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暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文 題名 中英對照 含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 Stability Analysis for Systems with Two Additive Time varying Delay Components 作者姓名 指導(dǎo)教師姓名 及學(xué)位 職稱 學(xué)科 專業(yè)名稱 數(shù)學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期 2014 年 4 月 論文答辯日期 2014 年 5 月 答辯委員會主席 論文評閱人 學(xué)位授予單位和日期 暨南大學(xué) 獨(dú)獨(dú) 創(chuàng)創(chuàng) 性性 聲聲 明明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果 據(jù)我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫 過的研究成果 也不包含為獲得暨南大學(xué)暨南大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用 過的材料 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明 并表示謝意 學(xué)位論文作者簽名 簽字日期 年月日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解暨南大學(xué)暨南大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 有權(quán)保留 并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤 允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán) 暨南大學(xué)暨南大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索 可以采用影 印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存 匯編學(xué)位論文 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書 學(xué)位論文作者簽名 導(dǎo)師簽名 簽字日期 年月日簽字日期 年月日 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向 工作單位 電話 通訊地址 郵編 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 I 摘要摘要 時(shí)滯現(xiàn)象廣泛地存在各種實(shí)際系統(tǒng)中 如生物系統(tǒng) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 自動化系統(tǒng) 通信 系統(tǒng)等 造成時(shí)滯產(chǎn)生的原因有很多 比如系統(tǒng)元件老化導(dǎo)致測量存在時(shí)滯 機(jī)械磨損導(dǎo)致 信號的傳遞存在時(shí)滯 時(shí)滯常常造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定性 甚至性能變差 隨著科技的進(jìn)步 社 會的發(fā)展 系統(tǒng)越來越復(fù)雜 人們對系統(tǒng)的控制要求也越來越高 時(shí)滯的存在使得人們對系 統(tǒng)的分析和綜合變得更加困難和復(fù)雜 因此 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究得到了廣泛地關(guān)注 在分析國內(nèi)外文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上 本文對幾類時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性研究 并得到了系統(tǒng)的穩(wěn) 定性準(zhǔn)則 第一章是緒論 介紹了時(shí)滯系統(tǒng)的研究背景 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究概況 其中 著重介紹了一些常用的時(shí)滯穩(wěn)定性分析方法 第二章給出了本文所需基礎(chǔ)知識 包括 Lyapunov 穩(wěn)定性理論 相關(guān)引理以及符號說明 第三章討論了時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題 采用 任意分割法 用分割點(diǎn)將時(shí)滯區(qū)間分割成任意兩段 結(jié)合積分不等式 對于每一段區(qū)間的穩(wěn) 定性進(jìn)行分析 給出了穩(wěn)定性的充分條件 第四章研究含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng)的 穩(wěn)定性問題 通過考慮時(shí)滯與它們上界的關(guān)系 采用新的積分不等式處理技術(shù)估計(jì)積分交叉 項(xiàng) 第五章是研究含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的中立型時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題 基于 Lyapunov 函 數(shù) 通過將時(shí)滯分段 利用積分不等式對 Lyapunov 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出了新的界定方法 第六章 本章考慮了含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題 第七章 本章對含有 2 個(gè)相繼 時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的H 性能分析 考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯 數(shù)據(jù)包丟失等問題 設(shè) 計(jì)了狀態(tài)反饋控制器 建立了控制器存在的條件 提出了求解狀態(tài)反饋增益矩陣的方法 關(guān)鍵詞 相繼時(shí)滯 線性矩陣不等式 中立型時(shí)滯系統(tǒng) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 穩(wěn)定性 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 II Abstract It is known that the phenomena of time delay occur in many practical systems such as biological systems neural networks automatic systems and communication systems Time delays may be produced by many reasons e g the ageing of component and mechanical wear leads to the