三角函數(shù)綜合應(yīng)用解題方法總結(jié)(超級(jí)經(jīng)典).doc

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)教案學(xué)員編號(hào)：XA0002390 年 級(jí)：高三 課 時(shí) 數(shù)： 3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：授課類型T同步：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形T同步：三角函數(shù)周期的求法 T同步： 三角函數(shù)圖象變換及解三角形星級(jí)教學(xué)目標(biāo)1. 三角函數(shù)整個(gè)知識(shí)是高考的重點(diǎn)，學(xué)生不僅需要掌握基本概念，也需要掌握一定的技巧方法；2. 掌握三角函數(shù)的整體知識(shí)體系，能夠熟練運(yùn)用。授課日期及時(shí)段2013/4/22 10:10-12:10教學(xué)內(nèi)容T同步：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形課堂引入：我們?cè)谌呛瘮?shù)整個(gè)知識(shí)方面不僅需要掌握所有的知識(shí)體系，在做題方面我們通常不知道如何下手，那么題目我們就沒有辦法了嗎？接下來(lái)老師和你分享一些解題的技巧方法。知識(shí)講解： 基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎?一巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，典例精講：例題1.已知，那么的值是_。例題2.已知，且，求值。例題3.已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_（答：1）；2）；3）二三角函數(shù)名互化(切化弦)，例題3.求值 （答：1）；例題4.已知，求的值 （答：）三公式變形使用。例題5.已知A、B為銳角，且滿足，則_ （答：）；例題6.設(shè)中，則是_三角形（答：等邊）四三角函數(shù)次數(shù)的降升例題7.若，化簡(jiǎn)為_ （答：）；例題8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_（答：）五式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。例題9. 求證：； 例題10.化簡(jiǎn)： （答：）六常值變換主要指“1”的變換（等），例題11.已知，求 （答：）.七正余弦“三兄妹”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”，例題12.若 ，則 _ （答：)，特別提醒：這里；例題13.若，求的值。 （答：）；例題14.已知，試用表示的值 （答：）。八輔助角公式（收縮代換）的應(yīng)用：(其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。例題14.若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_. （答：2,2）；例題15.當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，的值是_ (答：)；例題16.如果是奇函數(shù)，則= (答：2)；例題17.求值：_ (答：32)課后總結(jié)：T同步：三角函數(shù)周期及最值教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)講解：一三角函數(shù)周期的求法 1定義法：定義：一般地f(x)，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，（T）（）都成立，那么就把函數(shù)()叫做周期函數(shù)；不為零的常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小的正周期。下面我們談到三角函數(shù)的周期時(shí)，一般指的是三角函數(shù)折最小正周期。例1求函數(shù)y=3sin（）的周期解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）這就是說(shuō)，當(dāng)自變量由增加到x+3，且必增加到x+3時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。函數(shù)y=3sin（）的周期是T=3。2公式法：（1）如果所求周期函數(shù)可化為y=Asin（）、y=Acos（）、tan（）形成（其中A、為常數(shù)，且A0、0、R），則可知道它們的周期分別是：、。例2：求函數(shù)y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）這里=1 周期T=2（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函數(shù)，可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式，再確定它的周期。例3：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x這里=3，f（x）=sinxcosx的周期為T=3、把三角函數(shù)表達(dá)式化為一角一函數(shù)的形式，再利用公式求周期（轉(zhuǎn)化法）例4 求函數(shù)的周期 解： 例5 已知函數(shù)求周期 解： 4、遇到絕對(duì)值時(shí)，可利用公式 , 化去絕對(duì)值符號(hào)再求周期例6 求函數(shù) 的周期解： 二、三角函數(shù)最值問(wèn)題的幾種常見類型1.利用三角函數(shù)的有界性求最值利用正弦函數(shù)、余弦正數(shù)的有界性：sinx1,cosx1,可求形如y=Asin(x+),y=Acos(Asin(x+)(A0, 0)的函數(shù)最值.例1:已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1,xR,當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合.解：y=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必須且只需2x+=+2k，kZ.即 x=+k, kZ.所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x=+ k, kZ.2.反函數(shù)法 例2:求函數(shù)的值域分析 此為型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或 3.配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值例3：求函數(shù)y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,當(dāng)cos2x=1,即x= k,(kZ)時(shí)，y=min=-1, 當(dāng)cos2x=-1,即x= k+,( kZ)時(shí)，y=max=5.這里將函數(shù)f(x)看成關(guān)于cos2x的二次函數(shù)，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的最值值問(wèn)題了.4.引入輔助角法y=asinx+bcosx型處理方法：引入輔助角，化為y=sin（x+）,利用函數(shù)即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。例4：已知函數(shù)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合。分析 此類問(wèn)題為的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，它可通過(guò)降次化簡(jiǎn)整理為型求解。解： 5. 