河北省暉中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1 數(shù)列學(xué)案 新人教B版必修5(1).doc

第二章數(shù)列2.1數(shù)列1從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題例如，類比單調(diào)函數(shù)的定義得出單調(diào)數(shù)列的判斷方法即：數(shù)列an單調(diào)遞增an1an對(duì)任意n (nn*)都成立；數(shù)列an單調(diào)遞減an1an對(duì)任意n (nn*)都成立另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性(離散型)，由于它的定義域是n*或它的子集1,2，n，因而它的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不像我們前面所研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線例如：已知an，則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()aa1，a30 ba1，a9ca10，a9 da10，a30解析an1點(diǎn)(n，an)在函數(shù)y1的圖象上在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1的圖象由圖象易知當(dāng)x(0，)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減a9a8a7a1a11a301.所以，數(shù)列an的前30項(xiàng)中最大的項(xiàng)是a10，最小的項(xiàng)是a9.答案c2了解一點(diǎn)周期數(shù)列的知識(shí)類比周期函數(shù)的概念可以得出周期數(shù)列的定義：對(duì)于數(shù)列an，若存在一個(gè)大于1的自然數(shù)t(t為常數(shù))，使antan，對(duì)一切nn*恒成立，則稱數(shù)列an為周期數(shù)列，t就是它的一個(gè)周期易知，若t是an的一個(gè)周期，則kt (kn*)也是它的周期，周期最小的那個(gè)值叫最小正周期例如：已知數(shù)列an中，a1a (a為正常數(shù))，an1 (n1,2,3，)，則下列能使ana的n的數(shù)值是()a15 b16 c17 d18解析a1a，a2，a3，a4a，a5，.a4a1，a5a2，依次類推可得：an3an，an為周期數(shù)列，周期為3.a1a，a3k1a1a.答案b3數(shù)列的前n項(xiàng)和sn與an的關(guān)系對(duì)所有數(shù)列都有：sna1a2an1an，sn1a1a2an1 (n2)因此，當(dāng)n2時(shí)，有：ansnsn1.當(dāng)n1時(shí)，有：a1s1.所以an與sn的關(guān)系為：an.注意這一關(guān)系適用于所有數(shù)列例如：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn(n1)2n1，則an_.解析當(dāng)n1時(shí)，a1s11，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(n1)2n1(n2)2n11(n1)2n(n2)2n1n2n1.所以通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一為ann2n1.答案n2n14由簡單的遞推公式求通項(xiàng)公式(1)形如an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求和，采用累加法求an.即：ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(n1)a1f(i)(2)形如an1f(n)an，且f(1)f(2)f(n)可化簡，采用累乘法求an.即ana1a1f(1)f(2)f(n1)a1f(i)(注：為連加求和符號(hào)，為連乘求積符號(hào))(3)形如an1aanb (ab0且a1)設(shè)an1xa(anx)，則：an1aan(1a)x由(1a)xb，xan1aanaa2an1anan1(1an1)an1a1.一、觀察法寫數(shù)列的通項(xiàng)公式方法鏈接：根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，要寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，其關(guān)鍵在于觀察、分析數(shù)列的前幾項(xiàng)的特征、特點(diǎn)，找到數(shù)列的一個(gè)構(gòu)成規(guī)律根據(jù)此規(guī)律便可寫出一個(gè)相應(yīng)的通項(xiàng)公式注意以下幾點(diǎn)：(1)為了突出顯現(xiàn)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，可把序號(hào)1,2,3，標(biāo)在相應(yīng)項(xiàng)上，這樣便于突出第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，即an如何用n表示(2)由于給出的數(shù)列的前幾項(xiàng)是一些特殊值，必然進(jìn)行了化簡，因此我們要觀察出它的構(gòu)成規(guī)律，就必須要對(duì)它進(jìn)行