measurement and signal transmission The existence of time delay causes instability even poor performance With the advancement of technology and the development of social the systems become more complex and the requirements of the system control are also increasing The existence of time delay makes it more difficult and complicated to analyze and integrate the systems Hence much attention is received in stability analysis of the systems Based on the analysis of literature at home and abroad the stability of several types of time delay systems is investigated and some delay dependent stability criteria are obtained In Chapter 1 the introduction of the thesis is given including the research background the review of time delay systems and some common research methods In Chapter 2 the Lyapunov stability theory related lemmas and related symbols are given In Chapter 3 the stability problem of linear time varying delay systems is discussed Based on the delay dividing approach the delay interval is partitioned into two subintervals By using integral inequalities some delay dependent stability criteria are obtained In Chapter 4 the stability problem of time delay systems with two additive time varying delay components is studied Reciprocally convex method is used for estimating the upper bound of the derivate of the Lyapunov functional In Chapter 5 the stability problem of neutral delay systems with two additive time varying delay components is studied By constructing a new Lyapunov functional and combining with delay dividing approach and inequality method the stability conditions are given In chapter 6 the stability problem of neural networks is considered In Chapter 7 the problem ofH performance analysis is concerned Considering the network control system that includes the time delay and data packet dropouts the state feedback controller is designed The conditions of the existence of controller and the method for solving the state feedback gain are proposed Key words additive delay components linear matrix inequality neutral delay system neural networks stability network control system 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 III 目錄目錄 摘要 I Abstract II 目錄 III 第一章緒論 1 1 1時(shí)滯系統(tǒng)的研究背景 1 1 2時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究概況 2 1 3含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng) 4 1 4論文各章安排和創(chuàng)新之處 5 第二章基礎(chǔ)知識 7 2 1Lyapunov 穩(wěn)定性理論 7 2 2相關(guān)引理 8 2 3符號說明 10 第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 11 3 1引言 11 3 2系統(tǒng)模型描述 11 3 3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理 11 3 4不確定性線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理 17 3 5數(shù)值實(shí)例 20 3 6結(jié)論 22 第四章含有相繼時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 23 4 1引言 23 4 2系統(tǒng)模型描述 23 4 3主要結(jié)果 23 4 4數(shù)值實(shí)例 28 4 5結(jié)語 29 第五章含有相繼時(shí)變時(shí)滯的中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 30 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 IV 5 1引言 30 5 2系統(tǒng)模型描述 30 5 3主要結(jié)論 31 5 4數(shù)值實(shí)例 36 5 5結(jié)論 37 第六章含有相繼時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析 38 6 1引言 38 6 2系統(tǒng)模型描述 38 6 3主要結(jié)論 39 6 4數(shù)值實(shí)例 42 6 5結(jié)論 43 第七章網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 44 7 1引言 44 7 2系統(tǒng)模型描述 44 7 3穩(wěn)定性分析 45 7 4網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 50 7 5H 性能分析 52 7 6數(shù)值實(shí)例 55 7 7結(jié)論 60 第八章結(jié)論與展望 61 參考文獻(xiàn) 