利用數(shù)形結(jié)合 例5： 求函數(shù)的最值。 解：原函數(shù)可變形為 這可看作點(diǎn)的直線的斜率，而A是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)。由下圖可知，過(guò)作圓的切線時(shí)，斜率有最值。由幾何性質(zhì)，6、換元法例6：若0x，求函數(shù)y=(1+)(1+)的最小值.解 y=(1+)(1+)=1+令 sinx+cosx=t(1t), 則sinxcosx=， y=1+=1+,由10,a1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，。8. 利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū)。例8： 求函數(shù)的最值。解：=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故。9. 利用圖像性質(zhì)例9： 求函數(shù)的最大值和最小值。 分析：函數(shù)的解析式可以變換成關(guān)于的二次函數(shù)，定義域?yàn)?，?yīng)該討論二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間的位置，才能確定其最值。 解： 設(shè) 10. 判別式法例10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解由y=3，tanx=-1，由11. 分類討論法含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問(wèn)題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。例11 ： 設(shè)，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則1. 當(dāng)，即在0，1上遞增， 2. 當(dāng)即時(shí)，在0，1上先增后減，3. 當(dāng)即在0，1上遞減， 附：1y=asinx+bcosx型的函數(shù)特點(diǎn)含有正余弦函數(shù)，并且是一次式方法解決此類問(wèn)題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù)。應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可：y=sin(x+j)，其中tgj=.（2005年廣東高考第15題）值域2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函數(shù)。特點(diǎn)含有sinx, cosx的二次式方法處理方式是降冪，再化為型1的形式來(lái)解。2005遼寧高考18題 何值時(shí)面積最大？3y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)特點(diǎn)含有sinx, cosx，并且其中一個(gè)是二次方法應(yīng)用sin2x+cos2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來(lái)求解。（2005年浙江高考第8題） 已知k0時(shí)）或向右（當(dāng)1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)01時(shí)）或縮短（當(dāng)0A c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，。5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。（3）在ABC中，熟記并會(huì)證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60；ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。典例解析：題型1：正、余弦定理（2009岳陽(yáng)一中第四次月考）.已知中，則（ ） A. B C D 或答案 C例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋?，或?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（2）對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器例2（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推論得：cos；cos；點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。題型2：三角形面積例3在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。 , +得：。 得：。從而。以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來(lái)，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？例4（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 答案 2解析 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，（I）求的面積； （II）若，求的值解 （1）因?yàn)?，又由得，?）對(duì)于，又，或，由余弦定理得，例6（2009全國(guó)卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、，已知，且 求b分析：:此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對(duì)已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對(duì)已知條件(2) 過(guò)多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.評(píng)析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問(wèn)題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練題型4：三角形中求值問(wèn)題例7的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例8（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，（I）求的面積； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以所以點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力題型5：三角形中的三角恒等變換問(wèn)題例9在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例10在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又ABC180，所以AC120，從而60，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過(guò)觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 北2010ABC 題型7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例13（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān)。（2）（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟解：方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，N的俯角；A，B的距