球的體積和表面積公式具體推導(dǎo)過程.doc

_1.3.2球的體積和表面積（1）設(shè)球的半徑為R，將半徑OAn等分，過這些分點(diǎn)作平面把半球切割成n 層，每一層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”，這些“小圓片”的體積之和就是半球的體積。由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱的體積。它的高就是“小圓片”的厚度，底面就是“小圓片”的下底面。由勾股定理可得第i層（由下向上數(shù)）“小圓片”的下底面半徑：，（i1,2,3，n）第i層“小圓片”的體積為：V，（i1,2,3，n）半球的體積：V半徑V1V2Vn1（1）（1）1n（注：）n）當(dāng)所分的層數(shù)不斷增加，也就是說，當(dāng)n不斷變大時(shí)，式越來越接近于半球的體積，如果n無限變大，就能由式推出半徑的體積。事實(shí)上，n增大，就越來越小，當(dāng)n無限大時(shí)，趨向于0，這時(shí)，有V半徑，所以，半徑為R的球的體積為：V1.3.2球的體積和表面積（2）球的表面積推導(dǎo)方法（設(shè)球的半徑為R，利用球的體積公式推導(dǎo)類似方法）（1）分割。把球O的表面分成n個(gè)“小球面片”，設(shè)它們的表面積分別是S1，S2，Sn，那么球的表面積為：SS1S2Sn把球心O和每一個(gè)“小球面片”的頂點(diǎn)連接起來，整個(gè)球體被分成n個(gè)以“小球面片”為底，球心為頂點(diǎn)的“小錐體”。例如，球心與第i個(gè)“小球面片”頂點(diǎn)相連后就得到一個(gè)以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以第i個(gè)“小球面片”為底面的“小錐體”。這樣“小錐體”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一個(gè)“小球面片”都非常小，那么“小錐體”的底面幾乎是“平”的，（好象地球一樣），這時(shí)，每一個(gè)“小錐體”就近似于棱錐，它們的高近似于球的半徑R。（2）求近似和。設(shè)n個(gè)“小錐體”的體積分別為V1，V2，Vn那么球的體積為：VV1V2Vn由于“小錐體”近似于棱錐，所以我們用相應(yīng)棱錐的體積作為“小錐體”體積的近似值。第i個(gè)“小錐體”對(duì)應(yīng)的棱錐以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以點(diǎn)O與第i個(gè)“小球面片”頂點(diǎn)的連線為棱。設(shè)它的高為hi，底面面積為Si，于是，它的體積為：Vihi Si，（i1,2,，n）這樣就有：Vihi Si，（i1,2,，n）V（h1 S1h2 S2 hn Sn）（3）轉(zhuǎn)化為球的表面積。分割得越細(xì)密，也就是每一個(gè)“小球面片”越小，“小錐體”就越接近于棱錐，如果分割無限加細(xì)，每一個(gè)“小球面片”都無限變小，那么hi （i1,2,，n）就趨向于R，Si就趨向于 Si，于是，由可得：VRS又V，