62 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 1 第一章第一章緒論緒論 1 1時(shí)滯系統(tǒng)的研究背景時(shí)滯系統(tǒng)的研究背景 在自然運(yùn)動和社會活動中 存在著各種量與量的關(guān)系 這種量與量關(guān)系的變化在數(shù)學(xué)上 用函數(shù)來描述 那些表示自變量 未知函數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 或微分 的關(guān)系的方程就是微分方 程 只含有一個(gè)自變量的微分方程就是常微分方程 常微分方程是解決實(shí)際問題的重要工具 在物理 化學(xué) 工程學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛 的應(yīng)用 例如 例例 1 1物體的冷卻定律 同一物體在外部介質(zhì)性質(zhì)及溫度相同 本身性質(zhì)及表面積相同 時(shí) 物體溫度下降速率只與外部與物體的溫差成正比 假設(shè)一個(gè)較周圍熱的物體溫度為T 周圍環(huán)境的溫度C K為一個(gè)常數(shù) 那么它們的關(guān)系可以表示為 T tK T tC 例例 1 2馬爾薩斯人口模型 英國人口學(xué)家馬爾薩斯在研究人口時(shí) 認(rèn)為在人口自然增長 的過程中 相對增長率為固定值 假設(shè)N為人口數(shù)量 r為生命系數(shù) 則它們的關(guān)系可以描寫 為 N trN t 從例 1 1 可以看出 T t 只和當(dāng)前的狀態(tài) T t 有關(guān) 和以前的狀態(tài)無關(guān) 例 1 2 也是類 似的 換句話說 它們的運(yùn)動變化趨勢只跟現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān) 獨(dú)立于以前的狀態(tài) 然而 事物 運(yùn)動是復(fù)雜多樣的 在許多系統(tǒng)中 系統(tǒng)存在著滯后現(xiàn)象 這種現(xiàn)象稱為 時(shí)滯 現(xiàn)象 時(shí)滯 現(xiàn)象廣泛地存在各類實(shí)際系統(tǒng)中 如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 自動化系統(tǒng) 通訊系統(tǒng) 等 系統(tǒng)的運(yùn)動變化趨勢不僅跟現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān) 還依賴于過去的狀態(tài) 這樣的系統(tǒng)稱為時(shí)滯 系統(tǒng) 下面給出幾個(gè)例子 例例 1 3在某水流控制系統(tǒng)中 當(dāng)給輸入端加水時(shí) 輸出端并不能馬上能流出水來 而是 要經(jīng)過一段時(shí)間 水經(jīng)過管道才能流出來 且輸入和輸出在數(shù)值上并沒有變化 假設(shè) y t表示 輸出 r t表示輸入 l為水管長度 v為水流速度 時(shí)滯 l v 則 y tr t 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 2 例例 1 4在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中 由于信號傳輸及神經(jīng)元之間固有的延遲時(shí)滯 在兩個(gè)神經(jīng) 元中會產(chǎn)生時(shí)滯 所以多時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 1 可以表示成 1 N ii i du t Cu tAg u tB g u tI dt 例例1 5能源消費(fèi)系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制模型 假設(shè) N t東部的能源需求量 u t為西部向 東部的能源輸出量 考慮到能源供需的時(shí)滯性 建立了我國東部西部聯(lián)動能源消費(fèi)系統(tǒng)的時(shí) 滯反饋控制模型 2 1 dN tN t rN tqu t dtK du t ku pN tc dt 由于系統(tǒng)元件老化和機(jī)器磨損 會導(dǎo)致系統(tǒng)的測量 信號的傳遞存在時(shí)滯 這往往致系統(tǒng) 性能下降 甚至穩(wěn)定性下降 時(shí)滯作為系統(tǒng)的一種本質(zhì)特性 不可能被完成消除 這使得穩(wěn)定 性分析具有重要的理論和實(shí)際價(jià)值 從而一直成為時(shí)滯系統(tǒng)分析理論的一個(gè)熱點(diǎn)問題 1 2時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究概況時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究概況 穩(wěn)定性分析是時(shí)滯系統(tǒng)研究的一個(gè)重要問題 是時(shí)滯系統(tǒng)分析和綜合的基礎(chǔ) 早在十七世 紀(jì)就出現(xiàn)過穩(wěn)定性的概念 19 世紀(jì)末 俄國數(shù)學(xué)家李雅譜諾夫開創(chuàng)性地提出求解非線性常微分 方程的李雅普諾夫函數(shù)法 從而奠定了穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ) 時(shí)滯系統(tǒng)的研究主要有兩種方法 頻域法和時(shí)域法 頻域法以研究系統(tǒng)傳遞函數(shù)為主 根 據(jù)時(shí)滯系統(tǒng)的特征根是否均具有負(fù)實(shí)部來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定 當(dāng)特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部 時(shí) 則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 而當(dāng)特征方程的根有正實(shí)部時(shí) 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 時(shí)域法以研究系統(tǒng)的狀態(tài)方程為主 克服了頻域法不能處理時(shí)變與參數(shù)攝動的弊端 而 且便于計(jì)算機(jī)計(jì)算 因此成為時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要方法 時(shí)域法的理論基礎(chǔ)是 Lyapunov Krasovskii 穩(wěn)定性定理和 Lyapunov Razumikhin 穩(wěn)定性定理 通過選取合適的 Lyapunov 函數(shù)來得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性的充分條件 正因?yàn)檫@樣 如何選取 Lyapunov 函數(shù)和采用 何種方法對 Lyapunov 函數(shù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行縮放是時(shí)滯穩(wěn)定性分析的一個(gè)重要的內(nèi)容 從 20 世紀(jì) 60 年代 Lyapunov 函數(shù)法應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題 Lyapunov 函數(shù)法成為 