（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué) 題型全歸納 用函數(shù)觀點看數(shù)列問題.doc

用函數(shù)觀點看數(shù)列問題新教材將數(shù)列安排在函數(shù)之后學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)知識的密切聯(lián)系從函數(shù)的觀點出發(fā)，變動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，一方面有利于認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)，另一方面有利于加深對函數(shù)概念的理解本文擬用函數(shù)的觀點來認(rèn)識一些數(shù)列問題 1 數(shù)列的本質(zhì)數(shù)列可看作一個定義域為n*(或它的有限子集1，2，3，n)的函數(shù)，用圖象表示是一群孤立的點例如，對于公差不為零的等差數(shù)列an來說，它的通項是關(guān)于n的一次函數(shù)，從圖象上看，表示這個數(shù)列各點均勻地分布在一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象上；它的前n項和sn是關(guān)于n的無常數(shù)項的二次函數(shù)，因此sn/n也是關(guān)于n的一次函數(shù)式是_考慮到an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故pnq與(n1)或(2n1)是同類因式由待定系數(shù)法知： pq=0(舍去)或p2q=0 例2 等差數(shù)列an中，ap=q，aq=p(pq)求ap+q 解 由于等差數(shù)列的通項an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故三點(p，q)，(q，p)，(pq，apq)共線 解 由題設(shè)知：公差a0 例4 已知an是等差數(shù)列 (1)2a5=a3a7是否成立？2a5=a1a9是否成立？ (2)2an=an-2an+2(n2)是否成立？2an=an-kan+k(nk0)是否成立？ (新教材第一冊(上)第119頁習(xí)題10) 解 表示數(shù)列an的各點，均勻地分布在一條直線上不妨設(shè)公差d0 (1)如圖1，畫出點(3，a3)，(5，a5)，(7，a7)由中位線定理得 2a5=a3a7如圖2，畫出點(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)作輔助線ac，同樣有2a5=a1a9故(1)中兩式全成立 (2)畫出圖3，圖4類似(1)，有2an=an-2an+2(n2)，2an=an-kan+k(nk0)故(2)中兩式全成立 說明 在例4中運(yùn)用圖象直觀地刻劃了等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，同樣還可直觀地刻劃等差數(shù)列的其它性質(zhì)，如 (i)an=am(nm)d (m，n，n*)； (ii)若mn=pq，則aman=apaq(m，n，p，qn*) 2 數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列an中，如果anan+1對nn*都成立，那么稱an是單調(diào)遞增數(shù)列；如果anan+1對nn*都成立，那么稱an是單調(diào)遞減數(shù)列數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻劃例如，公差不為零的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同；公比大于零且不等于1的等比數(shù)列的單調(diào)性與指數(shù)型函數(shù)y=kax(a0且a1)的單調(diào)性相同 例5 已知數(shù)列的通項公式為an=n210n10這個數(shù)列從第幾項起各項的數(shù)值逐漸增大？從第幾項起各項的數(shù)值均為正值？數(shù)列中是否還存在數(shù)值與首項相同的項？ 解 表示數(shù)列an的各點都在函數(shù)y=x210x10的圖象上由圖5可得，這個數(shù)列從第5項起各項的數(shù)值逐漸增大，從第9項起各項的數(shù)值均為正值，第9項是與首項相同的項 說明 以函數(shù)的觀點認(rèn)識、理解數(shù)列，才能自覺地用函數(shù)的單調(diào)性去研究數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列an為遞減數(shù)列，數(shù)列an中的最大項為即 log(a1)a2loga(a1)1成立解此不等式可得 3 數(shù)列的最值運(yùn)用函數(shù)觀點求數(shù)列的最值，可以更深刻地認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)，同時又能深化對函數(shù)概念的理解 例7 若數(shù)列an的通項公式為an=n27n(nn*)，求an的最大值，并與函數(shù)y=x27x(xr)的最大值作比較 解 作出函數(shù)y=x27x(xr)的圖象從圖象上看，表示數(shù)列an的各點都在拋物線y=x27x(xr)上，由圖象得 說明 經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)數(shù)列an與函數(shù)y=x27x(xr)在不同的地方取到不同的最大值，這是由于兩者的定義域不同所造成的 例8 等差數(shù)列an前n項和為sn，已知a10，s9=s16，問n為何值時，sn最大？ 解 由題意知：an是單調(diào)遞減數(shù)列，故點(n，sn)在開口向下的拋物線上，又點當(dāng)n=12或n=13時，sn最大函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識，它象一根主線貫穿于