 + 口。一2 q 箝+ c n 一1 q 罾+ 一2 印碧一 r ?？?。如+ ，。+ q n = o ， 一2 c 。一2 + g r c 。一1 + 2 r d 。一1 一q 7 。2 n d 。+ n 。q 翳+ 。一1 q 囂+ c 。一l o 碧 + c n 一2 q 2 + d n 如= o ， ；q 2 r 2 n 2 口r 口+ 2 q o n n 一2 一口2 r n 2 n n l + 2 q 蘆n n 一1 + q 3 r 2 n 3 n n 一2 q 2 r n 盧n n + 2 6 n 一2 一q r n b 。一1 + q ：+ h 一1 q ；：十b 。一2 q 囂+ d n q 四+ d n 一1 q 償+ d 。2 q l 警 + r g 疊一n n 。i 目。+ 寧r 2 n 。垡。一。，。q 。+ ；“r n 叮z 。一；g r 。= o ， 2 q o c n 一2 一q 2 r n 2 c n 一1 + 2 q 療q t l + 2 d 。一2 一q r ?！耙? + ；q 2 r 2 n 2 d 。一q r 口如+ q ! ： + 6 。l q 嶄+ d n q 措+ 厶一1 q 獸十靠一2 q 獸一o c n 一1 + r d d 佗啦一 g n d 。r 。= o ；q 2 7 “2 一q r 2 一2 n n 一3 + g r o n2 一i q 2 r 2 n 2 0 n l + q r ，n1 一扣2 r 2 ( 1 。n + 2 r 6 。一2 一口r 2 n k 一1 + n 。q 0 j + “。1 q l ：+ n 。一2 q ；+ 。一3 a 浮 + 一1 q i + c 。2 0 簿+ c 。一3 q 蟄；r o 。一1 一；r 盧n 。 一；g r o r 。+ 9 n n 。一l r 。+ ；g 盧。r 十b 。j r 。+ ；r 0 。= n ，咖 一2 f n 一3 + 口r n c n 一2 一；9 2 r 2 “2 c n _ 1 + q 7 1 p c n 一1 + 2 r 如一2 q r 2 ( t d n1 + q 2 r 3 n 2 d n q 72 d 。+ n 。q 坍，+ n 。一1 q 5 ：+ o 。q q 要+ _ o 勢+ 一2 q 嘗 十( 一3 q 鬟一 r n r n 一1 q + ；g n c n l h 十d 。l r 。一；q r n 如+ d 佗r 。= o ， ；q 2 7 2 n 盧+ 2 q o n3 一q 2 f n 2 n n 一2 + 2 9 口n n 2 + ；q 3 r 2 “：。n l 一2 q 2 r a o n n 一】 + 2 礦，2 n 2 p “。一9 2 r 盧2 n 。+ 2 k3 一g r n b 。2 + 9 2 r 2 n 2 b 。一i g r 蘆k 一】 + q ：+ 6 。，q l j + k 2 q 囂+ k 一3 q 鋁1 + d 。q i 警+ 厶。q i + 畫卜。q ； + d 。一3 q l ；+ ；r 盧