時(shí)域法中應(yīng)用最為廣泛的一種方法 20 世紀(jì) 90 年代 隨著求解凸優(yōu)化問題內(nèi)點(diǎn)法的提出 很 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 多控制問題都可以轉(zhuǎn)換成線性矩陣不等式 LMI 而得以解決 尤其是在 1995 年 隨著 MathWork 公司在軟件 Matlab 開發(fā)出 LMI 工具箱 使得線性矩陣不等式方法被廣泛得應(yīng)用于 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中 借助 Lyapunov 函數(shù)法 把時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式 的可行性問題或一類具有 LMI 約束的凸優(yōu)化問題 并以 LMI 的形式給出穩(wěn)定性的條件 Lyapunov 函數(shù)法最大的優(yōu)勢可以利用計(jì)算機(jī)軟件 如 Matlab 中的 LMI 工具箱 求解線性矩陣不 等式 一般來說 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則有兩種 一種是時(shí)滯無關(guān)準(zhǔn)則 另一種是時(shí)滯依賴準(zhǔn) 則 時(shí)滯無關(guān)準(zhǔn)則獨(dú)立于時(shí)滯 且不對時(shí)滯做任何限制 時(shí)滯依賴準(zhǔn)則包含著時(shí)滯信息 在許 多實(shí)際系統(tǒng)中 時(shí)滯是有界的 尤其是當(dāng)時(shí)滯非常小時(shí) 時(shí)滯依賴準(zhǔn)則比時(shí)滯無關(guān)準(zhǔn)則具有 更小的保守性 時(shí)滯依賴準(zhǔn)則涉及到時(shí)滯上確界問題 當(dāng)時(shí)滯在上確界以下時(shí) 系統(tǒng)是穩(wěn)定的 取得的時(shí) 滯上確界越大 說明時(shí)滯依賴準(zhǔn)則保守性越小 因此 時(shí)滯的上確界是評價(jià)時(shí)滯依賴準(zhǔn)則保守 性的指標(biāo) 為得到時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 許多學(xué)者提出了不同的方法 本文將介紹以下幾種常用的 方法 1 自由權(quán)矩陣法 對 Lyapunov 函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí) 往往會出現(xiàn)含有時(shí)滯的積分項(xiàng) 自由權(quán)矩陣 法主要通過引入自由權(quán)矩陣來處理 Lyapunov 函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的相關(guān)項(xiàng) 本質(zhì)上使應(yīng)用牛頓 萊布 尼 茨 公 式 為 處 理 積 分 項(xiàng) 1 t T t d t xs Z x s ds 文 獻(xiàn) 3 引 用 恒 等 式 1 2 0 t T t d t N x tx td tx s ds 其中N是任意的矩陣 可以任意選取 這樣可以通過 線性不等式矩陣的求解來去最優(yōu)值 從而減少了保守性 自由權(quán)矩陣法的優(yōu)勢在于不必對交叉 項(xiàng)進(jìn)行處理 但引入過多的變量會增加計(jì)算的復(fù)雜度 2 積分不等式法 積分不等式法主要思路是利用積分不等式對積分交叉項(xiàng)如 1 t T t xs Z x s ds 進(jìn)行放大處理 如果處理得到的上界越嚴(yán)格 保守性越小 積分不等式有很 多 例如 著名的 Jensen 不等式 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 4 T t t x tWWx t x sWx s ds x tWx t 由于積分不等式法沒有引入自由權(quán)矩陣 含有較少的決策變量 可以減少計(jì)算的復(fù)雜度 因此具有一定的優(yōu)勢 3 三重積分法 在考慮時(shí)滯穩(wěn)定性分析時(shí) 構(gòu)造的 Lyapunov 函數(shù)一般只有二重積分 三 重積分法主要思路是構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)時(shí) 引入三重積分項(xiàng) 例如 文獻(xiàn) 5 的 Lyapunov 函 數(shù)有 1 2 0 2 t T t xs U x s dsd d 對其求導(dǎo)后 含有積分項(xiàng) 1 2 2 t t x s U x s ds 再利用積分 不等式 11 22 1 222 2 tt TTTT s tt Hx s U x s dst HUHtx s U x s ds 對積分項(xiàng)進(jìn)行消除 由于這種方法利用了更多的時(shí)滯狀態(tài)信息 因此具有較小保守性 4 時(shí)滯分割法 時(shí)滯分割法將時(shí)滯分割成若干部分 構(gòu)造新的 Lyapunov 函數(shù) 例如 文 獻(xiàn) 6 把時(shí)滯區(qū)間分成相等兩部分 構(gòu)造一個(gè)含有中點(diǎn)時(shí)滯的 Lyapunov 函數(shù) 充分利用積分不 等式等方法 對每個(gè)區(qū)間進(jìn)行穩(wěn)定性分析 從而得到整個(gè)區(qū)間的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 利用這種方法 可以把時(shí)滯分割成 N 等分 從而得到保守性更小的準(zhǔn)則 然而 隨著分割數(shù)目的增大 得到 的線性不等式也會變得很復(fù)雜 計(jì)算的消耗的時(shí)間也會越來越多 1 3含有相繼含有相繼時(shí)變時(shí)變時(shí)滯時(shí)滯的系統(tǒng)的系統(tǒng) 在眾多關(guān)于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的文獻(xiàn)中 通常假設(shè)狀態(tài) x t含有單個(gè)時(shí)滯或多個(gè)具有 相同性質(zhì)的時(shí)滯 然而 文獻(xiàn) 8 指出 在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中 由于網(wǎng)絡(luò)傳輸條件的變化 當(dāng)信 號經(jīng)過網(wǎng)絡(luò) 從一端傳輸?shù)搅硪欢藭r(shí) 會導(dǎo)致產(chǎn)生不同性質(zhì)的相繼時(shí)變時(shí)滯 一個(gè)這種情況 的例子就是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 如圖 1 1 由圖 1 1 知 k 是從傳感器到控制器的產(chǎn)生的時(shí)滯 k d是從控制器到執(zhí)行器的產(chǎn)生的時(shí) 滯 由于網(wǎng)絡(luò)傳輸條件的變化 這兩種時(shí)滯性質(zhì)是不一樣的 因此不能把它們合并在一起 由控制理論的知識可知 圖 1 1 的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為 kk x tAx tBKx ttd t 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5 因此 文獻(xiàn) 8 創(chuàng)造性地提出了含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的新的線性系統(tǒng) 