還原工作如數(shù)列的前幾項(xiàng)中均用分?jǐn)?shù)表示，但其中有幾項(xiàng)分子或分母相同，不妨把這幾項(xiàng)的分子或分母都統(tǒng)一起來試一試(3)當(dāng)一個(gè)數(shù)列出現(xiàn)“”、“”相間時(shí)，應(yīng)先把符號(hào)分離出來，即用(1)n或(1)n1表示，然后再考慮各項(xiàng)絕對(duì)值的規(guī)律(4)熟記一些基本數(shù)列的前幾項(xiàng)以及它們的變化規(guī)律(如增減速度)，有利于我們寫出它的通項(xiàng)公式例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，；(2)，2，8，；(3)1,3,6,10,15，； (4)7,77,777，；(5)0,3,8,15,24，； (6)1，.解(1)注意前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)的分子為4，不妨把分子統(tǒng)一為4，即為，于是它們的分母相差3，因而有an.(2)把分母統(tǒng)一為2，則有：，因而有an.(3)注意623,1025,1535，規(guī)律還不明顯，再把各項(xiàng)的分子和分母都乘以2，即，因而有an.(4)把各項(xiàng)除以7，得1,11,111，再乘以9，得9,99,999，.因而有an(10n1)(5)觀察數(shù)列遞增速度較快，有點(diǎn)像成平方地遞增，不妨用平方數(shù)列對(duì)照看一看，即1,22,32,42,52，則有ann21.(6)顯然各項(xiàng)的分子均為1，其關(guān)鍵在于分母，而分母的規(guī)律不是很明顯，注意到分母組成的數(shù)列1,3,7,13,21，遞增速度也有點(diǎn)像平方數(shù)列，不妨從每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)減去平方數(shù)列的項(xiàng)組成數(shù)列0,1,2,3,4，其規(guī)律也就明顯了故an.二、數(shù)列的單調(diào)性及最值方法鏈接：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此可用函數(shù)的單調(diào)性的研究方法來研究數(shù)列的單調(diào)性例2在數(shù)列an中，an(n1)n (nn*)試問數(shù)列an的最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)？解方法一an(n1)n (nn*)an1an(n2)n1(n1)nn，當(dāng)n8時(shí)，anan1，an遞增，即a1a2a8an1，an遞減，即a10a11a12.又a9a10.數(shù)列an的最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)方法二令1 (n2)，即1.整理得.解得n10.令1，即1.整理得，解得n9.所以從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減因此數(shù)列an先遞增，后遞減a1a2a11a12，且a9a10.數(shù)列an中的最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)三、數(shù)列的周期性及運(yùn)用方法鏈接：通俗地講，數(shù)列中的項(xiàng)按一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，這樣的數(shù)列就應(yīng)考慮是否具有周期性，其周期性往往隱藏于數(shù)列的遞推公式中，解周期數(shù)列問題的關(guān)鍵在于利用遞推公式算出前若干項(xiàng)或由遞推公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出周期而獲解例3已知數(shù)列an，a11，a23，anan1an2 (n3)，那么a2 010與s2 009依次是()a1,3 b3,1c2,2 d2，2解析anan1an2，an1anan1(an1an2)an1an2.由an1an2，an3an.an6an3(an)an.an為周期數(shù)列，且周期t6.a2 010a6a3a1a22.a1a2a3a4a5a6(a1a4)(a2a5)(a3a6)0000，且2 010是6的倍數(shù)，s2 0100.s2 009s2 010a2 0100a2 0100(2)2.答案c四、已知前n項(xiàng)和sn，求通項(xiàng)an方法鏈接：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn，求an，先由n1時(shí)，a1s1，求出a1，再由ansnsn1 (n2)求出an，最后驗(yàn)證a1與an能否統(tǒng)一，若能統(tǒng)一要統(tǒng)一成一個(gè)代數(shù)式，否則分段表示例4已知下列各數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn的公式，求an的通項(xiàng)公式(1)sn(1)n1 n；(2)sn3n2.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1s11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(1)n(n)(1)n(n1)(1)n(2n1)由于a1也適合此等式，因此an(1)n(2n1) (nn*)(2)當(dāng)n1時(shí)，a1s11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn123n1.