（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第36練 直線與圓錐曲線問(wèn)題 理.doc

第36練直線與圓錐曲線問(wèn)題題型一直線和橢圓的位置關(guān)系例1如圖所示，橢圓c1：1(ab0)的離心率為，x軸被曲線c2：yx2b截得的線段長(zhǎng)等于c1的短軸長(zhǎng)c2與y軸的交點(diǎn)為m，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o的直線l與c2相交于點(diǎn)a，b，直線ma，mb分別與c1相交于點(diǎn)d，e.(1)求c1，c2的方程；(2)求證：mamb；(3)記mab，mde的面積分別為s1，s2，若，求的取值范圍破題切入點(diǎn)(1)利用待定系數(shù)法求解曲線c1，c2的方程(2)設(shè)出直線ab和曲線c2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明(3)將s1和s2分別表示出來(lái)，利用基本不等式求最值(1)解由題意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲線c2的方程：yx21，橢圓c1的方程：y21.(2)證明設(shè)直線ab：ykx，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意，知m(0，1)則x2kx10，(x1，y11)(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以mamb.(3)解設(shè)直線ma的方程：yk1x1，直線mb的方程：yk2x1，由(2)知k1k21，m(0，1)，由解得或所以a(k1，k1)同理，可得b(k2，k1)故s1mamb|k1|k2|.由解得或所以d(，)同理，可得e(，)故s2mdme，則的取值范圍是，)題型二直線和雙曲線的位置關(guān)系例2已知雙曲線c：x2y21及直線l：ykx1.(1)若l與c有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與c交于a，b兩點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，且aob的面積為，求實(shí)數(shù)k的值破題切入點(diǎn)(1)聯(lián)立方程組，利用0求出k的取值范圍(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解解(1)雙曲線c與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|時(shí)，soabsoadsobd(|x1|x2|)|x1x2|；當(dāng)a，b在雙曲線的兩支上且x1x2時(shí)，soabsodasobd(|x1|x2|)|x1x2|.soab|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)的上焦點(diǎn)為f，上頂點(diǎn)為a，b為虛軸的端點(diǎn)，離心率e，且sabf1.拋物線n的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為f.(1)求雙曲線m和拋物線n的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線n相切于點(diǎn)p，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)q，則以pq為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)？如果是，試求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程(2)設(shè)出點(diǎn)p的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點(diǎn)q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)p的坐標(biāo)的方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問(wèn)題來(lái)解決解(1)在雙曲線中，c，由e，得，解得ab，故c2b.所以sabf(ca)b(2bb)b1，解得b1.所以a，c2，其上焦點(diǎn)為f(0,2)所以雙曲線m的方程為x21，拋物線n的方程為x28y.(2)由(1)知拋物線n的方程為yx2，故yx，拋物線的準(zhǔn)線為y2.設(shè)p(x0，y0)，則x00，y0x，且直線l的方程為yxx0(xx0)，即yx0xx.由得所以q(，2)假設(shè)存在點(diǎn)r(0，y1)，使得以pq為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)，也就是0對(duì)于滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，(，2y1)，由0，得x0(y0y1)(2y1)0，整理得2y0y0y12y1y0，即(y2y18)(2y1)y00，(*)由于(*)式對(duì)滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立，所以解得y12.故以pq為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)總結(jié)提高直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，萬(wàn)變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)加以解決1已知圓c：(x1)2y28，定點(diǎn)a(1,0)，m為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)p在am上，點(diǎn)n在cm上，且滿足2，0，點(diǎn)n的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程；(2)若直線ykx與(1)中所求點(diǎn)n的軌跡e交于不同的兩點(diǎn)f，h，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求k2的取值范圍解(1)如圖所示，連結(jié)na.由2，0，可知np所在直線為線段am的垂直平分線，所以nanm，所以ncnancnm22ca，所以動(dòng)點(diǎn)n的軌跡是以c(1,0)，a(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲線e的方程為y21.(2)設(shè)f(x1，y1)，h(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k20，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由，得，解得k21.2(2013廣東)已知拋物線c的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)f(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)p為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作拋物線c的兩條切線pa，pb，其中a，b為切點(diǎn)(1)求拋物線c的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)p(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線ab的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)p在直線l上移動(dòng)時(shí)，求afbf的最小值解(1)依題意知，c0，解得c1.所以拋物線c的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則切線pa，pb的斜率分別為x1，x2，所以切線pa的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線pb的方程為x2x2y2y20，又點(diǎn)p(x0，y0)在切線pa和pb上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解，所以直線ab的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知afy11，bfy21，所以afbf(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，afbfy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，當(dāng)y0時(shí)，afbf取得最小值，且最小值為.3(2013浙江)如圖，點(diǎn)p(0，1)是橢圓c1：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)，c1的長(zhǎng)軸是圓c2：x2y24的直徑l1，l2是過(guò)點(diǎn)p且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓c2于a，b兩點(diǎn)，l2交橢圓c1于另一點(diǎn)d.(1)求橢圓c1的方程；(2)求abd面積取最大值時(shí)直線l1的方程解(1)由題意得所以橢圓c1的方程為y21.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓c2：x2y24，故點(diǎn)o到直線l1的距離d，所以ab22 .又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以pd.設(shè)abd的面積為s，則sabpd，所以s，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為yx1.4已知雙曲線e：1(a0，b0)的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線xy0相切(1)求雙曲線e的方程；(2)已知點(diǎn)f為雙曲線e的左焦點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)m，過(guò)點(diǎn)m任意作一條直線交雙曲線e于p，q兩點(diǎn)(p在q點(diǎn)左側(cè))，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意知a，a.又2c4，c2，b1.雙曲線e的方程為y21.(2)當(dāng)直線為y0時(shí)，則p(，0)，q(，0)，f(2,0)，(2,0)(2,0)1.當(dāng)直線不為y0時(shí)，可設(shè)l：xtym(t)代入e：y21，整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.設(shè)方程(*)的兩個(gè)根為y1，y2，滿足y1y2，y1y2，(ty1m2，y1)(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.當(dāng)且僅當(dāng)2m212m153時(shí)，為定值，解得m13，m23(舍去)綜上，過(guò)定點(diǎn)m(3，0)任意作一條直線交雙曲線e于p，q兩點(diǎn)，使1為定值5已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10，y00)，則切線斜率為，切線方程為yy0(xx0)，即x0xy0y4，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為s.由xy42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時(shí)，x0y0有最大值，即s有最小值，因此點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，)由題意知解得故c1的方程為x21.(2)由(1)知c2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，由此設(shè)c2的方程為1，其中b10.由p(，)在c2上，得1，解得b3，因此c2的方程為1.