112 x tAx tAx th th t 隨后 文獻(xiàn) 9 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上提出了含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 12 t t x tCx tAg x tBg x tddu 本文主要是對幾類含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)進(jìn)行研究 圖 1 1網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng) 1 4論文各章安排和創(chuàng)新之處論文各章安排和創(chuàng)新之處 本文主要討論了幾類時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性 主要的研究方法是運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論 積分不等式法等 主要的內(nèi)容和創(chuàng)新之處如下 第一章是緒論 介紹了時(shí)滯系統(tǒng)的研究背景 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究概況 其中著重介 紹了一些常用的時(shí)滯穩(wěn)定性分析方法 第二章給出了本文所需基礎(chǔ)知識 包括Lyapunov穩(wěn)定性理論 相關(guān)引理以及符號說明 第三章在時(shí)滯線性系統(tǒng)已有研究成果的基礎(chǔ)上 采用任意分割法 用分割點(diǎn) 12 1 hhh 將時(shí)滯區(qū)間分割成任意兩段 結(jié)合積分不等式 對于每一段區(qū)間的穩(wěn)定性 進(jìn)行分析 給出了穩(wěn)定性的充分條件 第四章研究含有2個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題 通過考慮時(shí)滯與它們上界的 關(guān)系 采用新的積分不等式處理技術(shù)估計(jì)積分交叉項(xiàng) 適當(dāng)?shù)胤糯驦yapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 得 c u c x 傳感器執(zhí)行器 被控對像 網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯 k dt 網(wǎng) 絡(luò) 時(shí) 滯 k t 控制器 xu 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 6 到了改進(jìn)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 第五章是研究含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的中立型時(shí)滯的穩(wěn)定性問題 基于 Lyapunov 函數(shù) 通過將時(shí)滯 d t 分段 利用積分不等式對 Lyapunov 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出了新的界定方法 第六章 本章討論了含有 2 個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題 利用 Lyapunov 泛 函和線性矩陣不等式方法 我們得到了新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 第七章 本章對含有2個(gè)相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的H 性能分析 考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在 網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯 數(shù)據(jù)包丟失等問題 設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器 建立了控制器存在的條件 提出了 求解狀態(tài)反饋增益矩陣的方法 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 7 第二章第二章基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 2 1Lyapunov 穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性理論 一般地 時(shí)滯系統(tǒng)可以表示成 0 0 0 x tf t x ttt x th 2 1 其中 n x t 是狀態(tài)向量 n f t x 是向量函數(shù) h為系統(tǒng)的最大時(shí)滯 方程 2 1 表示狀態(tài)向量 x t在時(shí)間t的導(dǎo)數(shù) x t 不僅跟時(shí)間t有關(guān) 還跟狀態(tài)向量 x t有關(guān) 如果存在某 個(gè)狀態(tài)向量x 使得 000 xf t xx txtt 則稱x 為系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 定義定義 2 1 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定 如果對任意給定的0 存在 0 0 t 使得 00 xt 時(shí) 均有 0 x ttt 則稱方程 2 1 的零解 0 x t是穩(wěn)定的 定義定義 2 2 時(shí)滯系漸近統(tǒng)穩(wěn)定 如果方程 2 1 的 0 x t是穩(wěn)定的 對任意給定的0 存 在 00 0 t 使得 000 xt 時(shí) 均有 0 lim 0 t x ttt 則稱方程 2 1 的零解 0 x t是漸 近穩(wěn)定的 定義定義 2 3對任意函數(shù) n a b 定義范函數(shù) max c ab 其中 表示 2 范數(shù) 在研究系統(tǒng)穩(wěn)定 最常用的方法是 Lyapunov 第二方法 即借助構(gòu)造一個(gè)特殊的 V t x函 數(shù) 利 用 V t x函 數(shù) 及 其 導(dǎo) 數(shù) 的 性 質(zhì) 來 確 定 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 有 兩 個(gè) 基 本 定 理 Lyapunov Krasovskii 穩(wěn)定性定理和 Lyapunov Razumikhin 穩(wěn)定性定理 定理定理 2 1 Lyapunov Krasovskii 穩(wěn)定性定理 考慮系統(tǒng) 2 1 n f 表示從實(shí)數(shù) 域 及連續(xù)函數(shù)的有界集 映射到 n 的有界集 u v w 均為連續(xù)非減函數(shù) v為嚴(yán) 格增函數(shù) 且當(dāng)0s 時(shí) u s v s 均為正數(shù) 且滿足 0 0 0 uv 如果存在連續(xù)可微函數(shù) 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 8 n V 使得 0 0 c uV tv 并且沿著系統(tǒng) 2 1 的軌跡有 0 V tw 則系統(tǒng)的零解一致穩(wěn)定 若 0 0 w ss 則系統(tǒng)零解一致漸進(jìn)穩(wěn)定 