三角函數(shù)綜合題2(難)教師版.doc

三角函數(shù)綜合題2（難）評卷人得分一、選擇題1設(shè)函數(shù)fx=Asinx+ (其中A,是常數(shù))若函數(shù)fx在區(qū)間4,4上具有單調(diào)性，且f2=f4=f4，則fx的對稱中心的坐標(biāo)為(（ ），0）（其中kZ）.A. 34k B. 54k C. 53k D. 43k【答案】A【解析】函數(shù)f（x）=Asin（x+） 在區(qū)間-4,4上具有單調(diào)性，且且f-2=f-4=-f4，則1224-4，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-2-42=-38 對稱，且一個對稱點為（0，0） 可得02 且0（-38）=142 ，求得=43 ，再根據(jù)f-4=-f4，得到sin-3=-sin+3易得： =k,kZ由sin43x+k=0，得x=34k其中kZ，2在中，分別是角所對邊的邊長，若則的值是（）A1 B C D2【答案】B【解析】，即，故選B3已知函數(shù)向左平移半個周期得的圖像，若在上的值域為，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得由， 在上的值域為即最小值為，最大值為，則，得綜上的取值范圍是4在中，若對任意都有，則的形狀是（ ）A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 不確定【答案】A【解析】原不等式兩邊平方并化簡得恒成立，故其判別式為非正數(shù)，即，化簡得，即，由正弦定理得，即，由于，所以必有一個是負(fù)數(shù)，故三角形為鈍角三角形.5已知函數(shù)（）的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因為函數(shù)（）的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，所以 ， 的取值范圍為，故選C.6已知橢圓和雙曲線焦點相同，且離心率互為倒數(shù)， 是它們的公共焦點， 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè) ， 在橢圓中， ，即在雙曲線中 ， 即，則所以，由題知，則橢圓離心率，選A.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.評卷人得分二、填空題7在中,已知, , 為線段上的點,且,則的最大值為_.【答案】3【解析】由得 所以由得 由,得 ，即的最大值為3.8在ABC 中，tanA+B2=2sinC ,若AB=1 ，則ABC周長的取值范圍_.【答案】2,3【解析】由tanA+B2=2sinC及A+B2=2C2 ，得cotC2=2sinC，cosC2sinC2=4sinC2cosC2 0C22.,cosC20，sinC20， sin2C2=14，sinC2=12，C=3 由正弦定理，得ABsinC=BCsinA=CAsinB=233， ABC 的周長y=AB+BC+CA=1+233sinA+233ssin（23A） =1+233（32sinA+32cosA） =1+2sin（A+6）， 6A+656 ，12sin（A+6）1， ABC 周長的取值范圍是（2，3，故答案為（2，3 【點睛】本題解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩個角的和、差公式、倍角公式以及輔助角公式將三角函數(shù)化為y=Asin（x+）+k 形式進而解決問題9點為的重心， ，且，則_.【答案】 【解析】連接 并延長交 于 ， 是重心， 是中點，又 ，設(shè) ，則 ，由余弦定理 ，由 ，得 ，在 中，由余弦定理 ，故答案為.【思路點睛】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)由，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件，根據(jù)題設(shè)條件靈活應(yīng)用.10如圖所示，為了測量處島嶼的距離，小明在處觀測， 分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛40海里至處，觀測在處的正北方向， 在處的北偏西方向，則兩處島嶼的距離為_海里 【答案】【解析】 由題意，可得， 在等腰直角中， ，則， 在中，由正弦定理， 在中，由余弦定理可得，所以，即兩點之間的距離為.11在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且bcosC=(3ac)cosBD為AC邊的中點，且BD=1，則ABD面積的最大值為_【答案】24【解析】因為bcosC=(3ac)cosB,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcocB=sin(B+C)=sinA ，cosB=13 ，D 為AC 邊的中點，2BD=BA+BC ，平方得4|BD|2=|BA|2+|BC|2+2BABC ，即4=a2+c2+2accosB ，整理得，a2+c2=42ac3,a2+c2=42ac32ac （當(dāng)且僅當(dāng)a=c 時取等號）,ac32,ac 的最大值為32 ，SABC=12acsinB1232223=22 ，D 為AC 邊的中點，SABC=12SABC1222=24 ，ABD 的面積的最大值為24 ，故答案為24.12在中， ， ， 分別是角， ， 的對邊， 的面積為， ，且，則_【答案】【解析】因為，所以可得 ，化簡得， ，又因為，根據(jù)正余弦定理可得 ，由得 ，所以 ，故答案為.