所以an五、由遞推公式求通項(xiàng)an方法鏈接：由遞推公式求通項(xiàng)公式主要觀察遞推公式的特征，合理選擇方法需要理解一點(diǎn)，對(duì)anan1n (n2)不僅僅是一個(gè)式子而是對(duì)任意的n2恒成立的無數(shù)個(gè)式子，正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，在已知遞推公式求通項(xiàng)公式的題目中如何將無數(shù)個(gè)式子轉(zhuǎn)化為an，就是解題的關(guān)鍵所在另外遞推公式具有遞推性，故由a1再加上遞推公式可以遞推到an.例5由下列數(shù)列an的遞推公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a11，anan1n (n2)；(2)a11， (n2)解(1)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，anan1n，an1an2n1，a3a23，a2a12.將上述各式累加得，ana1n(n1)32，即ann(n1)321，由于a1也適合此等式故an.(2)由題意得，當(dāng)n2時(shí)，將上述各式累乘得，即an.由于a1也適合此等式，故an.六、數(shù)列在日常生活中的初步應(yīng)用方法鏈接：數(shù)列知識(shí)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用構(gòu)建遞推關(guān)系是其中重要的方法之一，利用遞推方法解決實(shí)際問題常分為三個(gè)環(huán)節(jié)：(1)求初始值；(2)建立遞推關(guān)系；(3)利用遞推關(guān)系分析解決問題其中構(gòu)建遞推關(guān)系是關(guān)鍵例6某商店的櫥窗里按照下圖的方式擺著第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，如圖(1)、(2)、(3)、(4)分別有1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)如果按照同樣的方式接著擺下去，記第n個(gè)圖需用f(n)個(gè)“福娃迎迎”，那么f(n1)f(n)_；f(6)_.解析f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，f(n1)f(n)4n.f(6)f(1)f(2)f(1)f(3)f(2)f(4)f(3)f(5)f(4)f(6)f(5答案4n611對(duì)數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)而致錯(cuò)例1已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nn*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_錯(cuò)解因?yàn)閍nn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)，且n1，所以1，解得2.點(diǎn)撥數(shù)列是以正整數(shù)n*(或它的有限子集1,2，n)為定義域的函數(shù)，因此它的圖象只是一些孤立的點(diǎn)正解1因?yàn)閍nn2n，其圖象的對(duì)稱軸為n，由數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列有1，得2；如圖所示，當(dāng)21，即3時(shí)，數(shù)列an也是單調(diào)遞增的故的取值范圍為|2|3|3即3為所求的范圍正解2因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an1an0 (nn*)恒成立又ann2n (nn*)，所以(n1)2(n1)(n2n)0恒成立，即2n10.所以(2n1) (nn*)恒成立而nn*時(shí)，(2n1)的最大值為3(n1時(shí))，所以3即為所求的范圍2對(duì)公式使用條件考慮不周而致錯(cuò)例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn3n2n1，求an.錯(cuò)解ansnsn1(3n2n1)3n12(n1)123n12.點(diǎn)撥公式an是分段的，因?yàn)閚1時(shí)，sn1無意義在上述解答中，應(yīng)加上限制條件n2，然后驗(yàn)證n1時(shí)的值是否適合n2時(shí)的表達(dá)式正解a1s16；n2時(shí)，ansnsn1(3n2n1)3n12(n1)123n12.由于a1不適合此式，所以an例設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且(n1)anaan1an0 (nn*)，求an.分析先求出相鄰兩項(xiàng)an1與an的關(guān)系，再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ骯n.解方法一(累乘法)由(n1)anaan1an0.得(an1an)(nan1nanan1)0.由于an1an0，(n1)an1nan0.ana11.方法二(換元法)由已知得(n1)an1nan0，設(shè)bnnan，則bn1bn0.bn是常數(shù)列bnb11a11，即nan1.an. 1已知數(shù)列an滿足：a4n31，a4n10，a2nan，nn*，則