定理定理 2 2 Lyapunov Razumikhin 穩(wěn)定性定理 考慮系統(tǒng) 2 1 n f 表示從實(shí)數(shù) 域 及連續(xù)函數(shù)的有界集 映射到 n 的有界集 u v w 均為連續(xù)非減函數(shù) v為嚴(yán) 格增函數(shù) 且當(dāng)0s 時(shí) u s v s 均為正數(shù) 且滿足 0 0 0 uv 如果存在連續(xù)可微函數(shù) n V 使得 u xV t xv x 并且沿著系統(tǒng) 2 1 的軌跡有 如果 0 V tx tV t x th 時(shí) V t x tw x t 則系統(tǒng)的零解一致穩(wěn)定 若 0 0 w ss 且存在一個(gè)連續(xù)非減函數(shù) 0 0 P ss 使得下列 式子成立 當(dāng)如果 0 V tx tp V t x th 時(shí) V t x tw x t 則系統(tǒng)零解一致漸近穩(wěn)定 2 2相關(guān)引理相關(guān)引理 本節(jié)將集中介紹論文中用到的一些基本引理 引理引理 2 1 4 對于任意矩陣 n n WR 標(biāo)量0 向量函數(shù) x 0 n R 的積分項(xiàng) t t x s W x s ds 有定義 則 T t t x tWWx t x sWx s ds x tWx t 引理引理 2 2 7 對于任意矩陣 n n MR 12 hh th 向量函數(shù) x 21 n hhR 的積分項(xiàng) 1 2 21 t h t h hhx s M x s ds 有定義 則 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 9 1 2 21 t h T t h hhx s M x s dstt 其中 1 2 x th tx th t x th 0 2 MM MM M 引理引理 2 3 24 對于給定矩陣 1112 22 SS S S 其中 11112222 TT SSSS 則下列兩個(gè)條件是等價(jià)的 1 0S 2 1 2211122212 0 0 T SSS S S 引理引理 2 4 6 具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣 U T W QQ 則 0 TTT QUF t WW Ft U 對任意 T Ft F tI 成立的充要條件是存在正數(shù) 使得 1 0 TT QUUW W 成立 引理引理 2 5 14 對于 1 0 1 1 N ii i k tk t 向量 i t 滿足當(dāng) 0 i k t 時(shí) 0 i t 正定矩陣 0 i R 若存在 1 1 1 ij SiNjiN 滿足0 iij j RS R 那么下列不等式成立 1111 1 1 T N N T iii i i NNN RS R k t R 引 理引 理2 6 16 對 于 任 何 正 定 矩 陣 n n ZR 標(biāo) 量 1 2 3 4 i r r i 且 滿 足 214213 0 0 rrrr rrrrr 向量函數(shù) 在下列相關(guān)的積分有定義 若存在矩陣T 滿 足0 ZT Z 那么下列不等成立 24 13 22 11 44 33 1 rr TT rr T rr rr rr rr s Zs dss Zs ds s dss ds ZT Zr s dss ds 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 10 引理引理 2 7 42 具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣 123 則 13223 0 TT 的充要條件是存在 0W 使得 1 13322 0 TTT WW 成立 2 3符號說明符號說明 本文將用到的符號 其表示的意義說明如下 I單位矩陣 n n維歐式空間 n m n m 維矩陣 T矩陣轉(zhuǎn)置 矩陣相應(yīng)的對稱部分 Euclidean范數(shù) 0P 正定矩陣P AB AB 是正定矩陣 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文混合時(shí)滯模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性與同步研究 11 第三章第三章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3 1引言引言 線性系統(tǒng)是一種常見的系統(tǒng) 本章主要研究時(shí)變時(shí)滯的線性系統(tǒng) 文獻(xiàn) 31 32 采用了中 點(diǎn)法 用區(qū)間時(shí)滯中點(diǎn) 12 2hhh 將區(qū)間時(shí)滯分割成相等的兩部分 然而分割點(diǎn)為區(qū)間時(shí) 滯中點(diǎn)時(shí) 得到的 2 h的最大允許時(shí)滯上界不一定是任意區(qū)間時(shí)滯分割時(shí)獲得的時(shí)滯上界的最 大值 因此 本章不是把時(shí)滯分割成相等的兩個(gè)區(qū)間 而是用分割點(diǎn) 12 1 hhh 將時(shí)滯 區(qū)間分割成任意兩段 結(jié)合積分不等式 對于每一段區(qū)間的穩(wěn)定性進(jìn)行分析 得到了新的穩(wěn) 定性準(zhǔn)則 3 2系統(tǒng)模型描述系統(tǒng)模型描述 考慮下面帶有區(qū)間時(shí)滯的線性系統(tǒng) 1 2 0 0 x tAx tAx th tt x ttth 3 1 其中 x t是狀態(tài)向量 1 A A是具有相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣 t 是初始狀態(tài)函數(shù) 時(shí)滯函數(shù) h t 可微 且滿足 12 0 0hh thh tdt 3 2 其中 12 h h和d是常數(shù) 3 3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理 定理定理 3 1 對于常數(shù)01 12 0 0hhd 系統(tǒng) 3 1 漸近穩(wěn)定 如果存在正定矩陣 12345123 P Q Q Q Q Q M MM使得下列四個(gè)線性矩陣不等式同時(shí)成立 1 0 1 2 i i 3 3 2 0 3 4 j j 3 4 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 12 其中 11121 1 2233 33 1 442 55 00 0 00 M MM M 11121 2 2222 333 2 44 55 00 0 0 0 M MM M 113451 TT PAA PQQQMAA 1211 T PAAA 1 2253311 1 TT d QMMAA 2 2252211 1 TT d QMMAA 332313 QQMM 4412423 QQQMM 5512 QM 22222 11212213 1 h MhhMhhM 13 000 000 T IIMII 23 00 0 00 0 T IIMII 32 000 000 T IIMII 42 000 000 T IIMII 證明構(gòu)造如下 Lyapunov 函數(shù) 3 1 i i V tV t 3 5 其中 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 13 1 T V txt Px t 1 21 21234 t ht htt TTTT t ht ht ht h V tx s Qx s dsx s Q x s dsx s Qx s dsx s Q x s ds 5 t T