【方法點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).一般來說 ,當(dāng)條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.評卷人得分三、解答題13已知向量m=(1,cosx),n=(sinx,3),(0) ，函數(shù)f(x)=mn ，且f(x)圖象上一個最高點為P(12,2)與P最近的一個最低點的坐標(biāo)為(712,2) .()求函數(shù)f(x)的解析式；()設(shè)a為常數(shù)，判斷方程f(x)=a在區(qū)間0,2上的解的個數(shù)；（）在銳角ABC中，若cos(3B)=1，求f(A) 的取值范圍.【答案】（1）f(x)=2sin(2x+3) （2）見解析（3）(3,3) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積得f(x)=mn=sinx+3cosx，再根據(jù)配角公式得f(x)=2sin(x+3).（2）根據(jù)自變量范圍畫出函數(shù)圖像，根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定交點個數(shù)（3）先根據(jù)條件求出銳角B，再根據(jù)銳角三角形確定角A范圍為6A2，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定f(A) 的取值范圍.試題解析：()f(x)=mn=sinx+3cosx =2(12sinx+32cosx) =2sin(x+3). 圖象上一個最高點為P，與P最近的一個最低點的坐標(biāo)為,T2=712-12=2，T=，于是=2T=2. 所以f(x)=2sin(2x+3). ()當(dāng)x 0,2時，32x+343，由f(x)=2sin(2x+3)圖象可知：當(dāng)a3,2)時，f(x)=a在區(qū)間0,2上有二解； 當(dāng)a-3,3)或a=2時，f(x)=a在區(qū)間0,2上有一解；當(dāng)a2時，f(x)=a在區(qū)間0,2上無解. （）在銳角中，.又，故，. 在銳角中,A2,6A2. 232A+343,sin(2A+3)(-32,32), f(A)=2sin(2A+3) (-3,3). 即的取值范圍是(-3,3).14ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c 已知邊c=2 ，且asinAasinB=2sinCbsinB （1）若sinC+sin（BA）=sin2A ，求ABC的面積；（2）記AB邊的中點為M，求CM 的最大值，并說明理由【答案】（1）見解析（2）3【解析】試題分析：（1）將已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosC ，然后將得出的等式代入計算求出cosC的值，即可確定出角C；（2）由CM=12CA+CBCM2=14CA2+CB2+2CBCA=14a2+b2+ab 又a2+b2=ab+4 ，即可求得CM的最大值試題解析：因為a=2 ，故asinAasinB=2sinCbsinBasinAasinB=csinCbsinBa2+b2c2=ab ，由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=12 ；（1）sinC+sin（BA）=sin2Asin（A+B）+sin（BA）=2sinAcosAsinBcosA=2sinAcosA，即cosA=0或sinB=sinAA=90或A=B 當(dāng)A=90時，B=30 ，b=ctan30=233 ，ABC的面積S=12bcsinA=233 當(dāng)A=B時，ABC為等邊三角形，S=1222sin60=3；（2）由于AB邊的中點為M，故，CM=12(CA+CB)CM2=14(CA2+CB2+2CBCA)=14(a2+b2+ab)因為c=2，C=60 ，故由余弦定理知，a2+b2=ab+4 ，于是CM2=12ab+1 ，而4+ab=a2+b22ab，ab4 ，故CM23， CM的 最大值為3 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2 時取等）【點評】本題考查了三角恒等變形，正余弦定理，考查了基本不等式、計算能力屬于中檔題15如圖，在ABC中，AB=2，cosB=，點D在線段BC上（1）若ADC=，求AD的長；（2）若BD=2DC，ADC的面積為，求的值【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：（1）求出 ,由正弦定理得 ，由此能求出 ；（2）推導(dǎo)出 ，