t h t xs Q x s ds 1 12 0 3112213 ththt hththt V thx s M x s dshhx s M x s dsh hx s M x s ds 其中 12 1 hhh 對 V t沿著系統(tǒng) 3 1 軌線求導(dǎo)得 1 2 T V txt Px t 3 6 23451231124 TTT V tx t QQQ x tx t h QQ x t hx t h QQQ x t h 2125 1 TT x th Qx thd x th t Q x th t 3 7 1 222 311221311 t T t h V txt h Mhh MhhM x thx s M x s ds 1 2 2213 t ht h t ht h hhx s M x s dsh hx s M x s ds 3 8 由引理 2 1 可得 1 11 11 1 11 t t h TT hx s M x s ds MMx t x tx th Mx th 3 9 對于0 th t 必定落在區(qū)間 1 h h或者區(qū)間 2 h h 因此分兩種情況進(jìn)行討論 第一種情況 當(dāng) 1 hh th 時(shí) 2 22 22 2 22 t h t h TT hhx s M x s ds MMx th xthxth Mx th 3 10 1 11 13 313 313 3 11 t h t h t h tt h t t ht h t ht h t h tt h t hhx s M x s ds hh tx s M x s dsh thx s M x s ds hh tx s M x s dsh thx s M x s ds 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 14 由引理 2 1 可得 3 33 3 t h t t h TT hh tx s M x s ds MMx th t xth txth Mx th 3 12 1 13 331 1 3 t h t h t TT h thx s M x s ds MMx th xthxth t Mx th t 3 13 設(shè) 1 1 h th hh 則 13 13 3 t h t t h t h t t h t h t t h h thx s M x s ds hhx s M x s ds hh tx s M x s ds 33 3 T MMx th tx th t Mx thx th 3 14 1 1 1 3 13 13 3311 3 1 1 1 t h t h t t h t h t t h t h t T hh tx s M x s ds hhx s M x s ds h thx s M x s ds MMx thx th Mx th tx th t 3 15 由式 3 6 3 15 可得 112 1112 1 1 TT TT V ttt tt 3 16 其中 12 TTTTTT tx t x th tx thx th x th 由于01 1112 1 是 11 和 12 的一個(gè)凸組合 可以 看出 如果線性矩陣不等式 3 3 成立 則 1112 1 0 從而 0V t 第二種情況 當(dāng) 2 hh th 時(shí) 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 15 1 13 331 1 3 t h t h TT hhx s M x s ds MMx th xthxth Mx th 3 17 2 22 22 222 222 t h t h t h tt h t t ht h t ht h t h tt h t hhx s M x s ds hh tx s M x s dsh thx s M x s ds hh tx s M x s dsh thx s M x s ds 3 18 2 22 22 2 22 t h t t h TT hh tx s M x s ds MMx th t xth txth Mx th 3 19 2 22 2 t h t h t TT h thx s M x s ds MMx th xthxth t Mx th t 3 20 設(shè) 2 h th hh 則 2 2 2 2 22 22 t h t t h t h t t h t h t t h h thx s M x s ds hhx s M x s ds hh tx s M x s ds 22 222 T x th tMMx th t x thMx th 3 21 22 22 2 22 2 1 1 1 t h t h t t h t h t t h t h t T hh tx s M x s ds hhx s M x s ds h thx s M x s ds MMx thx th Mx th tx th t 3 22 由式 3 9 3 12 及式 3 17 3 23 可得 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 16 234 2324 1 1 T T V ttt tt 類似于第一種情況 可以得到 如果線性矩陣不等式 3 4 成立 那么 0V t 結(jié)合上述兩種情況 對于 12 0 hh th 如果線性矩陣不等式 3 3 3 4 同時(shí)成立 那么 0V t 由 Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知 系統(tǒng) 3 1 是漸近穩(wěn)定的 證畢 當(dāng)時(shí)滯函數(shù) h t不可微或者d未知時(shí) 通過消除 5 Q 可以得到以下定理 定理定理 3 2對于給定的常數(shù) 12 0 hh 01 系統(tǒng) 3 1 漸近穩(wěn)定 如果存在正定矩陣 1234123 P Q Q Q Q M MM使得下列四個(gè)線性矩陣不等式同時(shí)成立 1 2 0 1 2 0 3 4 i j i j 其中 11121 1 2233 1 33 442 55 00 0 00 M MM M 11121 2 2222 2 333 44 55 00 0 0 0 M MM M 11341 TT PAA PQQMAA 1 223311 TT MMAA 2 222211 TT MMAA 12334455 1 2 3 4 i i 的定義同定理 3 1 注 1 當(dāng)0 5 時(shí) 則 12 2hhh 即分割點(diǎn)是中點(diǎn) 因此時(shí)滯中點(diǎn)法是定理 3 1 的一 種特殊情況 當(dāng) 取值不同時(shí) 對時(shí)滯的分割也不一樣 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 17 注 2 定理 3 1 沒有引入自由權(quán)矩陣 對時(shí)滯任意分割 用凸組合法對 Lyapunov 函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了新的界定 由于新的準(zhǔn)則更多地考慮了時(shí)滯與時(shí)滯上界的關(guān)系 本章結(jié)論具有較小 的保守性 3 4不確定性線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理不確定性線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理 考慮如下不確定系統(tǒng) 11 2 0 0 x tAA x tAA x th tt x ttth 3 23 其中不確定參數(shù)矩陣 1 AA 是范數(shù)有界不確定性系統(tǒng) 滿足 11 AADF t E E 其中 1 D E E是具有相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣 F t是未知矩陣 且滿足 T Ft F tI 定理定理 3 3對于給定的常數(shù) 12 0 0 hhd 01 系統(tǒng) 3 23 漸近穩(wěn)定 如果存在正定矩陣 1 P Q 2345123 Q Q Q Q M MM 及正數(shù) 12 使得下列矩陣不等式成立 1112 22 0 1 2 ii i i i 3 24 其中 1111 1 22331 133 11 442 55 00 0 000 0 0 T T PAMA MMA M 1111 2 22221 2333 11 44 55 00 0 00 00 0 T T PAMA MMA M 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 18 12 1 0000 1 2 0000 TT i T ii D PD i EE 22 0 1 2 ii i I i I 113451 T PAA PQQQM 1 22533 1 T d QMM 2 22522 1 T d QMM 332313 QQMM 4412423 QQQMM 5512 QM 22222 11212213 1 h MhhMhhM 證明構(gòu)造同定理 3 1 一樣的 Lyapunov 函數(shù) 對含有積分項(xiàng)處理不一樣 第一種情況 當(dāng) 1 hh th 時(shí) 有引理 2 1 得 2 22 22 2 22 t h t h TT hhx s M x s ds MMx th xthxth Mx th 3 25 由引理 2 2 得 1 13 33 1331 3 0 2 t h t h T hhx s M x s ds MM tMMt M 3 26 其中 11 TTTT txthxth txth 由式 3 9 3 15 3 16 得 1 TT V ttt 3 27 其中 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 19 111121 1 2233 33 1 442 55 00 0 00 PAM MM M 1 TTT PDF t EE Ft D P 21 PDF t E 11 0 0 0 ADF t E ADF t E 22222 11212213 1 h MhhMhhM 1 1122334455 的定義同式 3 4 由引理 2 3 可知 如果 1 0 T 則 1 0 T 3 28 不等式 3 28 等價(jià)于 1 11 0 TTT UF t WW Ft U 3 29 其中 0 0 0 0 TTT UD PD 1 0 0 0 0 WE E 由引理 2 3 和引理 2 4 不等式 3 27 可表示為 1 T V ttt 第二種情況 當(dāng) 2 hh th 時(shí) 1 13 331 1 3 t h t h TT hhx s M x s ds MMx th xthxth Mx th 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 20 2 22 22 2222 2 0 2 t h t h T hhx s M x s ds MM tMMt M 其中 22 TTTT txthxth txth 類似于第一種情況 可得 2 T V ttt 綜合上述兩種情況 可知只要 1 0 和 2 0 0V t 因此 系統(tǒng) 3 23 漸近穩(wěn)定 如 果不等式 3 24 滿足 證明完畢 3 5數(shù)值實(shí)例數(shù)值實(shí)例 例例 3 1考慮具有如下系數(shù)矩陣的線性系統(tǒng) 1 2010 00 911 AA 由于系統(tǒng)的最大允許時(shí)滯上界與 的精度有關(guān) 我們假設(shè) 的精度為 0 01 則 的取值是 0 01 0 02 0 99 把每個(gè) 的值作為已知數(shù) 利用 Matlab 的 LMI 工具箱 可以求的相應(yīng)的 最大允許時(shí)滯上界 取這些最大允許時(shí)滯上界的最大值作為系統(tǒng)的最大允許時(shí)滯上界 利用定理 3 1 當(dāng) 1 0 5 0dh 時(shí) 系統(tǒng) 3 1 在 0 59 時(shí) 取得最大允許時(shí)滯上界 2 2 2562h 當(dāng) 1 0 5 1dh 時(shí) 系統(tǒng) 3 1 在 0 24 時(shí)取得系統(tǒng)的最大允許時(shí)滯上界 2 2 3298 h 見表 3 1 當(dāng) 1 0 2 0 dh 系統(tǒng) 3 1 在 0 52 時(shí)取得最大允許時(shí)滯上界 2 3 3813 h 見表 3 2 與文獻(xiàn) 16 17 相比 本章方法具有較小保守性 取系統(tǒng)的初始狀態(tài)界 0 0 4 1 x 時(shí)滯為 1 其響應(yīng)如圖 3 1 經(jīng)過不到 4 秒的時(shí)間表 系統(tǒng)回到了平衡狀態(tài) 說 明系統(tǒng)穩(wěn)定 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 21 表 3 10 5d 時(shí) 對不同的 1 h的最大允許時(shí)滯上界 2 h 1 h 01 文獻(xiàn) 16 2 042 07 文獻(xiàn) 17 2 082 15 定理 3 32 1940 2 2792 定理 3 12 25622 3298 表 3 2 1 0 2 0dh 時(shí) 最大允許時(shí)滯上界 2 h 方法文獻(xiàn) 4 文獻(xiàn) 6 定理 3 3定理 3 1 2 h 3 033 163 329363 3813 00 511 522 533 544 55 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Tim e s x t x1 t x2 t 圖 3 1 狀態(tài)響應(yīng)圖 例例 3 2考慮具有如下系數(shù)矩陣的不確定線性系統(tǒng) 1 201010 011101 AAD 1 1 600 10 00 0500 3 EE 假設(shè) 的精度為 0 1 當(dāng)1 0h 時(shí) 對不同的時(shí)滯變化率d 系統(tǒng) 3 23 最大允許時(shí)滯上界2 h 暨南大學(xué)碩士學(xué)位論文含有相繼時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 22 值見表 3 3 當(dāng)0 1d 時(shí) 文獻(xiàn) 15 的最大允許時(shí)滯上界為 1 1075 而由定理 3 1 令0 5 計(jì)算得到最大允許時(shí)滯上界為 1 1782 由表 3 3 知 與文獻(xiàn) 17 18 相比 本章方法具有較小保 守性 取系統(tǒng)的初始狀態(tài)界 時(shí)滯為 0 6 其響應(yīng)如圖 3 2 表 3 3 1 0h 時(shí) 對不同d的最大允許時(shí)滯上界2 h d0 50 9 文獻(xiàn) 17 0 93220 7590 文獻(xiàn) 18 0 9561 0 8919 定理 3 3 0 4 0 99670 9233 定理 3 3 0 5 1 00430 9131 00 511 522 533 544 55 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 Tim e s x t x1 t x2 t 圖 3 2狀態(tài)響應(yīng)圖 3 6結(jié)論結(jié)論 本章研究了帶有區(qū)間時(shí)滯的線性系統(tǒng)和不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題 利用時(shí)滯分割 法 并結(jié)合積分不等式 得到了線性系統(tǒng)的